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,总纲目录,教材研读,考点突破,栏目索引,第四节随机事件与古典概型,总纲目录,教材研读,1.事件的分类,考点突破,2.频率和概率,3.事件的关系与运算,考点二互斥事件与对立事件,考点一随机事件的频率与概率,4.概率的几个基本性质,考点三集合的基本运算,5.古典概型,1.事件的分类,确定事件,必然事件,在条件,S,下,一定会,发生的事件叫做相,对于条件,S,的必然事件,不可能,事件,在条件,S,下,一定不会,发生的事件叫做,相对于条件,S,的不可能事件,随机事件,在条件,S,下,可能发生也可能不,发生的事件叫做相对于条件,S,的随机事件,教材研读,2.频率和概率,(1)在相同的条件,S,下重复,n,次试验,观察某一事件,A,是否出现,称,n,次试验,中事件,A,出现的,次数,n,A,为事件,A,出现的频数,称事件,A,出现的比例,f,n,(,A,)=,为事件,A,出现的频率.,(2)对于给定的随机事件,A,随着试验次数的增加,事件,A,发生的,频率,f,n,(,A,),稳定在某个常数上,把这个常数记作,P,(,A,),称为事件,A,的概率,简称,为,A,的概率.,3.事件的关系与运算,名称,定义,符号表示,包含关系,如果事件,A,发生,则事件,B,一定发生,这时称事件,B,包含事件,A,(或称事件,A,包含于事件,B,),B,A,(或,A,B,),相等关系,若,B,A,且,B,A,那么称事件,A,与事件,B,相等,A,=,B,并事件,(和事件),若某事件发生当且仅当,事件,A,或事件,B,发生,则称此事件为事件,A,与事件,B,的并事件(或和事件),A,B,(或,A,+,B,),交事件,(积事件),若某事件发生当且仅当,事件,A,发生且事件,B,发生,则称此事件为事件,A,与事件,B,的交事件(或积事件),A,B,(或,AB,),互斥事件,若,A,B,为,不可能,事件,那么称事件,A,与事件,B,互斥,A,B,=,对立事件,若,A,B,为,不可能,事件,A,B,为,必然,事件,那么称事件,A,与事件,B,互为对立事件,A,B,=,且,A,B,=,U,(,U,为全集),4.概率的几个基本性质,(1)概率的范围为,0,1,.,(2)必然事件的概率为,1,.,(3)不可能事件的概率为,0,.,(4)概率的加法公式,若事件,A,与事件,B,互斥,则,P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),.,(5)对立事件的概率,若事件,A,与事件,B,互为对立事件,则,A,B,为必然事件,P,(,A,B,)=,1,P,(,A,)=,1-,P,(,B,),.,5.古典概型,(1),(2)概率计算公式,P,(,A,)=,.,1.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花,坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛,的概率是,(),A.,B.,C.,D.,C,答案,C从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红,黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色,的花不在同一花坛(即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种,所,以所求事件的概率,P,=,=,故选C.,2.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不,输的概率为,(),A.,B.,C.,D.,A,答案,A设“两人下成和棋”为事件,A,“甲获胜”为事件,B,.事件,A,与,B,是互斥事件,所以甲不输的概率,P,=,P,(,A,+,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,)=,+,=,故选A.,3.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,事件,“至少有一名女生”与事件“全是男生”,(),A.是互斥事件,不是对立事件,B.是对立事件,不是互斥事件,C.既是互斥事件,也是对立事件,D.既不是互斥事件也不是对立事件,C,答案,C“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两,种情况,这两种情况再加上“全是男生”构成全集,且不能同时发生,故,“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件,也是对立事件,故,选C.,4.某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次中10环,有3次中9环,有4次,中8环,有1次未打中.假设此人射击1次,则中靶的概率约为,0.9,;中10,环的概率约为,0.2,.,答案,0.9;0.2,解析,中靶的频数为9,试验次数为10,所以中靶的频率为,=0.9,所以此,人射击1次,中靶的概率约为0.9,同理,中10环的概率约为0.2.,5.