高考数学复习专题八数学思想数学核心素养与数学文化第2讲函数与方程数形结合思想练习.doc

第2讲　函数与方程、数形结合思想
数学思想解读　1.函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系、相互为用的.2.数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.

热点一　函数与方程思想
应用1　求解不等式、函数零点的问题
【例1】 (1)设0<a<1，e为自然对数的底数，则a，ae，ea－1的大小关系为(　　)
A.ea－1<a<ae B.ae<a<ea－1
C.ae<ea－1<a D.a<ea－1<ae
(2)(2018·湖南六校联考)已知函数h(x)＝xln x与函数g(x)＝kx－1的图象在区间上有两个不同的交点，则实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C.(1，e－1] D.(1，＋∞)
解析　(1)设f(x)＝ex－x－1，x>0，
则f′(x)＝ex－1>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(0)＝0，f(x)>0，
∴ex－1>x，即ea－1>a.
又y＝ax(0<a<1)在R上是减函数，得a>ae，
从而ea－1>a>ae.
(2)令h(x)＝g(x)，得xln x＋1＝kx，即＋ln x＝k.
令函数f(x)＝ln x＋，若方程xln x－kx＋1＝0在区间上有两个不等实根，则函数f(x)＝ln x＋与y＝k在区间上有两个不相同的交点，f′(x)＝－，令－＝0可得x＝1，当x∈时f′(x)<0，函数是减函数；当x∈(1，e)时，f′(x)>0，函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为f(1)＝1，而f ＝－1＋e，f(e)＝1＋，又－1＋e>1＋，所以，函数的最大值为e－1.所以关于x的方程xln x－kx＋1＝0在区间上有两个不等实根，则实数k的取值范围是.
答案　(1)B　(2)B
探究提高　1.第(1)题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解.
2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题
(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题.
(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决.
【训练1】 (1)设函数f(x)＝－cos x，则方程f(x)＝所有实根的和为(　　)
A.0 B. C. D.
(2)(2018·石家庄质检)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝log2(1－x)，若f(a2－1)<1，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－，0)∪(0，) B.(－，)
C.(－1，0)∪(0，1) D.(－1，1)
解析　(1)由f(x)＝－cos x＝，得－＝cos x，
令y＝－，y＝cos x.
在同一坐标系内作出两函数图象，易知两图象只有一个交点.
∴方程f(x)＝的实根之和为.
(2)依题意，f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(x)在R上是偶函数.
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝f(－1)＝1.
由f(a2－1)<1，得|a2－1|<1，解得－<a<0或0<a<.
答案　(1)C　(2)A
应用2　函数与方程思想在数列中的应用
【例2】 已知数列{an}是各项均为正数的等差数列.
(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；
(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝＋＋…＋，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值.
解　(1)∵a1＝2，a＝a2(a4＋1)，
又∵{an}是正项等差数列，故d≥0，
∴(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，得d＝2或d＝－1(舍去)，
∴数列{an}的通项公式an＝2n.
(2)∵Sn＝n(n＋1)，则＝＝－.
∴bn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝－＝＝.
令f(x)＝2x＋(x≥1)，则f′(x)＝2－>0恒成立，
∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，
即当n＝1时，(bn)max＝.
要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，
则须使k≥(bn)max＝，∴实数k的最小值为.
探究提高　1.本题完美体现函数与方程思想的应用，第(2)问利用裂项相消求bn，构造函数，利用单调性求bn的最大值.
2.数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n项和公式即为相应的解析式，因此解决数列最值(范围)问题的方法如下：(1)由其表达式判断单调性，求出最值；(2)由表达式不易判断单调性时，借助an＋1－an的正负判断其单调性.
【训练2】 (2018·东北三省四校二模)已知等差数列{an}的公差d＝1，等比数列{bn}的公比q＝2，若1是a1，b1的等比中项，设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，且a·b＝5.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝2anlog2bn，求数列{cn}的前n项和Tn.
解　(1)依题设，a1b1＝1，且a·b＝5.
∴即
解之得
数列{an}的公差为d＝1，{bn}的公比q＝2，
所以an＝n，bn＝2n－1(n∈N*).
(2)cn＝2anlog2bn＝2n·log22n－1＝(n－1)2n(n∈N)，
Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)2n，
2Tn＝23＋2×24＋3×25＋…＋(n－1)2n＋1，
两式相减得，
－Tn＝22＋23＋24＋…＋2n－(n－1)2n＋1，
＝－(n－1)2n＋1＝－4＋(2－n)2n＋1，
Tn＝(n－2)2n＋1＋4(n∈N*).
应用3　函数与方程思想在几何问题中的应用
【例3】 设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点.
(1)若＝6，求k的值；
(2)求四边形AEBF面积的最大值.

