2018高考数学题源探究三角函数与解三角形：函数y=Asin(ωx-φ)的图象及三角函数模型的简单应用.doc

函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
【考点梳理】
1．“五点法”作图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图的一般步骤为：
(1)定点：如下表所示．
x
－

ωx＋φ
0

π

2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．
(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象．
2．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径

3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义
当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈表示一个振动量时，A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．
【教材改编】
1．(必修4 P57A组T1(1)改编)要得到函数y＝cos(x＋1)，x∈R的图象，只需把y＝cos x(x∈R)上的所有点(　　)
A．向左平移π个单位长度
B．向右平移π个单位长度
C．向左平移1个单位长度
D．向右平移1个单位长度
[答案] C
[解析] 把y＝cos x(x∈R)上的所有点向左平移1个单位长度，得到函数y＝cos(x＋1) (x∈R)的图象，故选C．
2．(必修4 P55练习T2(1)改编)为了得到函数y＝3sin的图象，只需将y＝3sin的图象上的所有点(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
[答案] D
[解析] ∵y＝sin＝sin，故选D.
3．(必修4 P56练习T2(3)改编)为了得到y＝3sin 2x＋1的图象，只需将y＝3sin x的图象上的所有点(　　)
A．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度
B．横坐标缩短倍，再向上平移1个单位长度
C．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度
D．横坐标缩短倍，再向下平移1个单位长度
[答案] B
[解析] 将y＝3sin x的图象上的所有点的横坐标缩短倍，将y＝3sin 2x的图象，再向上平移1个单位长度即得y＝3sin 2x＋1的图象，故选B.
4．(必修4 P58A组T2(3)改编)函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则y＝f(x)的解析式为(　　)

A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
[答案] D
[解析] 由题知T＝－＝，
得T＝π，故ω＝2，由2×＋φ＝，得φ＝，故选D.
5．(必修4 P143A组T5改编)f(x)＝sin＋cos的一条对称轴方程为(　　)
A．x＝－ B．x＝
C．x＝　 D．x＝
[答案] B
[解析] 法一：f(x)＝sin＋cos
＝cos 2x＋sin 2x＋cos 2x＋sin 2x
＝2cos，
由2x－＝kπ，得对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
令k＝0，∴该函数的一条对称轴方程为x＝.
法二：f(x)＝sin＋
cos＝2cos，
代入验证可得当x＝时，2x－＝0，
∴f(x)max＝2.
故x＝为该函数的一条对称轴．
6．(必修4 P147A组T12改编)函数f(x)＝sin＋sin＋cos x＋a的最大值为1，则常数a的值为(　　)
A．－1 　 B．3
C．2 D．1＋
[答案] A
[解析] f(x)＝sin＋sin＋cos x＋a＝sin x＋cos x＋a＝2sin＋a，
当sin＝1时，f(x)max＝2＋a，
又∵f(x)max＝1，∴a＝－1，故选A.
7．(必修4 P58A组T2(3)改编)关于函数f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题：
①y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；
②y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；
③y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称；
④它的图象可由y＝4cos 2x向右平移个单位得到．
其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．
[答案] ①④
[解析] 因为f(x)＝4sin＝4cos＝4cos，①正确；又函数f(x)＝4sin的最小正周期T＝＝＝π，②错误；令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，则2x＝kπ＋(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，③错误；又y＝4cos 2x＝4sin
＝4sin，y＝4sin
＝4sin，又－＝，④正确．
8．(必修4 P71B组T8(2)改编)函数y＝sin (－3x＋)，x∈[0，π]，在区间[a，b](0<a<b<π)上是增函数，记amin＝A，bmax＝B.则A＋B＝________.
[答案]
[解析] ∵y＝sin＝－sin，
由题意得2kπ＋≤3x－≤2kπ＋，k∈Z.
即＋≤x≤＋，k∈Z.
∵x∈[0，π]，
∴k＝0，
此时f(x)的单调递增区间为[，]，
又f(x)在区间[a，b]上是增函数．
∴a≥，b≤.
∴A＝，B＝，∴A＋B＝.
9．(必修4 P60例2改编)关于函数f(x)＝|sin x|的下列结论中，正确的序号为________(把正确的序号全填上)．
①f(x)是偶函数，图象关于y轴对称；
②周期T＝π；
③它的一个单调增区间为；
④当x∈[0,2π]时，其图象与x轴围成的平面图形的面积为2π.
[答案] ①②
[解析] f(－x)＝|sin(－x)|＝|－sin x|＝|sin x|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，①正确；
又f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|
＝f(x)，∴周期T＝π，②正确；
∵f(x)＝|sin x|＝
∴f(x)在上是减函数，在上是增函数，③错误；
函数f(x)＝|sin x|x∈[0,2π]与x轴围成的面积为S＝＝2(－cos x)＝2×(1＋1)＝4.④错误．
10．(必修4 P60例1改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足y＝Asin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0,0<φ<π)．

(1)求解析式；
(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－5，20＋5]之间为最佳营业时间，那么该行业在6～14时，最佳营业时间为多少小时．
[解析] (1)由图象知A＝10，·＝14－6，∴ω＝，∴y＝10sin ＋b.①
ymax＝10＋b＝30，∴b＝20.
当t＝6时，y＝10代入①得φ＝，∴解析式为y＝10sin＋20，t∈[6,14]．
(2)由题意得，
20－5≤10sin ＋20≤20＋5，即－≤sin ≤，∴2kπ－≤t＋≤2kπ＋，k∈Z.
即16k－8≤t≤16k－4，
∵t∈[6,14]，∴k＝1，即8≤t≤12，所以最佳营业时间为12－8＝4小时．