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FIR数字滤波器的优化设计

学生：赵然然，信息系
指导教师：李永全，信息系
[摘要]FIR数字滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时，又很容易做到有严格的线性相位特性，故FIR数字滤波器用得很多，因而研究FIR数字滤波器的优化设计具有重要的理论意义。本文介绍FIR数字滤波器的原理，并在此基础上利用加权平方误差最小准则、等波纹切比雪夫逼近和最小二乘法对FIR滤波器进行优化设计。在每种设计方法中，都对原理、设计要求、设计步骤、选择特性、最优处理以及相关工具函数等进行了详细介绍。同时，采用MATLAB软件对FIR数字滤波器进行设计，简化了设计中繁琐的计算，而通过滤波前后信号的频谱图的对比，分析不同滤波器的滤波效果，从而更快的得到优化设计方法。
[关键词]FIR数字滤波器 优化设计方法 加权平方误差最小准则 等波纹切比雪夫逼近 最小二乘法

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Optimum Design for FIR Digital Filter

Student:Zhao Ranran, Information Department
Instructor：Li Yongquan, Information Department
[Abstract]FIR digital filter ensure the range characteristics and meet the technical requirements at the same time,and it is easy to do a strict linear phase characteristic,so it is used much more.It is meaningful to research the optimum design for FIR digital filter. This paper introduced the principle of the FIR filter,and used weighed least2squares error criterion, equivalent ripple Chebyshev approximation and the least squares method to carry on the optimized design to the FIR filter. Every kind of design method are explained in detail about its requirements, steps, select properties and optimal treatment. Designing the FIR filter by Matlab can simplify the complicated computation in simulation,and comparing the signal’s spectrum viewers and the sound files which have been generated to analyzing the filtering effect of different digital filters,and gaining the optimization techniques faster.
[Keywords]FIR digital filter optimization techniques weighed least2squares error criterion equivalent ripple Chebyshev approximation least squares method
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前言
数字滤波器(digital filter)是由数字乘法器、加法器和延时单元组成的一种装置。MATLAB是第四代计算机语言,是目前公认的国际上最流行的科学与工程计算的软件工具。随着科技和新兴技术的发展，数字滤波在图像处理、语音识别和模式识别等 数字信号处理中占有越来越重要的地位。与模拟滤波器相比，数字滤波器可以满足滤波器幅度和相位特性的严格要求，可以克服模拟滤波器所无法克服的电压漂移、温度漂移和噪声等问题。有限冲激响应（FIR）滤波器可以保证严格的线性相位。同时由于其实现结构主要是非递归的，因此 FIR 滤波器可以稳定工作。 FIR 滤波器被广泛用于各类数字信号处理系统中实现卷积、相关、自适应滤波、正交插值等处理,对于非实时系统和低速采样系统,FIR 滤波器的运算可在 CPU 或 DSP 处理器上采用软件实现。而由于它越来越重要的地位，本文将对其进行一些简要的介绍，并通过 MATLAB来实现 FIR 数字滤波器的优化，使FIR 数字滤波器设计精度提高，简化其设计过程，而通过这一系列的介绍和实验，让我们进一步的理解和掌握 FIR 数字滤波器。