解　(1)依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k＞0).
如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2，且x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，
故x2＝－x1＝.①
由＝6知x0－x1＝6(x2－x0)，
得x0＝(6x2＋x1)＝x2＝；
由D在AB上知x0＋2kx0＝2，
得x0＝.所以＝，
化简得24k2－25k＋6＝0，解得k＝或k＝.
(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为
h1＝＝，
h2＝＝.
又|AB|＝＝，
所以四边形AEBF的面积为
S＝|AB|(h1＋h2)
＝··＝
＝2＝2≤2，
当且仅当4k2＝1(k＞0)，即当k＝时，上式取等号.
所以S的最大值为2.
即四边形AEBF面积的最大值为2.
探究提高　几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法.
【训练3】 (1)(2018·长沙一中质检)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(　　)

A. B.
C. D.
(2)若点O和点F(－2，0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为________.
解析　(1)如图所示，原工件是一个底面半径为1，高为2的圆锥，依题意加工后的新工件是圆锥的内接长方体，且落在圆锥底面上的面是正方形，设正方形的边长为a，长方体的高为h，则0<a<，0<h<2.
于是＝，h＝2－a.
令f(a)＝V长方体＝a2h＝2a2－a3，
∴f′(a)＝4a－3a2，
令f′(a)＝0，解得a＝，易知f(a)max＝f＝.
∴材料利用率＝＝.
(2)由c＝2得a2＋1＝4，
所以a2＝3.
所以双曲线方程为－y2＝1.
设点P(x，y)(x≥)，
·＝(x，y)·(x＋2，y)
＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋－1＝x2＋2x－1(x≥).
令g(x)＝x2＋2x－1(x≥)，
则g(x)在[，＋∞)上单调递增.
g(x)min＝g()＝3＋2.
所以·的取值范围为[3＋2，＋∞).
答案　(1)A　(2)[3＋2，＋∞)
热点二　数形结合思想
应用1　在函数与方程中的应用
【例4】 (1)记实数x1，x2，…，xn中最小数为min{x1，x2，…，xn}，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3，13－x}的最大值为(　　)
A.5 B.6 C.8 D.10
(2)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.

解析　(1)在同一坐标系中作出三个函数y＝x2＋1，y＝x＋3，y＝13－x的图象如图：由图可知，在实数集R上，min{x2＋1，x＋3，13－x}为y＝x＋3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC，与直线y＝13－x点C下方的部分的组合图.显然，在区间[0，＋∞)上，在C点时，y＝min{x2＋1，x＋3，13－x}取得最大值.
解方程组得点C(5，8).所以f(x)max＝8.
(2)作出f(x)的图象如图所示.当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2.
∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.
答案　(1)C　(2)(3，＋∞)
探究提高　1.第(1)题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第(2)题把函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点问题，利用几何直观求解.
2.探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题.
(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合.
【训练4】 若函数f(x)满足f(x－1)＝，当x∈[－1，0]时，f(x)＝x，若在区间[－1，1)上，g(x)＝f(x)－mx＋m有两个零点，则实数m的取值范围为________.
解析　∵x∈[－1，0]时，f(x)＝x.
∴当x∈(0，1)时，－1<x－1<0，
∴f(x－1)＝x－1，从而x－1＝.因此，x∈(0，1)时，f(x)＝＋1，作出函数f(x)在[－1，1)上的图象，如图所示.因为g(x)＝f(x)－mx＋m有两个零点.∴y＝f(x)的图象与直线y＝m(x－1)在区间[－1，1)上有两个交点，
又kAB＝＝，由几何直观知0<m≤.
答案　
应用2　数形结合求解不等式与平面向量问题
【例5】　(1)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于(　　)
A.13 B.15 C.19 D.21
(2)(2018·西安调研)已知变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m＝(　　)
A.－1 B.－2 C.1 D.2
解析　(1)以点A为坐标原点，，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示.
则有A(0，0)，B，C(0，t)，
由＝＋可知P(1，4)，
那么＝，＝(－1，t－4)，
故·＝·(－1，t－4)＝－－4t＋17
≤－2＋17＝13.
当且仅当＝4t，即t＝时等号成立.
(2)将目标函数变形为y＝2x－z，当z取最大值时，直线y＝2x－z在y轴上的截距最小，故当m≤时，不满足题意.

当m>时，作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界).

y＝2x－z过点B时，直线在y轴上的截距最小，此时z＝2x－y取得最大值.
易求点B，
∴最大值为z＝2×－＝2，解得m＝1.
答案　(1)A　(2)C
探究提高　1.平面向量中数形结合关注点：(1)能建系的优先根据目标条件建立适当的平面直角坐标系；(2)重视坐标运算、数量积及有关几何意义求解.
2.求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题.
【训练5】 (1)当x∈(1，2)时，(x－1)2<logax恒成立，则实数a的取值范围是________.
(2)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)
A.1 B.2 C. D.
解析　(1)由题意，易知a>1.
在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的图象.
若y＝logax过点(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2.
根据题意，函数y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方.
结合图象，a的取值范围是(1，2].
(2)因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c).如图所示，设＝c，＝a，＝b，＝a－c，＝b－c，即⊥.
又因为⊥，所以O，A，C，B四点共圆.当且仅当OC为圆的直径时，|c|最大，且最大值为.
答案　(1)(1，2]　(2)C
应用3　圆锥曲线中的数形结合思想
【例6】 已知抛物线的方程为x2＝8y，点F是其焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________.
解析　因为(－2)2<8×4，所以点A(－2，4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ.则△APF的周长为|PF|＋|PA|
＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.
因为A(－2，4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝，故使△APF的周长最小的点P的坐标为.
答案　
探究提高　1.对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解.
2.应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.
【训练6】 (2018·江南名校联考)设A，B在圆x2＋y2＝1上运动，且|AB|＝，点P在直线l：3x＋4y－12＝0上运动，则|＋|的最小值为(　　)
A.3 B.4 C. D.
解析　设AB的中点为D，则＋＝2，
∴当且仅当O，D，P三点共线时，|＋|取得最小值，
此时OP⊥AB，且OP⊥l.
∵圆心到直线l的距离为＝，|OD|＝＝，∴|＋|的最小值为2×＝.
答案　D