宁夏银川二中2025-2026学年高三数学第一学期期末调研试题.doc

宁夏银川二中2025-2026学年高三数学第一学期期末调研试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在长方体中，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的焦点为，则经过点与点且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．0个 D．无数个
3．若P是的充分不必要条件，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数（ ）
A． B． C．4 D．5
5．已知x，y满足不等式，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范围（ ）
A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7]
6．在中，为边上的中线，为的中点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
7．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：，，，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知为虚数单位，若复数，则
A． B．
C． D．
9．若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为( )
A．2 B． C． D．
10．正项等差数列的前和为，已知，则=（ ）
A．35 B．36 C．45 D．54
11．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．给出下列三个命题：
①“”的否定；
②在中，“”是“”的充要条件；
③将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．
其中假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离等于________.
14．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围为_____．
15．某部队在训练之余，由同一场地训练的甲､乙､丙三队各出三人，组成小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为______.
16．三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，内角所对的边分别为，已知，且.
（Ｉ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求面积的取值范围.
18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.
19．（12分）已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数），若直线与圆相切，求实数的值.
20．（12分）设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.
21．（12分）已知在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且．
（1）求角A的值；
（2）若，设角，周长为y，求的最大值．
22．（10分）已知数列中，（实数为常数），是其前项和，且数列是等比数列，恰为与的等比中项．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，当时，的前项和为，求证：对任意，都有．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
在长方体中， 得与平面交于，过做于，可证平面，可得为所求解的角，解，即可求出结论.
【详解】
在长方体中，平面即为平面，
过做于，平面，
平面，
平面，为与平面所成角，
在，
，
直线与平面所成角的余弦值为.
故选:C.

本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.
2．B
【解析】
圆心在的中垂线上，经过点，且与相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆．
【详解】
因为点在抛物线上，
又焦点，，
由抛物线的定义知，过点、且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点，
这样的交点共有2个，
故过点、且与相切的圆的不同情况种数是2种．
故选：．
本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上．
3．B
【解析】
试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．
由p是的充分不必要条件知“若p则”为真，“若则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q则”为真，“若则q”为假，故选B．
考点：逻辑命题
4．D
【解析】
根据复数的四则运算法则先求出复数z，再计算它的模长．
【详解】
解：复数z＝a+bi，a、b∈R；
∵2z，
∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝，
即，
解得a＝3，b＝4，
∴z＝3+4i，
∴|z|．
故选D．
本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题．
5．B
【解析】
作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.
【详解】
画出不等式组所表示的可行域如图△AOB

当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y 在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意
t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在的交点（）处取得最大值，此时Z＝t+16
由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6
故选：B．
此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.
6．A
【解析】
根据向量的线性运算可得,利用及，计算即可.
【详解】
因为,
所以

，
所以，
故选：A
本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.
7．B
【解析】
先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求.
【详解】
解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有，
其和等于16的结果，共2种等可能的结果，
故概率.
故选：B.
古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.
8．B
【解析】
因为，所以，故选B．
9．C
【解析】
利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.
【详解】
由已知，双曲线的渐近线方程为，故圆心到渐近线的距离等于1，即，
所以，.
故选：C.
本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.
10．C
【解析】
由等差数列通项公式得，求出，再利用等差数列前项和公式能求出.
【详解】
正项等差数列的前项和，
，
，
解得或（舍），
，故选C.
本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.
11．D
【解析】
利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.
【详解】
《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为，其中产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为．故选D．
本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
12．C
【解析】
结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案.
【详解】
对于命题①,因为,所以“”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;
对于命题②,充分性:中,若,则,由余弦函数的单调性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,结合余弦函数的单调性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命题②正确;
对于命题③,将函数的图象向左平移个单位长度,可得到的图象,即命题③是假命题．
故假命题有①③.
故选:C
本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由已知可知直线过抛物线的焦点，求出弦的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦的中点到直线的距离．
【详解】
解：如图，
直线过定点，，
而抛物线的焦点为，，
弦的中点到准线的距离为，
则弦的中点到直线的距离等于．
故答案为：．