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研究的目的和意义
FIR数字滤波器的优化设计
1 研究的目的和意义
1.1 研究的目的
与模拟滤波器相比,数字滤波器除了具有数字信号处理固有优点外,还有滤波精度高、稳定性好、灵活性强等优点。FIR数字滤波器是数字信号处理的基础，用来对信号进行过滤，检测与参数估计等处理，利用数字滤波器可改变信号中所含频率分量的相对比例或滤除某些频率分量，使其达到所需要的效果。它在通信、语言，图像、自动控制、雷达，军事、航空航天、医疗和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。尤其在图像处理、数据压缩等方面取得了令人瞩目的进展和成就。FIR滤波器可以得到严格的线性相位,但它的传递函数的极点固定在原点,只能通过改变零点位置来改变性能,为了达到高的选择性,必须用较高的阶数,对于同样的滤波器设计指标,FIR滤波器要求的阶数可能比IIR滤波器高5～10倍。通过本次设计，完成FIR数字滤波器设计的优化，达到提高设计精度 ,简化编程过程,降低滤波器成本等目的。
1.2 研究的意义
大部分工程技术领域中都会涉及到信号的处理问题，其信号表现形式有电、磁、机械以及热、光、声等。信号处理的目的一般是对信号进行分析、变换、综合、估值与识别等。如何在较强的噪声背景下提取出真正的信号或信号的特征，并将其应用于工程实际是信号处理的首要任务。数字信号处理中一个非常重要且应用普遍的技术就是数字滤波。数字滤波器有FIR数字滤波器和IIR数字滤波器，IIR数字滤波器的设计方法是利用模拟滤波器成熟的理论及设计图表进行设计的，因而保留了一些典型模拟滤波器优良的幅度特性，但设计中只考虑了幅度特性，没考虑相位特性，所设计的滤波器一般是某种确定的非线性相位特性。为了得到线性相位特性，对IIR滤波器必须另外加相位校正网络，使滤波器设计变得复杂，成本也高，又难以得到严格的线性相位特性。而FIR滤波器在保证幅度特性，满足技术要求的同时，很容易做到有严格的线性相位特性，故FIR数字滤波器用得很多。
数字滤波技术是数字信号分析、处理技术的重要分支。无论是信号的获取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活地传输是至
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关重要的。在所有的电子系统中，使用最多技术最复杂的要算数字滤波器了。数字滤波器的优劣直接决定产品的优劣，因而研究FIR数字滤波器的优化设计具有重要的理论意义。
2 FIR数字滤波器的基本概念
2.1 滤波器简介
在通信这个大背景之下，信号在传输的过程中会受到很多因素的影响，例如多径衰落，噪音干扰，远近效应，甚至只是简单的电平衰落。这些复杂的环境，会严重干涉信号的正常传输。对某些系统而言，如果不对自然传输的信号加以处理，会使得有效信息产生较大的误差。所以，如何保证信息传输的有效性，成为信息处理的一个关键问题。滤波器就是这个环节中非常重要的一个组成部分。它的作用就是阻隔干扰信号，无用信号，使之相对有用信号更大幅度的衰减，最大可能实现滤波，达到系统要求的理论理想效果。
2.1.1 滤波器的实现
滤波器可以是软件也可以是硬件。除去滤波的特别作用不谈，其实它也只被看做一个信号处理的系统。站在系统的角度，在设计中需要考虑很多因素，例如稳定性等。设计的方法，也基于信号与系统的理论前提。伴随数字系统的优势逐日显露，实际应用中的滤波器大多也是数字滤波器，它可以用以下函数来概括：
（1）
简单来看，数字滤波器的功能，就是把输入序列x (n)通过一定的函数运算变换成输出序列y (n)，满足相关映射关系。
实际设计中，需要先明确滤波器的使用要求，然后确定滤波器的技术指标，从而开始具体设计。归纳起来，滤波器实现的过程包括四个一般步骤：
①确定逼近函数：设计能够满足理想技术指标的转换函数。
②实现方程：将转换函数对应为滤波网络中对数字序列进行运算的方程或相应的系数向量组。
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③研究缺陷：研究实际中的非理想因素的影响，如采样值是否超出存储的有限字长等问题。并做出相应的改进或转变，以求最大程度的逼近理想效果。
④产品实现：使用一定的硬件设备，例如DSP处理器甚至是普通计算机，能够满足专用运算来构建滤波器，它的优点是可以进行实时的处理。当然也可以直接通过软件和专用的数字信号处理芯片来实现。这与实际背景有关。
本文的研究讨论只涉及到滤波器逼近函数的相关内容，从理论上认识和探讨一系列逼近函数和对应理想滤波器的差距。利用MATLAB仿真平台实现设计分析，达到认识和总结的目的。
2.1.2 滤波器的分类
滤波器种类繁多，不同的角度也会造成分类方法的不同。可以从功能、实现方法或者是设计方法上来分类等。
大方向上，滤波器可以分为模拟滤波器和数字滤波器。在模拟滤波器的设计过程中可能更多的涉及到电阻，电容，电感等元器件的应用；他们分别针对模拟系统和数字系统。实际中数字滤波器的应用相对广泛。
