三角函数的最值求法总结.doc

三角函数的最值（值域）

一． 可化为 y=Asin (ωx+φ)+B 的三角函数
*关键：运用辅助角公式
例1. 求下列函数的最值
（1）f (x) = sin x+cos x
解：f (x) =2 ( sin x+cos x ) =2 sin (x+)
∴f (x)max =2,f (x) min = －2
如：加上条件 x∈[－ ]
解：―≤ x ≤ , －≤ x +≤
∴ －≤ sin (x +) ≤ 1
∴ f (x) max = 2, f (x)min =－1.

(2) f (x) =sin2x +sin x cos x +1
解：f (x) =.+sin2x+1

=－
当sin(2x－=1时，f(x)max =
当sin(2x－=－1时，f(x)min=－

二、形如y=at2+bt+c二次函数的最值
*关键：换元

例1． 求下列函数的最值
(1) y = cos 2x +cos x－2
解：y = (cosx+
令t =cosx , t∈[－1,1]
y = (t+2－
当t=－即cosx=－时，ymin=－
当t=1即cosx=1时，ymax=0

(2) y =sinx cosx + sinx + cosx
解：令t =sinx+cosx, t∈[－,]，sinx cosx =
y = + t =( t+1)2－1
∴当t =－1时，ymin=－1
当t=时 ymax =

三. 形如y= ( y =
*关键：用y表示cosx （sinx）

例1．y =
解：y cosx +2y =3cosx+1
(y－3) cosx = 1－2y
∵y≠3 ( 提问：为什么？)
∴cosx =
∵≤1,≤1
∴－2≤y ≤,即ymin=－2,ymax=
另解：y =
∵－1≤cosx≤1, 1≤cosx+2≤3,－2≤3－≤
∴ymax=, ymin=－2

思考：y =的最值
小结：
1. 三角恒等式的灵活应用
2. 掌握三角函数求最值的几种常用方法