内蒙古赤峰第四中学2025-2026学年高三数学第一学期期末经典试题.doc

内蒙古赤峰第四中学 2025-2026 学年高三数学第一学期期末经典试题 考生请注意：考生请注意：1 1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2 2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。位置上。3 3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知平面向量已知平面向量a，b满足满足1,2a r，3,bt，且，且aab，则，则b（）A3 B10 C2 3 D5 2已知集合已知集合13,|2xAxxxZBxZA，则集合则集合B（）A1,0,1 B0,1 C1,2 D0,1,2 3一个封闭的棱长为一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半若将该正方体绕下底面的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A1 B2 C3 D2 2 4已知复数已知复数12izi（i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）A31,55 B31,55 C3 1,5 5 D3 1,5 5 5已知双曲线已知双曲线22221xyab的一条渐近线方程为的一条渐近线方程为43yx，则双曲线的离心率为（，则双曲线的离心率为（）A43 B53 C54 D32 6已知函数已知函数()2tan()(0)f xx的图象与直线的图象与直线2y 的相邻交点间的距离为的相邻交点间的距离为，若定义，若定义,max,a a ba bb ab，则函数则函数()max()h xf x，()cos f xx在区间在区间3,22内的图象是内的图象是()A B C D 7 己知函数己知函数 1,0,ln,0,kxxf xxx若函数若函数 f x的图象上关于原点对称的点有的图象上关于原点对称的点有 2 对，则实数对，则实数k的取值范围是（的取值范围是（）A,0 B0,1 C0,D10,2 8 设不等式组设不等式组2000 xxyxy，表示的平面区，表示的平面区域为域为，在区域，在区域内任取一点内任取一点,P x y，则，则P点的坐标满足不等式点的坐标满足不等式222xy的概率为的概率为 A8 B4 C12 D12 9已知集合已知集合1,0,1,2A，|lg(1)Bx yx，则，则AB（）A2 B 1,0 C1 D 1,0,1 10已知数列已知数列 na为等差数列，且为等差数列，且16112aaa，则，则39sin aa的值为（的值为（）A32 B32 C12 D12 11设设0.08log0.04a，0.3log0.2b，0.040.3c，则，则a、b、c的大小关系为（的大小关系为（）Acba Babc Cbca Dbac 12如图是计算如图是计算11111+246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是()A5k B5k C5k D6k 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。13已知实数已知实数x，y满足约束条件满足约束条件1 0,33 0,0,xyxyy则则2zxy的最大值为的最大值为_ 14已知集合已知集合|21,Ax xkkZ，|50Bx x x，则，则AB _.15请列举用请列举用 0,1,2,3 这这 4 个数字所组成的无重复数字且比个数字所组成的无重复数字且比 210 大的所有三位奇数：大的所有三位奇数：_ 16已知函数已知函数 f x是定义在是定义在R上的奇函数，其图象关于直线上的奇函数，其图象关于直线1x 对称，当对称，当0,1x时，时，axf xe（其中（其中e是自是自然对数的底数，若然对数的底数，若2020ln28f，则实数，则实数a的值为的值为_.三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）为调研高中生的作文水平为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1:4，且成，且成绩分布在绩分布在0,60的范围内，规定分数在的范围内，规定分数在 50 以上（含以上（含 50）的作文被评为）的作文被评为“优秀作文优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取，按文理科用分层抽样的方法抽取400 人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中其中,a b c构成以构成以 2 为公比的等比数列为公比的等比数列.（1）求）求,a b c的值；的值；（2）填写下面）填写下面22列联表，能否在犯错误的概率不超过列联表，能否在犯错误的概率不超过 0.01 的情况下认为的情况下认为“获得优秀作文获得优秀作文”与与“学生的文理科学生的文理科”有关？有关？文科生文科生 理科生理科生 合计合计 获奖获奖 6 不获奖不获奖 合计合计 400（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取 2 名学生，记名学生，记“获得优秀作文获得优秀作文”的学生人数为的学生人数为X，求求X的分布列及数学期望的分布列及数学期望.附：附：22()()()()()n adbcKab cd ac bd，其中，其中na b cd .2P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18（12 分）已知已知 ABC 的内角的内角 A，B，C 的对边分别为的对边分别为 a，b，c，若，若 c2a，bsinBasinA12asinC（）求）求 sinB 的值；的值；（）求）求 sin（2B+3）的值）的值 19（12 分）如图，已知四棱锥如图，已知四棱锥PABCD，PA 平面平面ABCD，底面，底面ABCD为矩形，为矩形，3,4ABAP，E为为PD的的中点，中点，AEPC.（1）求线段）求线段AD的长的长.