江苏省苏州高新区一中2025-2026学年高三数学第一学期期末监测模拟试题.doc

江苏省苏州高新区一中2025-2026学年高三数学第一学期期末监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（ ）
A．2 B． C． D．1
3．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为

A． B． C． D．
4．已知抛物线：，直线与分别相交于点，与的准线相交于点，若，则（ ）
A．3 B． C． D．
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ）

A． B． C． D．
6．已知随机变量服从正态分布，，（ ）
A． B． C． D．
7．，则与位置关系是 (　　)
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面或相交
8．若复数满足，则（其中为虚数单位）的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知函数，若函数的图象恒在轴的上方，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．设a，b，c为正数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不修要条件
11．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且，，则与面所成角的正弦值等于（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二 人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为_______．
14．已知函数若关于的不等式的解集为，则实数的所有可能值之和为_______.
15．在等比数列中，，则________．
16．某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶图：

由此可估计，全年（按360天计算）中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多______天.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利50元，未售出的产品，每盒亏损30元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该同学为这个开学季进了160盒该产品，以（单位：盒，）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润.

（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的平均数和众数；
（2）将表示为的函数；
（3）以需求量的频率作为各需求量的概率，求开学季利润不少于4800元的概率.
18．（12分）如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，.

（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
19．（12分）已知的内角的对边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的周长的最小值.
20．（12分）设不等式的解集为M，.
（1）证明：；
（2）比较与的大小，并说明理由.
21．（12分）在中，，， .求边上的高.
①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
22．（10分）在直角坐标系x0y中，把曲线α为参数)上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点M在上，点N在上，求|MN|的最小值以及此时M的直角坐标.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解
【详解】
因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即.
故选：D
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题
2．B
【解析】
，选B.
3．A
【解析】
阳数：，阴数：，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.
【详解】
因为阳数：，阴数：，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：个，满足差的绝对值为5的有：共个，则.
故选：A.
本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：.
4．C
【解析】
根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案.
【详解】
显然直线过抛物线的焦点
如图，过A,M作准线的垂直，垂足分别为C，D，过M作AC的垂线，垂足为E
根据抛物线的定义可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M为AN的中点，所以MD为三角形NAC的中位线，故MD=CE=EA=AC
设MF=t，则MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME=
所以

故选：C
本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题.
5．C
【解析】
根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥，并且平面SAC平面ABC，，过S作，连接BD ，，再求得其它的棱长比较下结论.
【详解】
如图所示：

由三视图得：该几何体是一个三棱锥，且平面SAC 平面ABC，，
过S作，连接BD，则 ，
所以 ， ，，，
该几何体中的最长棱长为.
故选：C
本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
6．B
【解析】
利用正态分布密度曲线的对称性可得出，进而可得出结果.
【详解】
，所以，.
故选：B.
本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.
7．D
【解析】
结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a与b的关系分别是平行、异面或相交．

选D．
8．B
【解析】
根据复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定，即可得的最大值.
【详解】
由知，复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，
表示复数对应的点与点间的距离，
又复数对应的点所在圆的圆心到的距离为1，
所以.
故选：B
本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.
9．B
【解析】
函数的图象恒在轴的上方，在上恒成立.即，即函数的图象在直线上方，先求出两者相切时的值，然后根据变化时，函数的变化趋势，从而得的范围．
【详解】
由题在上恒成立.即，
的图象永远在的上方，
设与的切点，则，解得，
易知越小，图象越靠上，所以.
故选：B．
本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围．
10．B
【解析】
根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
解：，，为正数，
当，，时，满足，但不成立，即充分性不成立，
若，则，即，
即，即，成立，即必要性成立，
则“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．
11．B
【解析】
设点位于第二象限，可求得点的坐标，再由直线与直线垂直，转化为两直线斜率之积为可得出的值，进而可求得双曲线的离心率.
【详解】
设点位于第二象限，由于轴，则点的横坐标为，纵坐标为，即点，
由题意可知，直线与直线垂直，，，
因此，双曲线的离心率为.
故选：B.
本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出、、的等量关系，考查计算能力，属于中等题.
12．A
【解析】
首先找出与面所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值.
【详解】
由题知是等腰直角三角形且，是等边三角形，

