天成大联考2025-2026学年高三数学第一学期期末调研试题.doc

天成大联考2025-2026学年高三数学第一学期期末调研试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知为定义在上的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数，若复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，．是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（ ）

A． B． C． D．
4．二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )
A．180 B．90 C．45 D．360
5．已知平面向量，满足，，且，则（ ）
A．3 B． C． D．5
6．设，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，，则；
②若，，，则；
③若，，，则；
④若，，，，则.其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
7．设i为虚数单位，若复数，则复数z等于( )
A． B． C． D．0
8．执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（ ）

A．8 B．32 C．64 D．128
9．已知平面，，直线满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
10．若与互为共轭复数，则（ ）
A．0 B．3 C．－1 D．4
11．已知复数满足：，则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
12．在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．不等式对于定义域内的任意恒成立，则的取值范围为__________.
14．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则_________
15．在中，，．若，则 _________．
16．的角所对的边分别为，且，，若，则的值为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，三人各射击一次，击中目标的次数记为.
（1）求的分布列及数学期望；
（2）在概率(=0，1，2，3)中, 若的值最大, 求实数的取值范围.
18．（12分）已知，，分别为内角，，的对边，且.
（1）证明：；
（2）若的面积，，求角.
19．（12分）已知函数，.
（1）当时，讨论函数的零点个数；
（2）若在上单调递增，且求c的最大值.
20．（12分）设函数，，其中，为正实数.
（1）若的图象总在函数的图象的下方，求实数的取值范围；
（2）设，证明：对任意，都有.
21．（12分）2019年是中华人民共和国成立70周年．为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：，，…，，并绘制了如图所示的频率分布直方图．

（1）现从年龄在，，内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用表示年龄在）内的人数，求的分布列和数学期望；
（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为．当最大时，求的值．
22．（10分）某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100 人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.

（1）估计这100人体重数据的平均值和样本方差；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记为体重在的人数，求的分布列和数学期望；
（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布.若，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
判断，利用函数的奇偶性代入计算得到答案.
【详解】
∵，∴．
故选：
本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
2．A
【解析】
先通过复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到，再利用复数的除法求解.
【详解】
因为复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数，
所以
所以
故选：A
本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题.
3．B
【解析】
为所求的二面角的平面角，由得出，求出在内的轨迹，根据轨迹的特点求出的最大值对应的余弦值
【详解】
，，，
，同理
为直线与平面所成的角，为直线与平面所成的角
，又

，
在平面内，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系
则，设
，整理可得：
在内的轨迹为为圆心，以为半径的上半圆
平面平面，，
为二面角的平面角，
当与圆相切时，最大，取得最小值
此时

故选
本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．
4．A
【解析】
试题分析：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以，，令，则，.
考点：1.二项式定理；2.组合数的计算.
5．B
【解析】
先求出，再利用求出，再求.
【详解】
解：
由，所以
，
，，
故选：B
考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.
6．C
【解析】
根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.
【详解】
解：①：、也可能相交或异面，故①错
②：因为，，所以或，
因为，所以，故②对
③：或，故③错
④：如图

因为，，在内过点作直线的垂线，
则直线，
又因为，设经过和相交的平面与交于直线，则
又，所以
因为，，
所以，所以，故④对.
故选：C
考查线面平行或垂直的判断，基础题.
7．B
【解析】
根据复数除法的运算法则，即可求解.
【详解】
.
故选:B.
本题考查复数的代数运算，属于基础题.
8．C
【解析】
根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.
【详解】
由题意，执行上述程序框图，可得
第1次循环，满足判断条件，；
第2次循环，满足判断条件，；
第3次循环，满足判断条件，；
第4次循环，满足判断条件，；
不满足判断条件，输出.
故选：C.
本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9．A
【解析】
，是相交平面，直线平面，则“” “”，反之，直线满足，则或//或平面，即可判断出结论．
【详解】
解：已知直线平面，则“” “”，
反之，直线满足，则或//或平面，
“”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力．
10．C
【解析】
计算，由共轭复数的概念解得即可.
【详解】
，又由共轭复数概念得：，
.
故选：C
本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.
11．B
【解析】
转化，为，利用复数的除法化简，即得解
【详解】
复数满足：
所以