从滤波效果来分：能通过的信号频段可以分为低通（Lowpass）、高通（Highpass）、带通(Bandpass)和带阻滤波器（Bandstop）四种。
从硬件组成和应用来看，滤波器种类繁多，比如有源滤波器，自适应滤波器、复数滤波器以及多维滤波器等。
总的来讲还可以分为两大类，就是经典滤波器和现代滤波器。如果信号和噪声处于不同的频带，则滤波器只要具有较好的滤波选频特性就可以达到理想的效果。但是如果信号噪声并没有从频率上区分开来，传统的选频滤波器就无能为力了。另一类通过对随机信号的统计特性进行滤波的现代滤波器就可以满足这种要求。利用自相关函数和功率谱估计出来的信号可能比原来具有更高的性噪比。维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器都属于现代滤波器。本文介绍的滤波器无论是原理还是应用上都只涉及到传统经典滤波器。面对选频背景，主要从滤波的算法上寻优。
从实现方法上来看，数字滤波器还可以分为IIR和FIR，即无限单位冲激响应滤波器和有限单位冲激响应滤波器。FIR滤波器具有严格的线性相位特征，且始终稳定，应用相对比较广泛。而IIR滤波器则用在相位要求不是很严格的场合。此处简要的分析一下IIR相对于FIR的优势。IIR滤波器相对而言，明显的特点就是响应无限。同
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时它的极点可以处于任意位置，会引起系统的不稳定。并且它有反馈回路。它的优势在于所要求的阶数比FIR的低，同时可以借助模拟滤波器的研究成果，直接查表查图，设计过程非常方便。
2.1.3 采样定理
在讨论的滤波器认识之前，简要介绍采样定理。重要性在于它是数字信号理论研究方法的理论基础。
自然产生的信号一般都是连续的，如果选用数字系统（如计算机）来处理信号，就会涉及到数字信号和模拟信号的相互转化。在模数转化（A/D）之前，必须选择采样的周期和量化的电平数。选择错误会产生严重误差并丢失有用信息。采样定理给出了正确选择采样周期T的准则。对频率为的连续正弦信号采样时，采样定理要求采样频率应大于的两倍：
（2）
连续信号可以看做是由一个或多个正弦信号组成，假设其最高频率是，如果采样频率是最高频率的两倍或两倍以上，则正弦信号可以通过等间隔的样值来唯一表示。当采样序列通过一个对高于的正弦信号有抑制作用的系统时，原始连续信号就可以由采样序列重建。
由上可知最小采样频率是，采样频率的一半被定义为奈奎斯特频率（Nyquist frequency），也被叫做折叠频率，它的最小值其实也就是。奈奎斯特频率。如果抽样信号的频率小于最小抽样频率但大于奈奎斯特频率，经采样成为离散信号后，就有小于奈奎斯特的信号混入，混入频率的出现就仿佛有两个信号存在，一个频率是，另一个是。在实际应用中，通常选择采样频率为信号频率最大值的4倍。
利用采样定理正确提取数字信号成为数字系统分析和实践的基础理论。
2.2 FIR数字滤波器特点归纳
FIR数字滤波器有以下几个特点：
① FIR属于数字滤波器，所以它具有数字滤波器所具备的一切通有优点。例如精度高，灵活性可靠性强，能够达到高性能的技术指标，便于时分复用，和大规模集成生产。
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②在结构上，它属于非递归结构，没有输入到输出的反馈。
③FIR滤波器响应有限，利于编成，计算延迟相对较小。
④可以做到任意幅度的频响特性。
⑤因为有限，所以可以采用快速傅里叶变换。大大提高运算效率。故而实践起来方便有效，成为一种非常常见的数字滤波器。
⑥FIR滤波器具有非常好的线性相位。
⑦FIR的极点只能在圆点，所以只能通过调节零点来调整滤波器性能。
⑧因为FIR滤波器响应有限，且极点在单位圆内，所以一定稳定。在一定的时延的背景下，任意的信号都可以变成有限长序列，所以总能用因果系统进行实现。
⑨FIR的阶数要求可能是IIR滤波器的5~10倍，在这一点上增加了一定延迟。
假设FIR数字滤波器的单位脉冲响应h(n)为一个N点序列，0≤n≤N-1，则滤波器的系统函数为：
H(z)=n=0N-1h(n)z-n (3)
说明该系统有N-1阶极点在z=0处，有N-1个零点位于z平面。
FIR数字滤波器有直接型、级联型、线性相关型、快速卷积型和频率采样型等几种结构。
2.3 FIR数字滤波器的网络结构
2.3.1 直接型结构
直接型结构又被称为卷积型或横截性。其系统的差分表达式为：
(4)
在结构中，输出y(n)是每个沿着这条链的抽头信号由相应的系数（脉冲响应）加权，然后将所得乘积相加得到。设计方便简单，所用的乘法器相对较少，使用最为普遍。直接型对其他参数的控制，例如，零点位置等，没有其他结构有优势。根据差分方程可以直接画出系统的结构信号流图如图2-1所示，该结构称为直接型结构，也称为卷积型、横截型结构。
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图1 FIR滤波器的直接型结构