给出下列三个命题,其中正确的命题有,个.,有一大批产品,已知次品率为10%,从中任取100件,必有10件是次品;,做7次抛硬币的试验,结果3次正面朝上,因此正面朝上的概率是,;,随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.,答案,0,解析,错,不一定有10件次品;错,是频率而非概率;错,频率不等,价于概率,这是两个不同的概念.,0,考点一随机事件的频率与概率,考点突破,典例1,某险种的基本保费为,a,(单位:元),继续购买该险种的投保人称为,续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:,随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下,统计表:,上年度出险次数,0,1,2,3,4,5,保费,0.85,a,a,1.25,a,1.5,a,1.75,a,2,a,出险次数,0,1,2,3,4,5,频数,60,50,30,30,20,10,(1)记,A,为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求,P,(,A,),的估计值;,(2)记,B,为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保,费的160%”.求,P,(,B,)的估计值;,(3)求续保人本年度平均保费的估计值.,解析,(1)事件,A,发生的条件是当且仅当一年内出险次数小于2.,由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为,=0.55,故,P,(,A,)的估,计值为0.55.,(2)事件,B,发生的条件是当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.,由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为,=0.3,故,P,(,B,)的估计值为0.3.,(3)由所给数据得,保费,0.85,a,a,1.25,a,1.5,a,1.75,a,2,a,频率,0.30,0.25,0.15,0.15,0.10,0.05,调查的200名续保人的平均保费为,0.85,a,0.30+,a,0.25+1.25,a,0.15+1.5,a,0.15+1.75,a,0.10+2,a,0.05=,1.192 5,a,.,因此,续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5,a,.,规律总结,1.概率与频率的关系,频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一,个确定的值,通常用概率来描述随机事件发生的可能性的大小,有时也,用频率作为随机事件概率的估计值.,2.随机事件概率的求法,利用概率的统计定义可求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发,生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率.,1-1(2017北京海淀一模改编,16)据报道,巴基斯坦由中方投资运营的,瓜达尔港已通航.这是一个可以停靠810万吨邮轮的深水港.通过这一,港口,中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区.这相当于给中国平添,了一条大动脉!在打造中巴经济走廊协议(简称协议)中,能源投资约340,亿美元,公路投资约59亿美元,铁路投资约38亿美元,高架铁路投资约16,亿美元,瓜达尔港投资约6.6亿美元,光纤通信投资约0.4亿美元.,有消息称,瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物,吞吐量之和.下表记录了2015年天津、上海两港口的月货物吞吐量(单,位:百万吨):,1月,2月,3月,4月,5月,6月,7月,8月,9月,10月,11月,12月,天津,24,22,26,23,24,26,27,25,28,24,25,26,上海,32,27,33,31,30,31,32,33,30,32,30,30,(1)根据协议提供的信息,用数据说明本次协议的投资重点;,(2)从上表的12个月中任选一个月,求该月天津、上海两港口月货物吞,吐量之和超过55百万吨的概率.,解析,(1)本次协议的投资重点为能源,因为能源投资约340亿美元,占总投资460亿美元的50%以上,所占比重,大,所以本次协议的投资重点为能源.,(2)设事件,A,:从12个月中任选一个月,该月天津、上海两港口月吞吐量,之和超过55百万吨.,根据题中提供的数据信息,可以得到天津、上海两港口的月货物吞吐量,之和(单位:百万吨)分别是56,49,59,54,54,57,59,58,58,56,55,56,其中超过55百万吨的月份有8个,所以,P,(,A,)=,=,.,考点二互斥事件与对立事件,典例2,某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000,张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖,券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为,A,、,B,、,C,求:,(1)1张奖券中奖的概率;,(