故选：B
本题考查了复数的除法和复数的基本概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
12．C
【解析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【详解】
解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），
故选：C
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据题意，分离参数，转化为只对于内的任意恒成立，令，则只需在定义域内即可，利用放缩法，得出，化简后得出，即可得出的取值范围.
【详解】
解：已知对于定义域内的任意恒成立，
即对于内的任意恒成立，
令，则只需在定义域内即可，
，
，当时取等号，
由可知，，当时取等号，
，
当有解时，
令，则，
在上单调递增，
又，，
使得，
，
则，
所以的取值范围为.
故答案为：.
本题考查利用导数研究函数单调性和最值，解决恒成立问题求参数值，涉及分离参数法和放缩法，考查转化能力和计算能力.
14．1
【解析】
令，结合函数的奇偶性，求得，即可求解的值，得到答案.
【详解】
由题意，函数分别是上的奇函数和偶函数，且，
令，可得，
所以.
故答案为：1.
本题主要考查了函数奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15．
【解析】
分析：首先设出相应的直角边长，利用余弦勾股定理得到相应的斜边长，之后应用余弦定理得到直角边长之间的关系，从而应用正切函数的定义，对边比临边，求得对应角的正切值，即可得结果.
详解：根据题意，设，则，根据，

得，由勾股定理可得，
根据余弦定理可得，
化简整理得，即，解得，
所以，故答案是.
点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁，而题中所给的条件与对应的结果之间有什么样的连线，设出直角边长，利用所给的角的余弦值，利用余弦定理得到相应的等量关系，求得最后的结果.
16．
【解析】
先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把转化为与边有关的等式，结合可求的值.
【详解】
因为，故，因为，所以.
由正弦定理可得三角形外接圆的半径满足，
所以即.
因为，
解得或（舍）.
故答案为：.
本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，注意结合求解目标对所得的方程组变形整合后整体求解，本题属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1），ξ的分布列为
ξ

0

1

2

3

P

(1－a)2

(1－a2)

(2a－a2)

（2）
【解析】
(1)P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0、1、2、3.
P(ξ＝0)＝(1－a)2＝(1－a)2；
P(ξ＝1)＝·(1－a)2＋a(1－a)＝(1－a2)；
P(ξ＝2)＝·a(1－a)＋a2＝(2a－a2)；
P(ξ＝3)＝·a2＝.
所以ξ的分布列为
ξ

0

1

2

3

P

(1－a)2

(1－a2)

(2a－a2)

ξ的数学期望为
E(ξ)＝0×(1－a)2＋1×(1－a2)＋2×(2a－a2)＋3×＝.
(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝[(1－a2)－(1－a)2]＝a(1－a)；
P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝[(1－a2)－(2a－a2)]＝；
P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝[(1－a2)－a2]＝.
由和0＜a＜1，得0＜a≤，即a的取值范围是.
18．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）利用余弦定理化简已知条件，由此证得
（2）利用正弦定理化简（1）的结论，得到，利用三角形的面积公式列方程，由此求得，进而求得的值，从而求得角.
【详解】
（1）由已知得，
由余弦定理得，∴.
（2）由（1）及正弦定理得，即，
∴，∴，
∴.
，
∴，，.
本小题主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
19．（1）见解析（2）2
【解析】
（1）将代入可得,令,则,设,则转化问题为与的交点问题,利用导函数判断的图象,即可求解；
（2）由题可得在上恒成立,设,利用导函数可得,则,即,再设,利用导函数求得的最小值,则,进而求解.
【详解】
（1）当时,,定义域为,
由可得,
令,则,
由,得；由,得,
所以在上单调递增,在上单调递减,
则的最大值为,
且当时,；当时,,
由此作出函数的大致图象,如图所示.