直接型结构的优点：简单直观，乘法运算量较少。缺点：调整零点较难。
2.3.2 级联型结构
当需要控制滤波器的传输零点时，可将H(z)分解为实系数二阶因子的乘积形式：
Hz=n=0N-1h(n)z-n=k=1N-12(β0k+β1kz-1+β2kz-2) (5)
上式中，Hz为h(n)的z变换，β0k，β1k，β2k为实数，N-12表示取的整数部分。当N为偶数时，N-1为奇数，除有N-12个阶子系统外，还有一个一阶子系统，图2给出了N为奇数时的级联型结构。

图2 FIR滤波器的级联型结构
该结构的优点：调整零点比直接型方便。缺点：Hz中的系数比直接型多，因而需要的乘法器多。当Hz的阶次高时，也不易分解。
2.3.3 线性相关型结构
FIR滤波器的线性相位结构有偶对称和奇对称，不论h(n)为偶对称还是奇对称都有：
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当N为偶数时，系统函数为： [] å-=----±=
Hz=n=0(N2)-1h(n)z-n+z-N-1-n (6)
当N为奇数时，系统函数为：
Hz=n=0(N2)-1h(n)z-n+z-N-1-n+hN-12z-N-12 (7)
对这两种情况，都可以用FIR直接型实现，其信号流图如图3所示。
(a)N为偶数

(b)N为奇数

图3 线性相位型结构
这种结构在本质上是直接型，但乘法次数比直接型省了一半。
2.3.4 频率采样型结构
系统函数在单位圆上作N等分取样就是单位取样相应h(n)的离散傅里叶变换Hk。Hk与系统函数之间的关系可用内插公式表示：
H(z)=1-zNk=0N-1Hk1-WN-kz-1 (8)
这个公式为FIR数字滤波器提供了另外一种结构——频率采样型结构。
频率采样型结构是一种用系数将滤波器参数化的一种实现结构，这种结构由两部分级联构成即
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H(z)=1NHczk=0N-1Hkz (9)
其中，级联的第一部分Hcz=1-z-N
为由N节延时单元构成的梳状滤波器，是由N节延时单元组成的全零点网络。
令Hcz=1-z-N=0，即zkN=1=ej2πk，则有
zk=ej2πkN ，k=0，1，2，…，N-1 (10)
即在单位圆上有N个等间隔的零点，其频率响应特性为
Hcejω=1-e-jωN=2je-jωN2sinωN2 (11)
因而幅度响应为
Hcejω=2sinωN2 (12)
级联的第二部分为
k=0N-1Hkz=k=0N-1Hk1-WN-kz-1 (13)
它是由N个一阶网络并联组成，每个一阶网络在单位圆上有 一个极点
zpk=WN-k=ej2πkN (14)
即该网络在频率为ω=2πkN处响应为无穷大，故等效于谐振频率为2πkN的谐振器。一阶网络的极点正好与梳状滤波器的一个零点相抵消，从而使得在该频率上的频率响应等于H(k)。这样N个一阶网络的极点就和梳状滤波器的N个零点相互抵消，从而在N个频域采样点上的频率响应就分别等于N个H(k)值。FIR数字滤波器的频率采样型结构如图4所示。
图4 FIR滤波器的频率采样结构
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频率采样结构的优点：
(1)在频率采样点ωk，H(ejπk)，只要调整H(k)就能有效地调整频响特性;
(2)只要h(n)长度N相同，对于任何频响，其梳状滤波器部分和N个一阶网络部分完全相同，只是各支路增益H(k)不同。相同部分便于标准化、模块化。
缺点:
(1)寄存器长度都是有限的，零、级点可能不能正好抵消，造成系统不稳 ;
(2)当N很大时，其结构很复杂，需要的乘法器和延时单元很多。
2.4 FIR数字滤波器的线性相关
如果FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)为实数序列，并满足一定的对称性（可以是偶对称也可以是奇对称）。并且对称中心在处，则该滤波器就能保证具有准确的线性相位。面对取值N的不同，h(n)可以被划分为四种情况，它们分别对应了四种线性相位的滤波器。详细介绍如下。
1.时域特点
FIR的时域特点可以归结为以下两类：

