辅导材料-统计和概率、计数原理、算法初步.doc

2011年厦门市高考数学（理科）冲刺辅导材料
算法初步 计数原理 统计与概率
一、《算法初步》作为高中新课程新增内容，近几年来一直是考查的热点．随着高中新课程的推进，对算法的考查，越来越多地以知识交汇的形式出现，这需要我们在复习备考中予以充分的重视．
1．通过算法语句的形式，考查对算法的认识，并与函数知识交汇．例如：
INPUT
IF THEN

ELSE
IF THEN

ELSE
END IF
END IF
PRINT
有以下程序：

根据上述程序，若函数在上有且只有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
2．通过程序框图的形式，考查对算法的认识，并与统计知识交汇．例如：
下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，知图甲
中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入在，，，
，，的人数依次为、、……、，图乙是统计图甲中
月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，则样本的容量 ；图乙输出的 ．
开始
输入A1，A2，A3，A4，A5，A6
S=0，i = 2
i < 7 ?
输出S
结束
i = i + 1
S = S + A i
图乙

Y

N

二、《计数原理与二项式定理》作为高中数学的传统内容，在高考中一直是倍受重视的．进入高中新课程以来，由于新增知识较多，对这部分内容的考查有所减弱，但从《考试大纲》看，并没有降低对该部分知识的要求，复习备考中，仍应给予重视．
3．用赋值法求二项式展开式中系数和的问题．例如：
对任意的实数，有，则的值是（ ）
A．13 B．16 C．19 D．21
注：若求呢？
4．利用通项公式，研究二项展开式中的特定项．例如：
若的展幵式中存在至少两个有理项，则n的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．排列组合混合应用题，能够较好地考查考生分类与整合思想．例如：
世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作.将这四名学生分配到、、三个不同的展馆
服务，每个展馆至少分配一人，若甲要求不到馆，则不同的分配方案有（ ）
A．36种 B．30种 C．24种 D．20种来
三、《统计与概率》在高中新课程中，知识容量大，授课时数多，是高中六大主干知识之一，在高中新课程中有着突出的地位，高考对本块知识的考查力度也是较大的，既有解答题，也会有一定数量的选择填空题．在备考复习中，对以统计图表为背景，将统计与概率结合的解答题，要充分重视．同时对统计单元出现的许多名词、小知识，要帮助学生温故，以防止学生回生和遗忘．
6．考查考生对各种统计量的理解．例如：
以下四个命题：
① 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测 ，这样
的抽样是分层抽样．
② 两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1．
③ 在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2单位．
④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
说明：教师可通过本题，帮助考生回忆随机抽样、相关系数、回归分析、独立性检验等统计知识．
7．考查考生对正态曲线的了解．例如：
已知随机变量服从正态分布，则=
A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
解析：由正态分布的特征得＝，选A．
8．条件概率问题是高中新课程新增知识，同时也是一个冷点，有必要引起注意．例如：
根据气象资料记载：一年中下雨天数的比例：福州为20%，厦门为15%，两地同时下雨为6%，假设某
一天福州下雨，则这一天厦门也下雨的概率为（ ）
A．6% B．15% C．30% D．40%
开始
结束
输入N
m=0
i=1
i≤N
a=f (-1,1)
b=f (0,2)
2a≤b
m=m+1
i=i+1
输出m
9．随机模拟实验是高中新课程新增知识，也是一个冷门．将其与几何概型、定积分等知识结合在起考查，充分体现了知识的交汇与融合．例如：
右图的程序框图中f(x,y)是产生随机数的函数，它能随机产生区间(x,y)内
的任何一个数，如果输入N值为4000，输出的m值为1840，则利用随机模
拟方法可计算由与及x轴所围成面积的近似值为 .

10．超几何分布是高中新课程概率问题中新出现的一种分布模型，必须引起足够的重视．例如：
某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：
休假次数

人数

根据上表信息解答以下问题：
(Ⅰ) 从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之和，记“函数在区间
，上有且只有一个零点”为事件，求事件发生的概率；
(Ⅱ) 从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数
学期望．
11．将几何概型、独立重复实验、二项分布等概率知识融合，全面考查考生概率知识．例如：
在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且
平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，
且两个实验区是互通的．假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间
是不受影响的．
（Ⅰ）求蜜蜂落入第二实验区的概率；
（Ⅱ）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；
（Ⅲ）记为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量的数学期望．