由图可知,当时,直线和函数的图象有两个交点,即函数有两个零点；
当或,即或时,直线和函数的图象有一个交点,即函数有一个零点；
当即时,直线与函数的象没有交点,即函数无零点.
（2）因为在上单调递增,即在上恒成立,
设,则,
①若,则,则在上单调递减,显然,
在上不恒成立；
②若,则,在上单调递减,当时,,故,单调递减,不符合题意；
③若,当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以,
由,得,
设,则,
当时,,单调递减；
当时,,单调递增,
所以,所以,
又,所以,即c的最大值为2.
本题考查利用导函数研究函数的零点问题,考查利用导函数求最值,考查运算能力与分类讨论思想.
20．（1） （2）证明见解析
【解析】
(1)据题意可得在区间上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求出满足不等式的的取值范围；(2)不等式整理为，由(1)可知当时，，利用导数判断函数的单调性从而证明在区间上成立，从而证明对任意，都有.
【详解】
（1）解：因为函数的图象恒在的图象的下方，
所以在区间上恒成立.
设，其中，
所以，其中，.
①当，即时，，
所以函数在上单调递增，，
故成立，满足题意.
②当，即时，设，
则图象的对称轴，，，
所以在上存在唯一实根，设为，则，，，
所以在上单调递减，此时，不合题意.
综上可得，实数的取值范围是.
（2）证明：由题意得，
因为当时，，，
所以.
令，则，
所以在上单调递增，，即，
所以，从而.
由（1）知当时，在上恒成立，整理得.
令，则要证，只需证.
因为，所以在上单调递增，
所以，即在上恒成立.
综上可得，对任意，都有成立.
本题考查导数在研究函数中的作用，利用导数判断函数单调性与求函数最值，利用导数证明不等式，属于难题.
21．（1）分布列见解析,
（1）
【解析】
（1）根据频率分布直方图及抽取总人数，结合各组频率值即可求得各组抽取的人数；的可能取值为0，1，1，由离散型随机变量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由数学期望公式即可求得其数学期望.
（1）先求得年龄在内的频率，视为概率.结合二项分布的性质，表示出，令，化简后可证明其单调性及取得最大值时的值．
【详解】
（1）按分层抽样的方法拉取的8人中，
年龄在的人数为人，
年龄在内的人数为人．
年龄在内的人数为人．
所以的可能取值为0，1，1．
所以，
，
，
所以的分市列为

0
1
1

．
（1）设在抽取的10名市民中，年龄在内的人数为，服从二项分布．由频率分布直方图可知，年龄在内的频率为，
所以，
所以．
设，
若，则，；
若，则，．
所以当时，最大，即当最大时，．
本题考差了离散型随机变量分布列及数学期望的求法，二项分布的综合应用，属于中档题.
22．（1）60；25（2）见解析，2.1（3）可以认为该校学生的体重是正常的.见解析
【解析】
（1）根据频率分布直方图可求出平均值和样本方差；
（2）由题意知服从二项分布，分别求出，，，，进而可求出分布列以及数学期望；
（3）由第一问可知服从正态分布，继而可求出的值，从而可判断.
【详解】
解：（1）

（2）由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在的概率为0.7.
随机拍取3人，相当于3次独立重复实验，随机交量服从二项分布，
则，，
，，
所以的分布列为：

0
1
2
3

0.027
0.189
0.441
0.343
数学期望
（3）由题意知服从正态分布，
则，
所以可以认为该校学生的体重是正常的.
本题考查了由频率分布直方图求进行数据估计，考查了二项分布，考查了正态分布.注意，统计类问题，如果题目中没有特殊说明，则求出数据的精度和题目中数据的小数后位数相同.