群时延定义为，是一个常数，所以在此将第一类和第二类线性相位的特征统称为恒定群时延特性。偶对称和奇对称相比，除了具有线性相位特征之外，还有的固定相移，它们共同构成了正交变换网络。
2.频域特点
将线性相位具体分为四类，并在频域上做出分析将特点归纳如下：
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综合以上特点可以将四种线性相位的FIR滤波器的特点总结如下表1：
表1 四种线性相位FIR滤波器的特性

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3 FIR数字滤波器的优化设计
3.1 FIR数字滤波器的优化设计准则
3.1.1 均方误差最小准则
该准则下是希望使得误差能量最小。用表示理想的频率响应，表示实际设计中所得到的滤波响应，并且以来表示频率响应误差： 所以均方误差为：
（15）
将用冲击响应来表示可以得到：
（16）
将冲击带入可以得到：
（17）
从此式中可以观察得出：等式右边第二项的大小和设计值无关，只取决与给定的特性。并且要想让取得最小值，就必须使第一项求和值最小，即：
也就是说满足：
（18）
上面这项表达式中刚好是矩形窗的设计结果。所以，满足均方误差最小准则的是矩形窗。矩形窗虽然过渡带最窄，但是根据前面分析，由于吉布斯效应（Gibbs）效应，窗谱的肩峰过大，造成所设计出的滤波器通带起伏不均匀，而阻带的衰减则过小，并不能满足设计要求。
3.1.2 最大误差最小化准则
该准则又被称作为加权切比雪夫等波纹逼近或雷米兹算法。在该准则中采用的方法为误差函数加权的方法。它的主要思想是希望达到不同频带（比如通带和阻带）加权误差的最大值相等的。
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具体分析，假设加权函数为，得到加权逼近误差函数可以定义为：。由于不同，所以值也可不同，根据不同频带的公差要求的松紧程度合理的选取不同加权值。只需使得各个频带上的即最大值要求一致即可。
设计线性相位的加权切比雪夫等波纹逼近问题还可以抽象为一组系数，使得在逼近的各个频带上，的最大值达到最小。对此帕克斯（Parks）和麦克莱伦（McClellan）引进了逼近理论的一个定理，得出交错定理。
交错定理是切比雪夫最优逼近算法基础。定理明确指出，最优线性相位FIR滤波器加权逼近函数至少应该有（r+1）个极值（r是用于逼近函数的余弦函数的个数。具体而言的极值包括了以下2种情况：
①的极值点（大多数情况的极值同时也是的极值）
②单有极值点（不属于）两种极值点的和就是极值点的最大数目。
定理中还提到，在不同频带上解决逼近问题，误差函数可以在每个频率的端点上得到一个极点，这些点一般都不是的极点，当然和除外，此时可能有极点。比如在第1种线性相位中，最多有极值点r+2=(N+5)/2。同理可以推导出四种线性相位的FIR滤波器余弦数目（r）及极点数目以及的极值点数关系归纳在下表中：
表2 四种线性相位参数特点

