1、第2讲函数与方程、数形结合思想一、函数与方程思想函数思想方程思想函数思想是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想方程思想就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得到解决的思想函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系应用一函数与方程思想在不等式中的应用典型例题 设不等式2x1m(x21)对满足|m|2的一切实数m都成立，则x的取值范围为_【解析】问题可以变成关于m的不等式(x21)m(2x
2、1)0在m2，2上恒成立，设f(m)(x21)m(2x1)，则即解得x，故x的取值范围为(，)【答案】(，)一般地，对于多变元问题，需要根据条件和要求解的结果，确定一个变量，创设新的函数，求解本题的关键是变换自变量，以参数m作为自变量构造函数式，不等式的问题就变成函数在闭区间上的值域问题 对点训练1设0a1，e为自然对数的底数，则a，ae，ea1的大小关系为()Aea1aaeBaeaea1Caeea1aDaea10，则f(x)ex10，所以f(x)在(0，)上是增函数，且f(0)0，f(x)0，所以ex1x，即ea1a.又yax(0aae，从而ea1aae.2关于x的不等式x1a22a0在x(
3、2，)上恒成立，则a_解析：关于x的不等式x1a22a0在x(2，)上恒成立函数f(x)x在x(2，)上的值域为(a22a1，)因为函数f(x)x在(2，)上为增函数，所以f(x)24，即f(x)在(2，)上的值域为(4，)，所以a22a14，解得a1或a3.答案：1或3应用二函数与方程思想在数列中的应用典型例题 已知数列an是各项均为正数的等差数列(1)若a12，且a2，a3，a41成等比数列，求数列an的通项公式an；(2)在(1)的条件下，数列an的前n项和为Sn，设bn，若对任意的nN*，不等式bnk恒成立，求实数k的最小值【解】(1)因为a12，aa2(a41)，又因为an是正项等差
4、数列，故d0，所以(22d)2(2d)(33d)，得d2或d1(舍去)，所以数列an的通项公式an2n.(2)因为Snn(n1)，则.所以bn.令f(x)2x(x1)，则f(x)20恒成立，所以f(x)在1，)上是增函数，所以当x1时，f(x)minf(1)3，即当n1时，(bn)max，要使对任意的正整数n，不等式bnk恒成立，则须使k(bn)max，所以实数k的最小值为.(1)本题完美体现函数与方程思想的应用，第(2)问利用裂项相消求bn，构造函数，利用单调性求bn的最大值(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n项和公式即为相应的解析式，因此解决数列最值(
5、范围)问题的方法如下：由其表达式判断单调性，求出最值；由表达式不易判断单调性时，借助an1an的正负判断其单调性 对点训练1设等差数列an的前n项和为Sn，若S42，S50，S63，则nSn的最小值为_解析：由已知得，a5S5S42，a6S6S53，因为数列an为等差数列，所以公差da6a51.又S50，所以a12，故Sn2n，即nSn，令f(n)(n0且nZ)，则f(n)n25n，令f(n)0，得n，令f(n)0，得0n0，a1a24，a3a26.(1)求数列an的通项公式；(2)若对任意的nN*，kan，Sn，1都成等差数列，求实数k的值解：(1)因为a1a24，a3a26，所以因为q0，
6、所以q3，a11.所以an13n13n1，故数列an的通项公式为an3n1.(2)由(1)知an3n1，Sn，因为kan，Sn，1成等差数列，所以2Snkan1，即2k3n11，解得k3.应用三函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用典型例题 (1)若方程cos2xsin xa0在x上有解，则a的取值范围是_(2)已知a，b，c为平面上三个向量，又a，b是两个相互垂直的单位向量，向量c满足|c|3，ca2，cb1，x，y均为实数，则|cxayb|的最小值为_【解析】(1)法一：把方程cos2xsin xa0变形为acos2xsin x，设f(x)cos2xsin x，x，f(x)(1sin2
7、x)sin x，由x可得sin x，易求得f(x)的值域为(1，1，故a的取值范围是(1，1法二：令tsin x，由x，可得t(0，1依题意得1t2ta0，即方程t2t1a0在t(0，1上有解，设f(t)t2t1a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线t，如图所示因此，f(t)0在(0，1上有解等价于即所以1b0)经过点，离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)设点A，F分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点F作直线交椭圆E于C，D两点，求四边形OCAD面积的最大值(O为坐标原点)【解】(1)由题设得解得所以椭圆E的方程为1.(2)设直线CD的方程为xky1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，与
8、椭圆方程1联立得(3k24)y26ky90.所以y1y2，y1y2.所以S四边形OCADSOCASODA2|y1|2|y2|y1y2|(其中t，t1)因为当t1时，y3t单调递增，所以3t4，所以S四边形OCAD3(当k0时取等号)，即四边形OCAD面积的最大值为3.几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长、最值(范围)问题的基本方法 对点训练设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线ykx(