（2）若）若M为线段为线段BC上一点，且上一点，且1BM，求二面角，求二面角MPDA的余弦值的余弦值.20（12 分）在极坐标系中，曲线在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为的极坐标方程为3,0,22sin61,.2（1）求曲线）求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积；与极轴所在直线围成图形的面积；（2）设曲线）设曲线C与曲线与曲线1sin2交于交于A，B两点，求两点，求AB.21（12 分）选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 设函数设函数（1）证明证明:；（2）若不等式）若不等式的解集非空，求的解集非空，求 的取值范围的取值范围 22（10 分）如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD为菱形，为菱形，PA 底面底面ABCD，60BAD4AB.（1）求证：）求证：BD 平面平面PAC；（2）若直线）若直线PC与平面与平面ABCD所成的角为所成的角为30，求平面，求平面PAB与平面与平面PCD所成锐二面角的余弦值所成锐二面角的余弦值.参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1 12 2 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】【解析】先求出ab，再利用0aab求出t，再求b.【详解】解：1,23,2,2ttab 由aab，所以0aab 12220t ，1t，3,1b ，10b 故选：B 考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.2D【解析】【解析】弄清集合 B 的含义，它的元素 x 来自于集合 A，且2x也是集合 A 的元素.【详解】因|1|3x，所以24x，故2,1,0,1,2,3,4A，又xZ，2xA，则0,1,2x，故集合B 0,1,2.故选：D.本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.3B【解析】【解析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论【详解】正方体的面对角线长为2 2，又水的体积是正方体体积的一半，且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，即最大水面高度为2，故选 B.本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题 4A【解析】【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得出答案.【详解】解：1(1)(2)312(2)(2)55iiiziiii，z在复平面内对应的点的坐标是31,55.故选：A.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题 5B【解析】【解析】由题意得出22ba的值，进而利用离心率公式21bea可求得该双曲线的离心率.【详解】双曲线22221xyab的渐近线方程为byxa，由题意可得22241639ba，因此，该双曲线的离心率为22222513cabbeaaa.故选：B.本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式21bea计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.6A【解析】【解析】由题知()2tan()(0)f xx，利用T求出，再根据题给定义，化简求出 h x的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.【详解】根据题意，()2tan()(0)f xx的图象与直线2y 的相邻交点间的距离为，所以()2tan()(0)f xx 的周期为，则1T，所以2sin,2()max 2tan,2sin32tan,2x xh xxxx x，由正弦函数和正切函数图象可知A正确.故选：A.本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.7B【解析】【解析】考虑当0 x时，1 lnkxx 有两个不同的实数解，令 ln1h xxkx，则 h x有两个不同的零点，利用导数和零点存在定理可得实数k的取值范围.【详解】因为 f x的图象上关于原点对称的点有 2 对，所以0 x时，1lnkxx 有两个不同的实数解.令 ln1h xxkx，则 h x在0,有两个不同的零点.又 1kxhxx，当0k 时，0h x，故 h x在0,上为增函数，h x在0,上至多一个零点，舍.当0k 时，若10,xk，则 0h x，h x在10,k上为增函数；若1,xk，则 0h x，h x在1,k上为减函数；故 max11lnh xhkk，因为 h x有两个不同的零点，所以1ln0k，解得01k.又当01k时，11ek且10khee，故 h x在10,k上存在一个零点.又22ln+122lneeehtetkkk，其中11tk.令 22lng ttet，则 2etg tt，当1t 时，0g t，故 g t为1,减函数，所以 120g tge 即20ehk.因为2211ekkk，所以 h x在1,k上也存在一个零点.综上，当01k时，h x有两个不同的零点.故选：B.本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说明零点的存在性，本题属于难题.8A【解析】【解析】画出不等式组表示的区域，求出其面积，再得到222xy在区域内的面积，根据几何概型的公式，得到答案.【详解】画出2000 xxyxy所表示的区域，易知2,2,2,2AB，所以AOB的面积为4，满足不等式222xy的点，在区域内是一个以原点为圆心，2为半径的14圆面，其面积为2，由几何概型的公式可得其概率为2=48P，故选 A 项.