类型

极值
1. N为奇数，h(n)偶对称

2. N为偶数，h(n)偶对称

3. N为奇数，h(n)奇对称

4. N为偶数，h(n)奇对称

对于低通响应来讲，在第1种情况中用r+2=(N+5)/2个极值实现的滤波器比交错原理要求的r+1=(N+3)/2个极值还多一个，故把这类滤波器叫做最多波纹滤波器。
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在雷米兹算法（remez）中可以设计任何最优线性相位FIR滤波器。但是在设计之前需要预先知道极值点数的最大值数目。目前，它是一种最为实用的最优化算法。总结起来就是给定单位抽样响应长度N、带通和阻带的截止频率进行设计。算法由加权切比雪夫逼近来描述。逼近函数是由r个独立的预先函数之和，再利用交错定理给出最大误差最小化最优逼进——等波纹逼近。
3.2 基于加权平方误差最小准则的FIR数字滤波器的优化设计
3.2.1 基于均方误差最小准则的FIR 数字滤波器的优化设计
FIR数字滤波器的优化设计问题 ,是在满足给定要求下求出 FIR 数字滤波器的冲激响应 ,使h ( n)的宽度最小(或者说过渡带最窄) 。常用的均方误差最小准则,是以误差的能量最小为判据。若以 E( jω)表示逼近误差谱,即
E(jω) = HD (jω) - H(jω) (19)
HD (jω)为给定滤波器的频率响应, H( jω)是根据所寻找的 h ( n)求得的频率响应
Hjω=n=0N-1h(n）e-jωn (20)
均方误差为: ε2=12π02πHD（ejω）- H（ejω）2dω=12π02πE(jω)2dω （21）
均方误差最小准则就是使ε2最小。按矩形窗口法进行设计所产生的均方误差比任何其他设计方法所产生的都小,但矩形窗口的旁瓣电平太平,致使阻带衰减太小,常常不能满实际要求。因此,均方误差最小准则不适于用作 FIR 数字滤波器的优化设计,采用 “最大误差最小准则” ,即:
min{max| E( jω) | } 　 ω∈[ A ] , N 个抽样值 (22)
用改变 N 个抽样值(或 N 个 h ( n)值) ,使ω
在A 域内最大的绝对误差最小,这个 A 域包括通带和阻带。为了统一使用最大误差最小准则,采用加权函数的形式,即
min{0πWωE2ωdω} (23)
(23)式中 W (ω) 为预先给定的误差加权函数。采用随机抽样最小二乘法进行设计,将 FIR数字滤波器看成一个线性系统,从而可通过辩识系统参数的方法来设计滤波器的系数。
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3.2.2 FIR数字滤波器优化设计的算法实现
设计 FIR 数字滤波器的算法如下:
(1)根据设计要求确定 HD(ω) 、H (ω) 、 滤波器的类型(系数奇或偶对称)及滤波器的阶数 N ;
(2)选定采样点个数 L ,置参数初值θ(0) = 0及递推最小二乘算法的协方差矩阵初值 P (0) =0 ,置 t = 1 ;
(3)按输入输出数据产生方法产生 x ( t )及 y( t ) ;
θ( t ) = θ( t - 1) +Pt-1x(t)1+xτtPt-1x(t)yt-xτtθ(t-1) (24)
P(t)=P(t-1)-P(t-1)x(t)xτtPt-11+xτtPt-1x(t) (25)
(4)若 t < L ,则 t = t + 1 并返回(3) ,否则到(5) ;
(5)根据(4)～(20)式计算 h (0) , h (1) , …, h( N - 1) ;
(6) H( Z) = h (0) + h (1) z-1+ h (2) z-2+…+ h ( N - 1) z-(N-1)，结束。
3.3 基于等波纹切比雪夫逼近准则的最优化设计
3.3.1 等波纹切比雪夫逼近准则
