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4.16 证明连续和离散二维傅里叶变换都是平移和旋转不变的。
首先列出平移和旋转性质：
(4.6-3)
(4.6-4)
旋转性质：
(4.6-5)
证明：由式(4.5-15)得：
由式(4.5-16)得：
依次类推证明其它项。
4.17 由习题4.3可以推出和。使用前一个性质和表4.3中的平移性质证明连续函数的傅里叶变换是
证明：
4.18 证明离散函数的DFT是
证明：离散傅里叶变换
如果，，否则：
考虑实部，，的值介于[-1, 1]，可以想象，，虚部相同，所以
4.19 证明离散函数的DFT是
证明：
4.20 下列问题与表4.1中的性质有关。
★ (a) 证明性质1的正确性。
★ (b) 证明性质3的正确性。
(c) 证明性质6的正确性。
★ (d) 证明性质7的正确性。
(e) 证明性质9的正确性。
(f) 证明性质10的正确性。
★ (g) 证明性质11的正确性。
(h) 证明性质12的正确性。
(i) 证明性质13的正确性。
(a)当为实函数，则
(b)当为实函数，则和并且。而且，所以可以得到：
，便是为偶函数和
为奇函数。
(c)当为复函数，由下式得：
所以得证；
(d)当为复函数，由下式得：
所以得证；
(e)当为实函数、奇函数，则的实部为0，即为虚数，且也是奇数。
由式可知，为虚数。
(f)当为虚函数、偶函数，由下式得：
所以F(u，v)为一虚数。
(g)当为虚函数、奇函数，由下式得：
可知，结果为一实数。
(h)当为复函数、偶函数，由下式得：
由式子可知，前项为实数，而后项为一纯虚偶数。
(i)当为复函数、奇函数，由下式得：
由式子可知，前项为一偶实函数，后项为一纯虚奇数。
★ 4.21 4.6.6节中在讨论频率域滤波时需要对图像进行填充。在该节中给出的图像填充方法是，在图像中行和列的末尾填充0值(见上面的左图)。如果我们把图像放在中心，四周填充0值(见上面的右图)，而不改变所用0值的总数，会有区别吗？试解释原因。
答：如下图所示
观察上图，左图是正确的结果，右图是“缠绕错误”引起的卷积错误。这个缠绕错误出现的原因在于没有对图像进行填充，只有通过填充之后获得适当的间距才能得到正确的卷积结果。
关键在于得到“适当的间距”，左右两种填充可以得到相同的结果。
★ 4.22 同一幅图像的两个傅里叶频谱如右图所示。左边的频谱对应于原图像，右边的频谱图像使用0值填充后得到的。解释右图所示的谱沿垂直轴和水平轴方向的信号强度显著增加的原因。
答：除非原图像中所有的边界都是黑色的，用0值填充图像的边界将不可避免地在图像的一条或多条边界上引入灰度值变化的不连续性，即新增了水平“边界”和垂直“边界”，“边界”意味着高频分量，所以，对应到频域中，我们看到了沿垂直轴和水平轴方向的信号强度显著增加的现象。
4.23 由表4.2可知DFT的直流项与其对应的空间图像的平均值成正比。假定图像尺寸是。假如对图像进行0填充后，图像的尺寸为，其中P和Q分别由式(4.6-31)和式(4.6-32)给出。令代表填充后的函数的DFT的直流项。
★ (a) 原图像平均值和填充后图像平均值的比值是多少？
(b) 吗？假设从数学角度回答。
解：(a) 图像灰度平均值的计算：
所以
原图像平均值和填充后图像平均值的比值是
(b) 是的，它们相等。解释：
我们知道
结合(a)的结论，可以证明。
4.24 证明表4.2中的周期性质(性质8)
证明：离散傅里叶变换
其它证明类似。
4.25 下列问题与表4.3中的性质有关。