12．以实际知识为背景，将统计与概率结合，并要求考生运用统计知识对实际问题加以分析，更加充分体现统计与概率知识的应用性．例如：
为提高中小学生的健康素质和体能水平，所有中小学每年都要在体育教学中实施“体能素质测试”，
测试总成绩满分为分.根据规定，体能素质测试成绩在之间为优秀；在之间为良
好；在之间为合格；在之间，体能素质为不合格．现从某校高一年级的900名学生中随机抽取30名学生的测试成绩如下：
65, 84, 76, 70, 56, 81, 87, 83, 91, 75, 81, 88, 80, 82, 93,
85, 90, 77, 86, 81, 83, 82, 82, 64, 79, 86, 68, 71, 89, 96.

（Ⅰ）作出频率分布直方图，并估计该校高一年级体能素质为优秀的学生人数；
（Ⅱ）在上述抽取的30名学生中任取2名，设为体能素质为优秀的学生人数，求的分布列和数学
期望（结果用分数表示）；
（Ⅲ）请你依据所给数据和上述规定，对该校高一学生的体能素质给出一个简短评价．

13．以实际知识为背景，将统计与概率结合，考查考生运用知识的能力与水平．例如：
某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如右表所示：已知分3
期付款的频率为0.2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3
期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元. 用表示经销一辆汽车的利润．
付款方式
分1期
分2期
分3期
分4期
分5期
频 数
40
20

10

（Ⅰ）求上表中的值；
（Ⅱ）若以频率作为概率，求事件A:“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概
率；
（Ⅲ）求的分布列及数学期望．

参考答案与提示
1．答案：C．解析：，由函数图象易得．
2．答案：1000，60002．解析：∵月收入在的频率为 ，且有4000人，
∴样本的容量，由图乙知输出的=10000－4000=6000．
3．答案：C ．解析：令，得，令，得，．
4．答案：B ．解析：．
5．答案：.C．解析：可分甲在B馆或C馆两种情形：
1）甲在B馆 ，若乙丙丁在A或C馆，有种，
若乙丙丁到、、三个馆各去一人，有种， 此时共有12种，
2）同理，甲在C馆共有12种，，
综上，共有24种．
6．答案：D．
7．答案：A．
8．答案：C．
9．答案：2.16
10．解：(Ⅰ) 函数的图象过点，在区间上有且只有一个零点，
则必有
即，解得 ， 所以或，
当时，，当时，，
与为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式
所以；
(Ⅱ) 从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之差的绝对值，
则的可能取值分别是，
于是，，
，
从而的分布列：

0
1
2
3

的数学期望：．
11．解：（Ⅰ）记“蜜蜂落入第一实验区”为事件, “蜜蜂落入第二实验区”为事件，
依题意，，
∴ ，∴ 蜜蜂落入第二实验区的概率为；
（Ⅱ）记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区”为事件，则
，
∴ 恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率.；
（Ⅲ）因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，
所以变量满足二项分布，即～，∴随机变量X的数学期望=40×=5 ．
12．解：(Ⅰ)

根据抽样，估计该校高一学生中体能素质为优秀的有人，
(Ⅱ) 的可能取值为0，1，2,.

分布列为：

所以，数学期望.，
（Ⅲ）答对下述三条中的一条即可．
① 估计该校高一学生中体能素质为优秀有人，占总人数的，
体能素质为良好的有人，占总人数的，
体能素质为优秀或良好的共有人，占总人数的，
说明该校高一学生体能素质良好，
② 估计该校高一学生中体能素质为不合格的有人，占总人数的，
体能素质仅为合格的有人，占总人数的，
体能素质为不合格或仅为合格的共有人，占总人数的，
说明该校高一学生体能素质有待进一步提高，需积极参加体育锻炼．
③ 根据抽样,估计该校高一学生中体能素质为优秀有人，占总人数的，
体能素质为良好的有人，占总人数的，
体能素质为优秀或良好的共有人，占总人数的，
但体能素质为不合格或仅为合格的共有人，占总人数的，说明该校高一
学生体能素质良好,但仍有待进一步提高，还需积极参加体育锻炼．
13．解：（Ⅰ）由得，
∵，∴，
（Ⅱ）记分期付款的期数为，依题意得：
，，，
，，
则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率:
＝：
（Ⅲ）∵的可能取值为：1，1.5，2（单位万元）
，，
，
∴的分布列为

1
1.5
2
P
0.4
0.4
0.2

数学期望(万元) ．