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.,解析,P,(,A,)=,P,(,B,)=,=,P,(,C,)=,=,.,(1)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.,设“1张奖券中奖”为事件,M,则,M,=,A,B,C,.,A,、,B,、,C,两两互斥,P,(,M,)=,P,(,A,B,C,)=,P,(,A,)+,P,(,B,)+,P,(,C,)=,=,.,故1张奖券中奖的概率为,.,(2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件,N,则事件,N,与“1张,奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,P,(,N,)=1-,P,(,A,B,)=1-(,P,(,A,)+,P,(,B,)=1-,=,.,故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为,.,方法技巧,1.判断互斥事件、对立事件的方法,互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互,斥事件;试验时,若两个事件有且仅有一个发生,则这两个事件为对立事,件,对立事件一定是互斥事件.,2.复杂事件的概率的两种求法,(1)直接求法,将所求事件分解为一些彼此互斥的事件,运用互斥事件的,概率求和公式计算.,(2)间接求法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式,P,(,A,)=1-,P,(,)求解,(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法就比较简便.,2-1一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球,其数量分别为3,2,1,从,中任取两球,则互斥而不对立的两个事件为,(),A.至少有一个白球;都是白球,B.至少有一个白球;至少有一个红球,C.恰有一个白球;一个白球一个黑球,D.至少有一个白球;红球、黑球各一个,D,答案,D红球、黑球各取一个,则一定取不到白球,故“至少有一个白,球”“红球、黑球各一个”为互斥事件,又任取两球还包含“两个红,球”等事件,故D中两事件不是对立事件.,2-2做掷一个骰子的试验,事件,A,表示“小于5的偶数点出现”,事件,B,表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件,A,+,发生的概率为,(),A.,B.,C.,D.,C,答案,C由于基本事件的总数为6,故,P,(,A,)=,=,P,(,B,)=,=,从而,P,(,),=1-,P,(,B,)=1-,=,又,A,与,互斥,故,P,(,A,+,)=,P,(,A,)+,P,(,)=,+,=,.故选C.,考点三古典概型,典例3,(2017北京房山一模,16)某中学高一、高二年级各有8个班,学校,调查了一个学期各班文学名著的阅读量(单位:本),并根据调查结果,得,到如下所示的茎叶图:,为鼓励学生阅读,在高一、高二两个年级中,学校将阅读量高于本年级,阅读量平均数的班级命名为该年级的“书香班级”.,(1)当,a,=4时,记高一年级的“书香班级”数为,m,高二年级的“书香班,级”数为,n,比较,m,n,的大小;,(2)在高一年级的8个班级中,任意选取两个,求这两个班级均是“书香班,级”的概率;,(3)若高二年级的“书香班级”数多于高一年级的“书香班级”数,求,a,的值.(只需写出结论),解析,(1)当,a,=4时,高二年级阅读量的平均数为,(10+16+20+21+22+,23+31+34)=22.125,所以,n,=3;,高一年级阅读量的平均数为,(11+14+18+22+23+25+38+41)=24,所以,m,=3.,所以,m,=,n,.,(2)记“这两个班级均是书香班级”为事件,A,则,P,(,A,)=,=,.,(3),a,的值为0,1,2.,方法技巧,解决关于古典概型的概率问题的关键是正确求出基本事件总数和所求,事件中包含的基本事件数.,(1)基本事件总数较少时,可用列举法把所有基本事件一一列出,但要做,到不重复、不遗漏.,(2)注意区分排列与组合,以及正确使用计数原理.,(3)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时,通常考虑用,对立事件的概率公式,P,(,A,)=1-,P,(,)求解.,3-1(2018北京海淀高三期末,6)从编号分别为1,2,3,4,5,6的六个大小完,全相同的小球中,随机取出三个小球,则恰有两个小球编号相邻的概率,为,(),A.,B.,C.,D.,C,答案,C从六个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,共有,=,20,种取法,编号相邻的有(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),当取(1,2)或(5,6)时,有,=3种取法,当取(2,3)或(3,4)或(4,5)时,有,=2种取法,所以恰有两个小,球编号相邻的概率为,=,故选C.,
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