★ (a) 证明一维情况下离散卷积定理的正确性。
(b) 对于二维情况，重复(a)
(c) 证明性质9的正确性。
(d) 证明性质13的正确性。
(注意：习题4.18、习题4.19和习题4.31也与表4.3有关)
证明：(a) 一维情况下离散卷积定理的证明
由(4.4-10)以及一维离散傅里叶变换的定义可知
(4.4-10)
一维傅里叶变换：
(4.4-6)
(4.4-7)
而：
所以：
(b) 由(a)可知
(c) 矩形波rect[a, b]的傅里叶变换：
性质9
(d) 证明性质13的正确性。
性质13
4.26 (a) 证明连续变量t和z的连续函数的拉普拉斯变换满足下列傅里叶变换对[拉普拉斯变换的定义见式(3.6.3)]：
(提示：研究表4.3中的性质12并参阅习题4.25(d))
★ (b) 前面闭合显示的表达式仅适用于连续变量。然而，使用滤波器
它可能是离散频率域实现拉普拉斯的基础，，，。解释您怎样实现这个滤波器。
(c) 正如您在例4.20中看到的那样，频率域的拉普拉斯结果类似于使用中心系数为-8的空间模板的结果。请说明频率域拉普拉斯结果与中心系数为-4的空间模板的结果不同的原因。
(a) 证明：由第3章可知，两个连续变量的拉普拉斯函数定义为
根据表4.3中的性质12，可得拉普拉斯函数的傅里叶变换为
得证。
(b) 答：由前面的推导可以看出，拉普拉斯滤波器适用于连续变量。对离散傅里叶变换，我们可以通过对拉普拉斯函数进行采样来构造相应的滤波器：
其中，，。
当傅里叶变换是圆形形式时，频域的拉普拉斯滤波器可以表示为
总之，对空域和频域之间的变换，我们使用以下拉普拉斯傅里叶变换对：
核心思想是：离散的拉普拉斯傅里叶变换是通过对连续的拉普拉斯傅里叶变换进行采样得到的。
(c) 由于拉普拉斯变换是各向同性的，如果空域中的模板包含了对角分量，则拉普拉斯变换的对称性的近似程度更大。所以，相比于中心系数为-4的空间模板，中心系数为-8的空间模板更加类似于频率域的拉普拉斯结果。
★ 4.27 考虑大小为的空间模板，它平均与点(x, y)最靠近的12个邻点，但平均值排除该点本身。
(a) 在频率域找出与其等价的滤波器。
(b) 证明您的结果是一个低通滤波器。
解：为了节省时间，以下不用， 而根据英文版习题答案进行回答
空域的均值(中心点除外)为
由表4.3中的性质3可得：
其中
(b) 为了解释这是一个低通滤波器，我们先将这个滤波器表示为中心形式
为了便于解释，我们先考虑一个变量。当u从0增加到M-1时，的值从-1增加到1，又从1减小到-1，当时，达到最大值1。因此，越远离中心点，该滤波器的值越小，这就是低通滤波。
4.28 基于式(3.6.4)，近似二维离散微分的一种方法是计算形如和的差。
(a) 在频率域找出与其等价的滤波器。
(b) 证明您的结果是一个高通滤波器。
(a) 解：根据离散傅里叶变换DFT的定义和表4.3性质3可得
所以
其中
(b) 为了解释这是一个高通滤波器，我们先将这个滤波器表示为中心形式
当u从0增加到M-1时，的值最初为-1，在时为1，在时为-1，的值从-4变到0，再从0变到-4。所以，越靠近中心点，的幅度越小，因此，这是一个高通滤波。
4.29 找出一个等价的滤波器，它在频率域实现使用图3.37(a)中的拉普拉斯模板执行的空间操作。
解：滤波函数如下：
正如4.28，
其中，
将频率转移到中心点，
当时。越远离中心点，的幅度越大。最重要的一点在于：直流分量被滤除，保留了高频分量，所以这是一个高通滤波器。
