资源描述
阶段性测试题十二(综合素质能力测试)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(文)(2014·海南省文昌市检测)设函数y＝的定义域为M，集合N＝{y|y＝x2，x∈R}，则M∩N等于( )
A．∅ B．N
C．[1，＋∞) D．M
[答案] D
[解析] 由题意知，M＝{x|x≥2}，N＝{y|y≥0}，∴M∩N＝M，故选D.
(理)(2014·泉州实验中学期中)设集合M＝{x|x2－2x－3<0}，N＝{x|logx<0}，则M∩N等于( )
A．(－1,1) B．(1,3)
C．(0,1) D．(－1,0)
[答案] B
[解析] 由题意知M＝{x|－1<x<3}，N＝{x|x>1}，∴M∩N＝{x|1<x<3}．
2．(2014·泸州市一诊)下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lgx>1 D．∃x∈R，tanx＝2
[答案] B
[解析] 当x＝1时，(x－1)2＝0，∴B为假命题．
3．(文)(2014·哈六中期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a5＋a11＝12，则S11的值为( )
A．66 B．44
C．36 D．33
[答案] B
[解析] ∵a2＋a5＋a11＝3a1＋15d＝12，
∴a6＝a1＋5d＝4，∴S11＝11a6＝44.
(理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋2n(n≥2)，则a7＝( )
A．53 B．54
C．55 D．109
[答案] C
[解析] ∵a1＝1，an＝an－1＋2n，∴a7＝(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2×7＋2×6＋…＋2×2＋1＝55.
4．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)如图是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是( )
A．4＋4 B．12
C．4 D．8
[答案] B
[解析] 由三视图知，该几何体是正四棱锥，底面边长为2，高为，∴表面积S＝22＋4×(×2×2)＝12，故选B.
(理)(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )
A．2 B.
C．4 D．2
[答案] A
[解析] 由正视图和俯视图可知，其侧视图矩形的长和宽分别为和2，∴其面积为S＝2.
5．(文)(2014·绵阳市南山中学检测)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，如果向该矩形内随机投一点P，那么使得△ABP与△ADP的面积都不小于1的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 在矩形内取一点Q，由点Q分别向AD、AB作垂线，垂足依次为E、F，由S△ABQ＝S△ADQ＝1知，QF＝1，QE＝，
设直线EQ、FQ分别交BC、CD于M、N，则当点P落在矩形QMCN内时，满足要求，
∴所求概率P＝＝＝.
(理)(2014·山西省太原五中月考)若(＋)n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )
A．180 B．120
C．90 D．45
[答案] A
[解析] ∵只有第6项的二项式系数最大，∴n＝10，
∴展开式的通项Tr＋1＝C·()10－r·()r＝2r·C·x，
令＝0得，r＝2，∴常数项为T3＝22·C＝180.
6．(2014·河南淇县一中模拟)下图是一个算法框图，则输出的k的值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
[答案] C
[解析] 解法1：k＝1时，k2－5k＋4＝0，不满足条件；k＝2时，k2－5k＋4＝－2不满足条件；k＝3时，k2－5k＋4＝－2不满足条件；k＝4时，k2－5k＋4＝0不满足条件；k＝5时，k2－5k＋4＝0>0满足条件，此时输出k的值为5.
解法2：由k2－5k＋4>0得k<1或k>4，∵初值k＝1，由“k＝k＋1”知步长为1，∴k∈N，∴满足k2－5k＋4>0的最小k值为5，故当k＝5时，满足程序条件，输出k的值．
7．(2014·山东省菏泽市期中)已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质：①f(x＋1)是偶函数；②f(x＋2)＝－f(x)；③当1≤x1≤x2≤3时，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0，则f(2011)，f(2012)，f(2013)的大小关系为( )
A．f(2011)>f(2012)>f(2013)
B．f(2012)>f(2011)>f(2013)
C．f(2013)>f(2011)>f(2012)
D．f(2013)>f(2012)>f(2011)
[答案] D
[解析] ∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2011)＝f(3)，f(2013)＝f(1)，∵f(x＋1)是偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2012)＝f(0)＝f(2)，∵1≤x1<x2≤3时，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0，∴f(x)在[1,3]上单调递减，∴f(1)>f(2)>f(3)，
∴f(2013)>f(2012)>f(2011)，故选D.
8．(2014·海南省文昌市检测)过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围为( )
A．a<－3或1<a< B．1<a<
C．a>1或a<－3 D．－3<a<1或a>
[答案] A
[解析] 由条件知点A在圆外，
∴
∴∴a<－3或1<a<，故选A.