本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，属于中档题．
14．
【解析】
两函数图象上存在关于轴对称的点的等价命题是方程在区间上有解，化简方程在区间上有解，构造函数，求导，求出单调区间，利用函数性质得解.
【详解】
解：根据题意，若函数与的图象上存在关于轴对称的点，
则方程在区间上有解，
即方程在区间上有解，
设函数，其导数，
又由，可得：当时， 为减函数，
当时， 为增函数，
故函数有最小值，
又由；比较可得： ，
故函数有最大值，
故函数在区间上的值域为；
若方程在区间上有解，

必有，则有，
即的取值范围是；
故答案为：；
本题利用导数研究函数在某区间上最值求参数的问题, 函数零点问题的拓展. 由于函数的零点就是方程的根，在研究方程的有关问题时，可以将方程问题转化为函数问题解决. 此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决.
15．
【解析】
分两步进行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，对每一行选人；最后，利用计算出概率即可.
【详解】
首先，第一行队伍的排法有种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后，第一行的每个位置的人员安排有种；第二行的每个位置的人员安排有种；第三行的每个位置的人员安排有种.所以来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率.
故答案为：.
本题考查了分步计数原理，排列与组合知识，考查了转化能力，属于中档题.
16．
【解析】
某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比.
【详解】
设抽取的样本容量为x，由已知，，解得.
故答案为：
本题考查随机抽样中的分层抽样，考查学生基本的运算能力，是一道容易题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ｉ）根据，利用二倍角公式得到，再由辅助角公式得到，然后根据正弦函数的性质求解.
（Ⅱ）根据（Ｉ）由余弦定理得到，再利用重要不等式得到，然后由求解.
【详解】
（Ｉ）因为，
所以，
，
，
或，
或，
因为，
所以
所以；
（Ⅱ）由余弦定理得： ，
所以，
所以，当且仅当取等号，
又因为，
所以，
所以
本题主要考查二倍角公式，辅助角公式以及余弦定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18．（1）：，：；（2），此时.
【解析】
试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.
（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
考点：坐标系与参数方程.
【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．
19．
【解析】
将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求实数的值.
【详解】
由，得，
， 即圆的方程为，
又由消，得，
直线与圆相切，，．
本题重点考查方程的互化，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径,研究直线与圆相切.
20．（1）（2）
【解析】
(1) 利用分段讨论法去掉绝对值,结合图象,从而求得不等式的解集;
(2) 求出函数的最小值,把问题化为,从而求得的取值范围.
【详解】
（1）当时，
则

所以不等式的解集为.
（2）等价于，
而，
故等价于，
所以或，
即或，
所以实数a的取值范围为.
本题考查含有绝对值的不等式解法、不等式恒成立问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力，难度一般.
21．（1）；（2）．
【解析】
（1）利用正弦定理，结合题中条件，可以得到，之后应用余弦定理即可求得；
（2）利用正弦定理求得，求出三角形的周长，利用三角函数的最值求解即可.
【详解】
（1）由已知可得，
结合正弦定理可得，∴，
又，∴．
（2）由，及正弦定理得，
∴，，
故，即，
由，得，∴当，即时，．
该题主要考查的是有关解三角形的问题，解题的关键是掌握正余弦定理，属于简单题目.
22．（1）见解析（2）（3）见解析
【解析】
（1）令可得，即．得到，再利用通项公式和前n项和的关系求解，
（2）由（1）知，．设等比数列的公比为，所以，再根据恰为与的等比中项求解，
（3）由（2）得到时，，
，求得，再代入证明。
【详解】
（1）解：令可得，即．所以．
时，可得，
当时，所以．
显然当时，满足上式．所以．
，所以数列是等差数列，
（2）由（1）知，．
设等比数列的公比为，所以
，
恰为与的等比中项，
所以，
解得，所以
（3）时，，，而时，，
，
所以当时，.
当时，，
∴对任意，都有，
本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系，等差数列，等比数列的定义和性质以及数列放缩的方法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题，