2.1函数值域的几种求法.doc

函数值域的若干求法

一. 函数值域的几点解读
在函数中，与自变量的值对应的的值叫做函数值，函数值的集合即为函数的值域。实质上
1.当函数用表格给出时，其值域指表格中实数的集合。
2.当函数的图象给出时，其值域即为图象在轴上的投影所覆盖的实数的集合。
3.当函数用解析式给出时，其值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。
4.当函数由实际问题给出时，其值域由问题的实际意义确定。
二.求函数值域的几种方法
（一）观察法：
对于一些简单的函数，可以通过定义域及对应法则，用观察的方法来确定函数的值域。
例1：求下列函数的值域

解： 且
所以函数的值域是：

所以函数 的值域是
（二）配方法：
对于二次三项式有关问题，常根据求解问题的要求，采用配方法来解决。对于含有二次三项式的函数，也常用配方法来求其值域。
例2：求下列函数的值域

解： 配方得：
所以函数的值域是：

显然 的最大值是9
函数 的最大值是3 且
所以函数的值域是：
（三） 图象法
就是利用函数图象的直观性求函数值域的方法
例3：求函数的值域
解：将函数化为分段函数：

函数图象如图示：显然
所以函数的值域是：
（四） 换元法：
对于一些无理函数或超越函数，通过换元把它们化为有理函数，然后利用有理函数求值域的一些方法可间接地把原函数的值域求出。
例4：求下列函数的值域
（1）
（2）
解：令 则
由二次函数最大值是 知
当 时
当 时
所以函数的值域是：
（2）设 则 且
于是
所以函数的值域是：
（五） 反函数法
若一个函数是到值域上的一一映射，且反函数易求，则可利用反函数的定义域求原函数的值域
例5：求下列函数的值域
（1）
（2）
解：（1） 易求原函数的反函数为：
由于原函数的定义域为
可得不等式组
所以 或
所以函数 的值域是：
（2）易知原函数的定义域为R，
由函数解析式解出有：当 时有 故当且仅当 时有实数解

所以函数的值域是：
（六） 判别式法：
即利用一元二次方程根的判别式求。若一个有理函数式可化为关于的一元二次方程，则可利用 来求函数值域。
例6：求下列函数的值域
（1）
（2）
解：（1）， 由 可知 R 分母 恒不为0，则原式可化为
整理成关于 的方程得：
解得： （若方程显然不成立）
所以函数 的值域是：
（2）， 将函数两边平方得：
于是:
由于 是实数，故 或
得： 因为函数的定义域为 ，显然
所以函数 的值域是：
（七）不等式法
利用基本不等式 求函数的值域，要注意条件“一正、二定、三相等”
例7：求函数的值域
解： ，
当 时， 当 时
所以函数的值域是：
（八）函数单调性法
利用函数在定义域中的单调性求其值域
例8：求函数的值域
解： 令 ，故不能使用不等式，但 在 时为增函数

所以函数的值域是：
（九）分离系数法
对于一次分式函数，用分离系数法，则较为简单
例9：求的值域
解： 且
所以函数 的值域是：
（十）三角函数法
即利用三角函数的有界性求函数值域
例10：
（十一）导数法
求函数 的值域
解：令得，由于，故比较可知的最大值是3，最小值是，值域为
（ 十一）几何意义法
把一些代数式赋予一定的几何意义，如直线的斜率，线段的长度等。可以将代数中的求最值问题转化为几何中的问题解决，实现数形转化
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