9、k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点若6，求k的值解：依题意得椭圆的方程为y21，直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0)如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2，且x1，x2满足方程(14k2)x24，故x2x1.由6知x0x16(x2x0)，得x0(6x2x1)x2.由D在AB上知x02kx02，得x0.所以，化简得24k225k60，解得k或k.二、数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的的解决数学问题的数学思想借助于数的精确性、规范性
10、及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的的解决问题的数学思想数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合应用一数形结合思想在函数与方程中的应用典型例题 (1)记实数x1，x2，xn中最小数为minx1，x2，xn，则定义在区间0，)上的函数f(x)minx21，x3，13x的最大值为()A5B6C8D10(2)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有f(x2)f(2x)，当x(2，0时，f(x)1，则关于x的方程f(x)log8(x2)0在区间(2，
11、6)上根的个数为()A1B2C3D4【解析】(1)在同一坐标系中作出三个函数yx21，yx3，y13x的图象如图：由图可知，在实数集R上，minx21，x3，13x为yx3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC，与直线y13x上点C下方的部分的组合图显然，在区间0，)上，在C点时，yminx21，x3，13x取得最大值解方程组得点C(5，8)所以f(x)max8.(2)因为对任意的xR，都有f(x2)f(2x)，所以f(x)的图象关于直线x2对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x2)f(2x)f(x2)，f(x4)f(x2)2f(x2)2f(x)，所以函数f(x)是周期为4
12、的函数，则函数yf(x)的图象与ylog8(x2)的图象交点的个数即方程f(x)log8(x2)0根的个数，作出yf(x)与ylog8(x2)在区间(2，6)上的图象如图所示，易知两个函数在区间(2，6)上的图象有3个交点，所以方程f(x)log8(x2)0在区间(2，6)上有3个根，故选C.【答案】(1)C(2)C用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(
13、或函数零点)的个数 对点训练1已知函数f(x)(aR)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是()A(0，1B1，)C(0，1)D(，1解析：选A.画出函数f(x)的大致图象如图所示因为函数f(x)在R有两个零点，所以f(x)在(，0和(0，)上各有一个零点当x0时，f(x)有一个零点，需00时，f(x)有一个零点，需a0.综上，0a1，故选A.2若关于x的方程kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为_解析：x0显然是方程的一个实数解；当x0时，方程kx2可化为(x4)|x|(x4且x0)，设f(x)(x4)|x|(x4且x0)，y，原题可以转化为两函数有三个非零交点f(x)(
14、x4)|x|其大致图象如图所示，由图易得0.所以k的取值范围为.答案：应用二数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用典型例题 设函数f(x)，则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，1B(0，)C(1，0)D(，0)【解析】当x0时，函数f(x)2x是减函数，则f(x)f(0)1.作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f(x1)f(2x)，则需或所以x0，故选D.【答案】D求参数范围或解不等式问题经常用到函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算 对点训练若不等式|x
15、2a|xa1对xR恒成立，则a的取值范围是_解析：作出y|x2a|和yxa1的简图，依题意知应有2a22a，故a.答案：(，应用三数形结合思想在解析几何中的应用典型例题 已知抛物线的方程为x28y，点F是其焦点，点A(2，4)，在此抛物线上求一点P，使APF的周长最小，此时点P的坐标为_【解析】因为(2)20，b0)的左焦点为F，直线4x3y200过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，|OP|OF|，则双曲线C的离心率为()A5BCD解析：选A.根据直线4x3y200与x轴的交点F为(5，0)，可知半焦距c5，设双曲线C的右焦点为F2，连接PF2，根据|OF2|OF|且|OP|OF
16、|可得，PFF2为直角三角形如图，过点O作OA垂直于直线4x3y200，垂足为A，则易知OA为PFF2的中位线，又原点O到直线4x3y200的距离d4，所以|PF2|2d8，|PF|6，故结合双曲线的定义可知|PF2|PF|2a2，所以a1，故e5.故选A.2已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m，0)，B(m，0)(m0)若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为_解析：根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3，4)，半径r1，且|AB|2m，因为APB90，连接OP，易知|OP|AB|m.求m的最大值，即求圆C上的点到原点O的最大距离因为|OC|5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值为6.答案：6
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