本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.9B【解析】【解析】求出集合B，利用集合的基本运算即可得到结论.【详解】由10 x，得1x，则集合|1Bx x，所以，1,0AB.故选：B.本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合B是解决本题的关键，属于基础题.10B【解析】【解析】由等差数列的性质和已知可得623a，即可得到9343aa，代入由诱导公式计算可得【详解】解：由等差数列的性质可得1611632aaaa，解得623a，963324aaa，3943sinsins2siin333n aa 故选：B 本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题 11D【解析】【解析】因为0.080.080.080.08log0.042log0.2log0.2log10a，0.30.3log0.2log10b，所以0.20.211log0.08,log0.3ab且0.2logyx在0,上单调递减，且0.080.3 所以11ab，所以ba，又因为0.080.08log0.2log0.081a，0.0400.30.31c，所以ac，所以bac.故选：D.本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间值“0,1”比较大小.12B【解析】【解析】根据计算结果，可知该循环结构循环了 5 次；输出 S 前循环体的 n 的值为 12，k 的值为 6，进而可得判断框内的不等式【详解】因为该程序图是计算11111246810值的一个程序框圈 所以共循环了 5 次 所以输出 S 前循环体的 n 的值为 12，k 的值为 6，即判断框内的不等式应为6k 或5k 所以选 C 本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分。131【解析】【解析】作出约束条件表示的可行域，转化目标函数2zxy为2yxz，当目标函数经过点(2,3)时，直线的截距最大，取得最大值，即得解.【详解】作出约束条件表示的可行域 是以(2,3),(1,0),(1,0),ABC为顶点的三角形及其内部，转化目标函数2zxy为2yxz 当目标函数经过点(2,3)时，直线的截距最大 此时2237z 取得最大值 1 故答案为：1 本题考查了线性规划问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于基础题.141,3【解析】【解析】由集合A和集合B求出交集即可.【详解】解：集合|21,Ax xkkZ，|50Bx x x，1 3AB，.故答案为：1,3.本题考查了交集及其运算，属于基础题.15231,321,301,1【解析】【解析】分个位数字是 1、3 两种情况讨论，即得解【详解】0,1,2,3 这 4 个数字所组成的无重复数字比 210 大的所有三位奇数有：（1）当个位数字是 1 时，数字可以是 231,321,301；（2）当个位数字是 3 时数字可以是 1 故答案为：231,321,301，1 本题考查了分类计数法的应用，考查了学生分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.163【解析】【解析】先推导出函数 yf x的周期为4，可得出2020 ln2ln2ln28fff，代值计算，即可求出实数a的值.【详解】由于函数 yf x是定义在R上的奇函数，则 fxf x，又该函数的图象关于直线1x 对称，则11fxfx，所以，211fxfxfxf x，则 42fxf xf x，所以，函数 yf x是周期为4的周期函数，所以ln2ln22020ln2ln2ln228aaafffee，解得3a.故答案为：3.本题考查利用函数的对称性计算函数值，解题的关键就是结合函数的奇偶性与对称轴推导出函数的周期，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答三、解答题：共题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）0.005a，0.01b，0.02c.（2）填表见解析；在犯错误的概率不超过 0.01 的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关（3）详见解析【解析】【解析】（1）根据频率分步直方图和,a b c构成以 2 为公比的等比数列，即可得解；（2）由频率分步直方图算出相应的频数即可填写22列联表，再用2K的计算公式运算即可；（3）获奖的概率为20140020，随机变量12,20 xB，再根据二项分布即可求出其分布列与期望.【详解】解：（1）由频率分布直方图可知，10()1 10(0.0180.0220.025)0.35abc，因为,a b c构成以 2 为公比的等比数列，所以2 4 0.035aaa，解得0.005a，所以2 0.01ba，40.02ca.故0.005a，0.01b，0.02c.（2）获奖的人数为0.005 10 40020人，因为参考的文科生与理科生人数之比为1:4，所以 400 人中文科生的数量为1400805，理科生的数量为400 80320.由表可知，获奖的文科生有 6 人，所以获奖的理科生有20 614 人，不获奖的文科生有80 674 人.于是可以得到22列联表如下：文科生 理科生 合计 获奖 6 14 20 不获奖 74 306 380 合计 80 320 400 22400(63061474)1.326.63520380 80320K 所以在犯错误的概率不超过 0.01 的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.（3）由（2）可知，获奖的概率为20140020，X的可能取值为 0，1，2，0202119361(0)2020400P XC，11121193819(1)2020400200P XC，20221191(2)2020400P XC，分布列如下：X 0 1 2 P 361400 19200 1400 数学期望为3611911()01240020040010E X .