新疆师范大学附属中学2025年数学高三第一学期期末调研模拟试题.doc

新疆师范大学附属中学2025年数学高三第一学期期末调研模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z满足,则复数z在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各节，自习课节的功课表，其中上午节，下午节，若要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ）
A． B． C． D．
3．观察下列各式：，，，，，，，，根据以上规律，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）

A． B． C．16 D．32
6．设，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知当，，时，，则以下判断正确的是
A． B．
C． D．与的大小关系不确定
8．对于任意，函数满足，且当时，函数.若，则大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．已知随机变量服从正态分布，，（ ）
A． B． C． D．
10．已知集合，，若，则（ ）
A．4 B．－4 C．8 D．－8
11．宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（ ）

A． B． C． D．
12．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为__________.
14．设满足约束条件，则目标函数的最小值为_.
15．如图，在平行四边形中，，,则的值为_____.

16．在平面直角坐标系中，圆.已知过原点且相互垂直的两条直线和，其中与圆相交于，两点，与圆相切于点.若，则直线的斜率为_____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线上的点M对应的参数，射线与曲线交于点．
（1）求曲线，的直角坐标方程；
（2）若点A，B为曲线上的两个点且，求的值．
18．（12分）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，是棱的中点.

（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
19．（12分）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20．（12分）在某社区举行的2020迎春晚会上，张明和王慧夫妻俩参加该社区的“夫妻蒙眼击鼓”游戏，每轮游戏中张明和王慧各蒙眼击鼓一次，每个人击中鼓则得积分100分，没有击中鼓则扣积分50分，最终积分以家庭为单位计分.已知张明每次击中鼓的概率为，王慧每次击中鼓的概率为；每轮游戏中张明和王慧击中与否互不影响，假设张明和王慧他们家庭参加两轮蒙眼击鼓游戏.
（1）若家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，问张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是多少？
（2）张明和王慧他们家庭两轮游戏得积分之和的分布列和数学期望.
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（）.
（1）求抛物线C的极坐标方程；
（2）若抛物线C与直线l交于A，B两点，求的值.
22．（10分）已知向量， .
（1）求的最小正周期；
（2）若的内角的对边分别为，且，求的面积.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
化简复数，求得，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.
【详解】
由题意，复数z满足，可得，
所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第一象限
故选：A.
本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
2．C
【解析】
根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．
【详解】
根据题意，分两种情况进行讨论：
①语文和数学都安排在上午，要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻，将节语文课和节数学课分别捆绑，然后在剩余节课中选节到上午，由于节英语课不加以区分，此时，排法种数为种；
②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.
语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但节语文课不加以区分，节数学课不加以区分，节英语课也不加以区分，此时，排法种数为种.
综上所述，共有种不同的排法.
故选：C．
本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．
3．B
【解析】
每个式子的值依次构成一个数列，然后归纳出数列的递推关系后再计算．
【详解】
以及数列的应用根据题设条件，设数字，，，，，，，构成一个数列，可得数列满足，
则，
，．
故选：B．
本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项．
4．B
【解析】
直接利用集合的基本运算求解即可．
【详解】
解：全集，集合，，

则，
故选：．
本题考查集合的基本运算，属于基础题．
5．A
【解析】
几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是，选A.
6．C
【解析】
将等式变形后，利用二次根式的性质判断出，即可求出的范围.
【详解】

即

故选：C
此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据的关系即可求解，属于简单题目.
7．C
【解析】
由函数的增减性及导数的应用得：设，求得可得为增函数，又，，时，根据条件得，即可得结果．
【详解】
解：设，
则，
即为增函数，
又，，，，
即，
所以，
所以．
故选：C．
本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．
8．A
【解析】
由已知可得的单调性，再由可得对称性，可求出在单调性，即可求出结论.
【详解】
对于任意，函数满足，
因为函数关于点对称，
当时，是单调增函数，
所以在定义域上是单调增函数.
因为，所以，
.
故选:A.
本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题..
9．B
【解析】
利用正态分布密度曲线的对称性可得出，进而可得出结果.
【详解】
，所以，.
故选：B.
本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.
10．B
【解析】
根据交集的定义，，可知，代入计算即可求出.
【详解】
由，可知，
又因为，
所以时，，
解得.
故选：B.
本题考查交集的概念，属于基础题.
11．B
【解析】
根据古典概型的概率求法，先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数，再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数，代入公式求解.
【详解】
从八卦中任取两卦基本事件的总数种，
这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种，
分别是（巽，坤），（兑，坤），（离，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮），
所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是.
故选：B
本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
12．C
【解析】
根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.
【详解】
当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.
此时椭圆长轴长为，短轴长为6，
所以椭圆离心率，
所以.
故选：C
本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据与已知直线垂直关系，设出所求直线方程，将已知圆圆心坐标代入，即可求解.
【详解】
圆心为，
所求直线与直线垂直，
设为，圆心代入，可得，
所以所求的直线方程为.
故答案为：.
本题考查圆的方程、直线方程求法，注意直线垂直关系的灵活应用，属于基础题.
14．
【解析】
根据满足约束条件，画出可行域，将目标函数，转化为，平移直线，找到直线在轴上截距最小时的点，此时，目标函数 取得最小值.
【详解】
由满足约束条件，画出可行域如图所示阴影部分：