4.30 您能想出一种使用傅里叶变换计算(或分部计算)用于图像差分的梯度幅度[见式(3.6-11)]的方法吗？如果您的回答是可以，那么请给出一种方法去实现它。如果您的回答是不可以，请解释原因。
答： (3.6-11)
无法通过傅里叶变换进行上式的计算，因为傅里叶变换是一个线性过程，而该式中涉及到平方和平方根等非线性计算。我们能够利用傅里叶变换计算差值，但是，不能用其处理平方、平方根、绝对值等运算，只能在空域里面处理这些运算。
★ 4.31 在连续频率域中，一个连续高斯低通滤波器有如下传递函数：
证明相应的空间域滤波器是
证明：
4.32 如式(4.9-1)说明的那样，从低通滤波器的传递函数得到高通滤波器的传递函数是可能的：
使用习题4.31中给出的信息，回答空间域高斯高通滤波器是什么形式？
解：对进行傅里叶反变换得
4.33 考虑右侧所示的图像。右侧的图像是通过如下步骤得到的：(a) 用乘以左侧的图像；(b) 计算DFT；(c) 取该变换的复共轭；(d) 计算反DFT；(e) 用乘以结果的实部。(从数学上)解释为什么右边的图像会出现该现象。
证明：取共轭的傅里叶逆变换：
所以变换后的图像与原图像关于原点对称。
4.34 图4.41(b)的水平轴上近似周期性的亮点的来源是什么？
答：这些亮点的来源是左图中左下角等间距的垂直线条。
★ 4.35 图4.53中的每一个滤波器在其中心处都有一个很强的尖刺，解释这些尖刺的来源。
答：这是由于高通滤波器的频域表示为
式中的1，逆变换会空间与是一个冲击响应，因此，空域上的中心处出现了一个尖刺。
4.36 考虑下面所示的图像。右边的图像是对左边图像用高斯低通滤波器进行低通滤波，然后用高斯高通滤波器对其结果再进行高通滤波得到的。图像大小为，两个滤波器均使用了。
(a) 解释右侧图像中戒指的中心部分明亮且实心的原因，考虑滤波后图像的支配特性是物体(如手指、腕骨)的外边界上的边缘及这些边缘之间的暗区域。换句话说，您并不希望高通滤波器将戒指内部的恒定区域渲染为暗色，因为高通滤波消除了直流项？
(b) 如果颠倒滤波处理的顺序，您认为结果会有区别吗？
答：(a) 如果只进行高通滤波，戒指的中心是黑色的。然而，通过低通滤波，我们将黑色中心区域平均化。最终结果中戒指如此明亮的原因在于，戒指边缘的灰度不连续性比图像中其它任何部分都大，因而对显示结果影响最大。
(b) 由于傅里叶变换是线性的，先后顺序对结果没有影响。
4.37 给出一幅大小为的图像，要求做一个实验，实验所用截止频率为的高斯低通滤波器重复对该图像进行低通滤波。而且忽略计算上的舍入误差。令是实验所用机器可表示的最小正数。
★ (a) 令K表示该滤波器使用的次数。在进行实验前，您能预测K为足够大的值时的结果(图像)将是什么吗？如果能，结果是什么？
(b) 推导出保证预测结果的最小K值的表达式。
(a) 高斯低通滤波：
K次滤波得到的结果为：
试想K很大时，将只有通过，即
(b) 为了保证得到上述结果，要求K足够大，由于计算机的最小正数为，则当某一个数小于的一半时，该整数将被置为0。所以，K应该满足条件
不考虑原点，由于u和v都是离散数据，所以，所以
4.38 考虑下面所示的图像序列。最左侧的图像是商用印刷电路板的X射线图像的一部分。该图像右侧的图像分别是使用一个的高斯高通滤波器进行1次、10次和100次滤波后的结果。图像的大小为像素，每个像素由8比特灰度表示。为了便于显示，图像已进行了缩放，但这对本习题没有影响。
(a) 从这几幅图像可以看出，经过有限次数的滤波后，图像将不再发生变化。请说明实际是否如此。可以忽略计算舍入误差。令表示完成此实验的机器可表示的最小正数。