本题考查频率分布直方图、统计案例和离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的阅读理解能力和计算能力，属于中档题 18（）74（）3 7316【解析】【解析】（）根据条件由正弦定理得2212baac，又 c2a，所以222ba，由余弦定理算出cosB，进而算出sinB；（）由二倍角公式算出sin2cos2，BB，代入两角和的正弦公式计算即可.【详解】（）bsinBasinA12asinC，所以由正弦定理得2212baac，又 c2a，所以222ba，由余弦定理得：2223cos24bacBac，又0,B，所以7sin4B；（）23 71sin22sincoscos22cos188，BBBBB，3 73sin 2sin2 coscos2 sin33316BBB.本题主要考查了正余弦定理的应用，运用二倍角公式和两角和的正弦公式求值，考查了学生的运算求解能力.19（1）AD的长为 4（2）33【解析】【解析】（1）分别以,AB AP AD所在直线为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设ADt，根据向量垂直关系计算得到答案.（2）计算平面DMP的法向量为(1,1,1)n，(3,0,0)AB 为平面PDA的一个法向量，再计算向量夹角得到答案.【详解】（1）分别以,AB AP AD所在直线为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设ADt，则(0,0,0),0,2,(3,0,),(0,4,0)2tAECt P，所以0,2,(3,4,)2tAEPCt.，因为AEPC，所以0AE PC，即2160t，解得4t，所以AD的长为 4.（2）因为1BM，所以(3,0,1)M，又(0,4,0),(0,0,4)PD，故(0,4,4),(3,0,3)DPDM.设(,)nx y z为平面DMP的法向量，则,nDPnDM 即440,330,yzxz 取1z，解得1,1yx，所以(1,1,1)n 为平面DMP的一个法向量.显然，(3,0,0)AB 为平面PDA的一个法向量，则33cos,3|3 1 1 1n ABn ABnAB ，据图可知，二面角MPDA的余弦值为33.本题考查了立体几何中的线段长度，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20（1）1342；（2）3【解析】【解析】（1）利用互化公式，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，得出曲线C与极轴所在直线围成的图形是一个半径为1 的14圆周及一个两直角边分别为 1 与3的直角三角形，即可求出面积；（2）联立方程组，分别求出A和B的坐标，即可求出AB.【详解】解：（1）由于C的极坐标方程为3,0,22sin61,.2，根据互化公式得，曲线C的直角坐标方程为：当03x时，330 xy，当10 x 时，221xy，则曲线C与极轴所在直线围成的图形，是一个半径为 1 的14圆周及一个两直角边分别为 1 与3的直角三角形，围成图形的面积1342S.（2）由11sin2得51,6A，其直角坐标为3,221，1sin2化直角坐标方程为12y，32sin6化直角坐标方程为33xy，3 1,22B，33322AB.本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，以及联立方程组求交点坐标，考查计算能力.21(1)见解析.(1).【解析】【解析】试题分析：（1）直接计算，由绝对值不等式的性质及基本不等式证之即可；（1），分区间讨论去绝对值符号分别解不等式即可.试题解析：（1）证明：函数 f（x）=|xa|，a2，则 f（x）+f（）=|xa|+|a|=|xa|+|+a|（xa）+（+a）|=|x+|=|x|+1=1（1）f（x）+f（1x）=|xa|+|1xa|，a2 当 xa 时，f（x）=ax+a1x=1a3x，则 f（x）a；当 ax 时，f（x）=xa+a1x=x，则 f（x）a；当 x时，f（x）=xa+1xa=3x1a，则 f（x）则 f（x）的值域为，+）.不等式 f（x）+f（1x）的解集非空，即为 ，解得，a1，由于 a2，则 a 的取值范围是 考点：1.含绝对值不等式的证明与解法.1.基本不等式.22（1）证明见解析（2）2 77【解析】【解析】（1）由底面ABCD为菱形，得BDAC，再由PA 底面ABCD，可得PABD，结合线面垂直的判定可得BD 平面PAC；（2）以点A为坐标原点，以,AD AP所在直线及过点A且垂直于平面PAD的直线分别为,x z y轴建立空间直角坐标系Axyz，分别求出平面PAB与平面PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.【详解】（1）证明：底面ABCD为菱形，BDAC，PA 底面ABCD，BD 平面ABCD，PABD 又ACPAA，,AC PA平面PAC，BD平面PAC；（2）解：ABAD，60BAD，ABD为等边三角形，3sin602424 32ACAD.PA 底面ABCD，PCA是直线PC与平面ABCD所成的角为30，在RtPAC中，由3tan34 3PAPAPCAAC，解得4PA.如图，以点A为坐标原点，以,AD AP所在直线及过点A且垂直于平面PAD的直线分别为,x z y轴 建立空间直角坐标系Axyz.则(0,0,4)P，(0,0,0)A，2,2()3,0B，(4,0,0)D，(6,2 3,0)C.(0,0,4)PA，(2,2 3,4)PB，(4,0,4)PD，(6,2 3,4)PC.设平面PAB与平面PCD的一个法向量分别为(,)mx y z，111,nx y z.由4022 340m PAzm PBxyz，取1y ，得(3,1,0)m；由1111162 340440n PCxyzn PDxz，取11y ，得(3,1,3)n.2 7cos,7|m nm nmn.平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为2 77.本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题