在滤波器的设计中 ,通常情况下通带和阻带误差要求是不一样的。等波纹切比雪夫逼近准则就是通过对通带和阻带使用不同的加权函数 ,实现在不同频段(通常指的是通带和阻带)的加权误差最大值相同 ,从而实现其最大误差在满足性能指标的条件下达到最小值。
3.3.2 加权切比雪夫逼近误差及交错定理
线性相位FIR 数字滤波器根据单位抽样响应 h ( n) 的奇偶对称性以及 h( n) 的长度 N 的奇偶性 ,总共可以分为四种类型。尽管如此 ,FIR数字滤波器的频率响应依然可以采用如下的统一形式来表示:
H（ejω）=e-jN-1/2ωejπ/2kHdω (26)
其中: k ∈{ 0 ,1} , Hd(ω) 为幅度函数,它是一个可正可负的纯实数。 利用三角恒等式知识和交错定理可得:
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H(ω) = Q(ω) P(ω) (27)
在FIR数字滤波器的四种类型中:Q(ω) , P(ω) 的表达式可参阅文献。 则加权切比雪夫误差公式可定义为:
E(ω) = W(ω) [Hdω - H(ω) ] (28)
其中: E(ω) 为加权误差, W(ω) 为逼近误差加权函数, Hdω为理想幅度函数, H(ω) 为实际滤波器幅度函数。 将(27)式代入(28)式并令:
^W (ω) = W(ω) Q (ω) , ^Hdω =Hdω/ Q(ω)
经推导可得:
E(ω) = ^W (ω) [^ H(ω) - P(ω) ] (29)
(29)式也是最终的加权切比雪夫逼近误差函数公式。 那么线性相位 FIR数字滤波器的加权切比雪夫等波纹逼近问题实际上就是求解 P(ω) 表达式的问题,从而使得在实行逼近的频率范围内 E(ω) 的最大绝对值达到最小。 在此定义该最小值表达式为:
‖E(ω) ‖= min[max | E(ejω) | ] (30)
A 为实行逼近的频带。 为了求解(30)式, Parks -McClellan把逼近理论中的交错点定应用到滤波器设计中,从而得出了如下的交错定理:
设 P(ω) 是 r个余弦函数的线性组合,即：
P(ω) =n=0r-1a(n)cosωn (31)
A 是0≤ω≤π内所研究的一个闭子集, ^Hdω是 A 上的一个连续函数,则 P(ω) 在 A 内能够最佳，并且唯一地逼近 ^Hdω的充要条件是:加权切比雪夫逼近误差函数 E(ω) 在A中至少存在r +1个极值点,即在 A中存在ω1<ω2 < L <ωr+1共 r + 1个频率点,各频率点均满足关系式:
E(ωi) = - E(ωi+1) = ±‖E(ω) ‖ (32)
| E(ωi) | = maxω∈A[ E(ω) ] i= 1 ,2 …r (33)
3.3.3 Remez 算法
Remez算法是由 Parks和McClellan等人在1972年推导出来的。 它是将FIR数字滤波器的五个参数( N ,σ1 , σ2 ,ωp , ωs) 中的 N , ωp , ωs和σ1/σ2固定,而视σ1 (或σ2) 为变量的一种迭代方法。 尽管 Herrmann 等人在1971年也推导出来了将 N和σ1 , σ2固定,而将ωp , ωs设为变量的另一种迭代方法,但由于前一种算法最灵活且最有效。 因而成为最优化设计的主要方法。 该方法求解过程为:
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FIR数字滤波器的优化设计
(1)求解δ:首先在滤波器的通带和阻带内等间隔地取 r + 1个频率点ωk ( k = 0 ,1 …r)作为交错点的初始值, 然后利用交错定理中P(ω) =n=0r-1a(n)cosωn的表达及δ的解析式求解出满足下式的δ值:
^Wω^Hdω-P(ω) =-1kδ k = 0 ,1 , L , r (34)
(2)求解 P(ω) :利用求解出来的δ值和预先假定的r +1个频率点求出 P(ωi) (其中 i = 0 ,1Λr - 1)的值,然后根据拉格朗日插值公式求出 P(ω) 的最终表达式。