(b) 如果在(a)中确定有限次迭代后变化将停止，求最小的迭代次数。
解：(a) 是的，经过有限次滤波之后，图像将不再发生变化。理解的关键在于将K次高通滤波函数视为
与4.37不同，这儿的滤波器是“凹口”滤波，将滤除，因而，将产生一幅图像，图像中所有像素灰度值的平均值是0(有些像素的灰度值为负数)。所以，有一个K值，当滤波次数大于K时，图像保持不变。
(b) 滤波K次之后，图像保持不变，满足下式：
解出来的K值同4.37
4.39 如图4.59中说明的那样，将高频强调和直方图均衡相结合是实现边缘锐化和对比度增强的有效方法。
(a) 说明这种结合方法是否与先用那种有关。
(b) 如果与应用顺序有关，请给出先采用某种方法的理由。
答：(a) 频域滤波在空域中表示为卷积：
滤波之后再进行直方图均衡：
其中“T”代表直方图均衡变换
如果颠倒顺序，结果为：
由于“T”是一个非线性过程，所以
所以说，这种结合方法与处理的先后顺序有关。
(b) 由图4.59可以看出，高频强调使得图像的对比度降低，所以要先进行高频强调，再进行直方图均衡。
4.40 使用一个布特沃斯高通滤波器构建一个同态滤波器,该滤波器的形状与图4.61中的滤波器的形状相同。
解：同态滤波器如下：
有高斯高通滤波器构建的同态滤波器为
其中且 ，图中所示的滤波器趋向于衰减低频(照射)的贡献，而增强高频(反射)的贡献。最终结果是同时进行动态范围的压缩和对比度的增强。
用布特沃斯高通滤波器构建的同态滤波器为：
4.41 证明式(4.11-16)和式(4.11-17)的正确性。(提示：使用归纳法证明)。
证明：由于，我们可以将式(4.11-16)和式(4.11-17)分别写为：
(1) 对于n=1
所以等式成立
(2) 假设n时成立，可以由此推导出n+1的情况
首先由(4.11-14)得
所以
对于(4.11-17)
所以
得证
4.42 假设有一组图像,这组图像是由对恒星事件进行分析的实验生成.每幅图像都包含一组明亮且松散的点，这些点对应于广袤宇宙空间中的星星。问题是这些星星因为大气折射导致的重叠照射几乎不可见。如果这些图像使用一组冲激建模为一个恒定照射分量的乘积，试提出一个增强过程，它以设计为显示星星自身的图像分量的同态滤波为基础。
解：考虑单个星星，其建模形式为，所以
傅里叶变换后
从该结果可以看出，在频域中，恒定的照射分量对图像的贡献相当于原点处的冲激响应。可以使用凹口滤波器，只将该冲激响应滤除，就能实现星星的图像增强。所以，该问题的解决方法是：每次考虑一颗星星，进行上述滤波，然后将每个独立的结果相加，随后，进行强度定标，以保留星星之间的亮度关联信息。
4.43 一种成熟的医学技术被用于检测电子显微镜生成的某类图像。为了简化检测任务，技术人员决定采用数字图像增强技术，并在处理结束后，检查了一组具有代表性的图像，发现了如下问题：(1) 明亮且孤立的点是不感兴趣的点；(2) 清晰度不够；(3) 一些图像的对比度不够；(4) 平均灰度值已被改变，而正确地执行某种灰度度量的这个值应该是V。技术人员想要纠正这些问题，然后将I1和I2波段之间的所有灰度显示为白色，同时保持其余灰度的正常色调。请为技术人员提出达到期望目标的处理步骤。可以使用地3章和第4章的技术。
(1) 中值滤波
(2) 高频强调
(3) 直方图均衡
(4) 先计算出图像的平均灰度V0，然后对于所有灰度加上(V-V0)
(5) 执行如下函数：
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