将目标函数，转化为，
平移直线，找到直线在轴上截距最小时的点
此时，目标函数 取得最小值，最小值为
故答案为：-1
本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.
15．
【解析】
根据ABCD是平行四边形可得出，然后代入AB＝2，AD＝1即可求出的值．
【详解】
∵AB＝2，AD＝1，
∴

＝1﹣4
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．
16．
【解析】
设：，：，利用点到直线的距离，列出式子
，求出的值即可.
【详解】
解：由圆，可知圆心，半径为.
设直线：，则：，
圆心到直线的距离为，
，
.
圆心到直线的距离为半径，即，
并根据垂径定理的应用，可列式得到，
解得.
故答案为：.
本题主要考查点到直线的距离公式的运用，并结合圆的方程，垂径定理的基本知识，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）．．（2）
【解析】
（1）先求解a,b，消去参数，即得曲线的直角坐标方程；再求解，利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得曲线的直角坐标方程；
（2）由于，可设，，代入曲线直角坐标方程，可得的关系，转化，可得解.
【详解】
（1）将及对应的参数，代入
得，即，
所以曲线的方程为，为参数，
所以曲线的直角坐标方程为．
设圆的半径为R，由题意，圆的极坐标方程为
（或），
将点代入，得，即，
所以曲线的极坐标方程为，
所以曲线的直角坐标方程为．
（2）由于，故可设，
代入曲线直角坐标方程，
可得，，
所以
．
本题考查了极坐标和直角坐标，参数方程和一般方程的互化以及极坐标的几何意义的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
18．（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）根据平面，四边形是矩形，由为中点，且，利用平面几何知识，可得，又平面，所以，根据线面垂直的判定定理可有平面，从而得证.
（2）分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，得到，，，，分别求得平和平面的法向量，代入二面角向量公式求解.
【详解】
（1）证明：∵平面，
∴四边形是矩形，
∵为中点，且，
∴，
∵，，，
∴.∴，
∵，∴与相似，
∴，∴，
∴，
∵，∴平面，
∴平面，
∵平面，∴，
∴平面，∴.
（2）如图，

分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量为，则，，
解得：，
同理，平面的法向量，
设二面角的大小为，
则.
即二面角的余弦值为.
本题主要考查线线垂直、线面垂直的转化以及二面角的求法，还考查了转化化归的思想和推理论证、运算求解的能力，属于中档题.
19．（1），；（2）
【解析】
试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列前n项和．
试题解析：
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d=== 1．∴an=a1+（n﹣1）d=1n
设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则
q1===8，∴q=2，
∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1， ∴bn=1n+2n﹣1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=1n+2n﹣1， ∵数列{1n}的前n项和为n（n+1），
数列{2n﹣1}的前n项和为1×= 2n﹣1，
∴数列{bn}的前n项和为；
考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；1.数列求和．
20．（1）（2）详见解析
【解析】
（1）要积分超过分，则需两人共击中次，或者击中次，由此利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
（2）求得的所有可能取值，根据相互独立事件概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.
【详解】
（1）由题意，当家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，所以要想领取一台全自动洗衣机，则需要这个家庭夫妻俩在两轮游戏中至少击中三次鼓.设事件为“张明第次击中”，事件为“王慧第次击中”，，由事件的独立性和互斥性可得（张明和王慧家庭至少击中三次鼓）
，所以张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是.
（2）的所有可能的取值为－200，－50，100，250，400.
，
，
，
，
.
∴的分布列为

－200
－50
100
250
400

∴（分）
本小题考查概率，分布列，数学期望等概率与统计的基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数据处理，应用意识.
21．（1）（2）
【解析】
(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式，,即可求得结果.
(2) 由的几何意义得,. 将代入抛物线C的方程,利用韦达定理，，即可求得结果.
【详解】
（1）因为，，
代入得，
所以抛物线C的极坐标方程为.
（2）将代入抛物线C的方程得，
所以，，

所以，
由的几何意义得，.
本题考查直角坐标和极坐标的转化,考查极坐标方程的综合应用,考查了学生综合分析,转化与划归,数学运算的能力,难度一般.
22．（1）；（2）或
【解析】
（1）利用平面向量数量积的坐标运算可得，利用正弦函数的周期性即可求解；（2）由（1）可求，结合范围，可求的值，由余弦定理可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
（1）

∴最小正周期 .
（2）由（1）知， ∴
∴， 又
∴或. 解得或
当时，由余弦定理得
即， 解得.
此时.
当时，由余弦定理得.
即，解得.
此时.
本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算、正弦函数的周期性，考查余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题．