(3)求解 E(ω) :将求得的 P(ω) 代入下式判定其是否满足不等式
| E(ω) | =| ^ W (ω) [^Hd(ω) - P(ω) ] | <δ 的要求。 若满足要求,则说明已经获得了最优解;若在某些频率点不满足要求,则需要将这些频率点作为新的极值点重新计算,经过反复的迭代直到在所有的频率点上都满足不等式的要求。 这时的δ值就是最终所求的δ值。 这样便获得了最佳逼近。
3.3.4 基于等波纹切比雪夫逼近准则的FIR数字滤波器的最优化设计步骤
(1)给出所需的频率响应 Hdω , 加权函数W(ω) 以及滤波器的单位抽样响应 h ( n) 的长度 N。
(2)由(1)中给定的参数来形成所需的 ^Hdω,^ W , P(ω) 的表达式。
(3)根据 Remez算法,求解逼近问题。
(4)根据求得的 P(ω) 表达式,利用傅立叶逆变换计算出单位抽样响应 h(n) 的表达式即可获解。
3.4 基于最小二乘法的 FIR 数字滤波器的优化设计
3.4.1 设计思想
RLS 思想是选择θ使得各次估计误差平方和为最小即Q=t=1net2=t=1nYt-θ'Xt2。换言之,Q 函数最小二乘估计θ就是使误差函数 Q 为最小那个θ，θ 这个量可以理解为误差能量.因此,最小二乘估计θ使误差能量为最小.
结合 RLS 对 FIR 滤波器进行优化设计,在频域计算用 H（ejω）表示实际得到滤波器频响,用Hd（ejω）表示要求频响,以 E（ejω）表示频响误差,即
E（ejω）=Hd（ejω）- H（ejω） （35）
则误差能量：E（ejω）2=Hd（ejω）- H（ejω）2 （36）
均方误差： e2=12π-ππHd（ejω）- H（ejω）2dω （37）
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设计目的是选择一组 h(n）＝F-1H（ejω）使得e2最小.先将公式(35)中Hd（ejω）和H（ejω）分别用它们冲激响应表示Hdejω=-∞∞hd(n)e-jωn，Hejω=n=0N-1h(n）e-jωn。由于用 FIR 滤波器来逼近,故 h(n)长度是有限的.将它们代入(35)可得
Eejω=n=0N-1hdn-h(n）e-jωn+其他nhd(n)e-jωn (38)
按照帕塞瓦公式有e2=n=0N-1hdn-h(n）2+其他nhdn2 (39)
由此式可看出,等式右边第二个求和项只取决于给定特性hdn，它和设计值 h（n）无关，故是一个常数，要使e2最小,就必须使第一项求和式最小,即希望hdn-h(n）=0，0≤n≤N-1. 在这一条件下 ，就有e2=min⁡(e2) ，也就是说要满足 h （n）＝hdn 0≤n≤N-10 其他n，这个式子恰好是矩形窗的结果。
3.4.2 推导低通、高通、带通、带阻 h（n）表达式
(1)低通 h（n）表达式
假设Hdejω=1 0≤ω≤ωc0 ωc≤ω≤π , 窗函数ωRn=1 -N-12≤n≤N-120 其他n 则 h（n）＝sin(n-N-12)ωcπ(n-N-12) 其中 N 值由矩形窗过渡带宽决定，N＝4πVω=2Vf
(2) 高通 h(n)表达式 h（n）＝l- ωcπ n=N-12-sinωc(n-N-12)π(n-N-12) n≠N-12 其中 N值为 N4πVω=2Vf , Δω 为过渡带宽。
（3）带通 h(n)表达式 h（n）＝sinω2(n-N-12)π(n-N-12)-sinω1(n-N-12)π(n-N-12) 其中 N 值仍由过渡带宽决定.
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(4)带阻 h(n)表达式h（n）＝1+ω1+ω2π n=N-12sinω1n-N-12-sinω2n-N-12πn-N-12 n=N-12
3.4.3 FIR 数字滤波器幅度特性推导