设中点为，连接，，可知，，
同时易知，，
所以面，故即为与面所成角，
有，
故.
故选：A.
本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由分层抽样的知识可得，即，所以高三被抽取的人数为，应填答案．
14．
【解析】
由分段函数可得不满足题意；时，，可得，即有，解方程可得，4，结合指数函数的图象和二次函数的图象即可得到所求和．
【详解】
解：由函数，可得
的增区间为，，
时，，，时，，
当关于的不等式的解集为，，
可得不成立，
时，时，不成立；
，即为，
可得，即有，
显然，4成立；由和的图象可得在仅有两个交点．
综上可得的所有值的和为1．
故答案为：1．
本题考查分段函数的图象和性质，考查不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查化简运算能力，属于中档题．
15．1
【解析】
设等比数列的公比为,再根据题意用基本量法求解公比,进而利用等比数列项之间的关系得即可.
【详解】
设等比数列的公比为.由,得,解得.又由,得.则.
故答案为：1
本题主要考查了等比数列基本量的求解方法,属于基础题.
16．72
【解析】
根据给定的茎叶图，得到游客人数在内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，进而求得全年中，甲景点比乙景点多的天数，得到答案.
【详解】
由题意，根据给定的茎叶图可得，在随机抽取了这两个景点20天的游客人数中，
游客人数在内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，
所以在全年）中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多天.
故答案为：.
本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中熟记茎叶图的基本知识，合理推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1），众数为150；（2） ；（3）
【解析】
（1）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量的众数和平均数；（2）由已知条件推导出当时，，当时，，由此能将表示为的函数；（3）利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元的概率．
【详解】
（1）由直方图可估计需求量的众数为150 ，
由直方图可知的频率为：
由直方图可知的频率为：
由直方图可知的频率为：
由直方图可知的频率为：
由直方图可知的频率为：
∴估计需求量的平均数为：

（2）当时，
当时，
∴
（3）由（2）知 当时，
当时，得
∴开学季利润不少于4800元的需求量为
由频率分布直方图可所求概率
本题考查频率分布直方图的应用，考查函数解析式的求法，考查概率的估计，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用．
18．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）取的中点为，连结，易证四边形为平行四边形，即，由于，为的中点，可得到，从而得到，即可证明平面，从而得到；（Ⅱ）易证，，两两垂直，以，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，设与平面所成角为，则，即可得到答案．
【详解】
解：（Ⅰ）取的中点为，连结.
由是三棱台得，平面平面，从而.
∵，∴，
∴四边形为平行四边形，∴.
∵，为的中点，
∴，∴.
∵平面平面，且交线为，平面，
∴平面，而平面，
∴.
（Ⅱ）连结.
由是正三角形，且为中点，则.
由（Ⅰ）知，平面，，
∴，，
∴，，两两垂直.
以，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，
∴，，.
设平面的一个法向量为.
由可得，.
令，则，，∴.
设与平面所成角为，则.

本题考查了空间几何中，面面垂直的性质，线线垂直的证明，及线面角的求法，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于中档题．
19．（1）（2）
【解析】
（1）因为，所以，
由余弦定理得，化简得，
可得，解得，
又因为，所以.（6分）
（2）因为，所以，
则（当且仅当时，取等号）.
由（1）得（当且仅当时，取等号），解得.
所以（当且仅当时，取等号），
所以的周长的最小值为.
20． (1)证明见解析；(2).
【解析】
试题分析：
(1)首先求得集合M，然后结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论；
(2)利用平方做差的方法可证得|1-4ab|＞2|a-b|.
试题解析：
（Ⅰ）证明：记f (x) =|x-1|-|x+2|，
则f(x)= ，所以解得-＜x＜，故M=(-,).
所以，||≤|a|+|b|＜×+×=.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得0≤a2＜，0≤b2＜.
|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)>0.
所以，|1-4ab|＞2|a-b|.
21．详见解析
【解析】
选择①，利用正弦定理求得，利用余弦定理求得，再计算边上的高.
选择②，利用正弦定理得出，由余弦定理求出，再求边上的高.
选择③，利用余弦定理列方程求出，再计算边上的高.
【详解】
选择①，在中，由正弦定理得，
即，解得；
由余弦定理得，
即，
化简得，解得或（舍去）；
所以边上的高为.
选择②，在中，由正弦定理得，
又因为，所以，即；
由余弦定理得，
即，
化简得，解得或（舍去）；
所以边上的高为.
选择③，在中，由，得；
由余弦定理得，
即，
化简得，解得或（舍去）；
所以边上的高为.
本小题主要考查真闲的了、余弦定理解三角形，属于中档题.
22．（1）的普通方程为，的直角坐标方程为. （2）最小值为，此时
【解析】
（1）由的参数方程消去求得的普通方程，利用极坐标和直角坐标转化公式，求得的直角坐标方程.
（2）设出点的坐标，利用点到直线的距离公式求得最小值的表达式，结合三角函数的指数求得的最小值以及此时点的坐标.
【详解】
（1）由题意知的参数方程为（为参数）
所以的普通方程为.由得，所以的直角坐标方程为.
（2）由题意，可设点的直角坐标为，
因为是直线，所以的最小值即为到的距离，
因为．
当且仅当时，取得最小值为，此时的直角坐标为即．
本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用曲线参数方程求解点到直线距离的最小值问题，属于中档题.