9．(文)(2014·北京东城区联考)要得到函数y＝sin(2x－)的图象，只要将函数y＝sin2x的图象( )
A．向左平移单位 B．向右平移单位
C．向右平移单位 D．向左平移单位
[答案] C
[解析] ∵y＝sin(2x－)＝sin[2(x－)]，∴将y＝sin2x的图象右移个单位即可得到y＝sin(2x－)的图象．
(理)(2014·开滦二中期中)已知a＝(cosx，sinx)，b＝(sinx，cosx)，记f(x)＝a·b，要得到函数y＝cos2x－sin2x的图象，只需将函数y＝f(x)的图象( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
[答案] C
[解析] ∵f(x)＝a·b＝cosxsinx＋sinxcosx＝sin2x，y＝cos2x－sin2x＝cos2x＝sin(＋2x)＝sin2(x＋)，∴要得到函数y＝cos2x－sin2x的图象，只需将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度．
10．(文)(2014·河北冀州中学期中)在平面直角坐标系中，A(，1)，B点是以原点O为圆心的单位圆上的动点，则|＋|的最大值是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
[答案] B
[解析] 由条件知||＝2，||＝1，
∵|＋|2＝||2＋||2＋2·＝5＋2·，∴要使|＋|最大，应使·取最大值，
又||，||为定值，∴当与同向时，|＋|取到最大值，此时·＝2，∴|＋|max＝3，故选B.
(理)(2014·华师一附中月考)定义方程f(x)＝f ′(x)的实数根x0叫做函数的“新驻点”，若函数g(x)＝sinx(0<x<π)，h(x)＝lnx(x>0)，φ(x)＝x3(x≠0)的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
[答案] B
[解析] g′(x)＝cosx，h′(x)＝，φ′(x)＝3x2，
由sinx＝cosx,0<x<π得x＝，∴a＝；
由x3＝3x2，x≠0得x＝3，∴c＝3.
由lnx＝及x>0得x>1,0<<1，
∴1<x<e，即1<b<e，
∵<1<b<e<3，∴a<b<c.
11．(2014·山西曲沃中学期中)双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2＝4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为( )
A. B．1＋
C．1＋ D．2＋
[答案] B
[解析] y2＝4x的焦点F2(1,0)，
∵|AF2|＝|F1F2|＝2，
∴由抛物线的定义知A点的横坐标为1，即AF2⊥x轴，
从而|AF1|＝2，∴2a＝|AF1|－|AF2|＝2－2，
∴a＝－1，∴e＝＝＝＋1，故选B.
12．(文)(2014·江西白鹭洲中学期中)函数f(x)＝x－sinx(x∈R)的部分图象可能是( )
[答案] A
[解析] 首先f(x)为奇函数，排除D；其次由f ′(x)＝1－cosx≥0知f(x)为增函数，排除C；又在(0，π)上y＝cosx单调递减，从而f ′(x)＝1－cosx单调递增，即在(0，
π)上f(x)的切线斜率逐渐增大，曲线向下凸，排除B，选A.
(理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)函数y＝的图象大致为( )
[答案] D
[解析] 对于f(x)＝，有f(－x)＝＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A；当x略大于0时，y>0，排除B；由＝0得3x＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋，∴f(x)的零点等间隔出现，排除C，故选D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)
13．(文)(2014·抚顺二中期中)已知α∈(，π)，sinα＝，则tan(α－)＝________.
[答案] －7
[解析] ∵α∈(，π)，sinα＝，∴cosα＝－，
∴tanα＝－，∴tan(α－)＝＝＝－7.
(理)(2014·黄冈中学、荆州中学联考)在△ABC中，＝________.
[答案] 1
[解析] 由正弦定理知，
＝＝
＝＝1.
14．(文)(2014·韶关市曲江一中月考)设实数x、y满足约束条件，则3x＋2y的最大值是________．
[答案] 5
[解析] 作出可行域如图，作直线l0：3x＋2y＝0，平移l0得直线l：3x＋2y＝u，当l经过点A(1,1)时，u取最大值，umax＝3×1＋2×1＝5.
(理)(2014·山东省博兴二中质检)已知x，y满足，则2x－y的最大值为________．
[答案] 2
[解析] 作出可行域如图，作直线l0：2x－y＝0，平移l0得直线l：2x－y＝t，当平移到l经过点A(1,0)时，t取最大值，tmax＝2.
[点评] 当直线l：2x－y＝t的纵截距最小时，t取最大值，故t最大时，直线l应过A(1,0)点，而不是B(0,1)点．
15．(文)(2014·吉林省实验中学一模)已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，数列{xn}是一个公差为2的等差数列，且满足f(x8)＋f(x9)＋f(x10)＋f(x11)＝0，则x2014＝________.
[答案] 4009
[解析] ∵{xn}是公差为2的等差数列，
∴x8<x9<x10<x11，
∵奇函数f(x)是定义在R上的增函数，
∴f(x8)<f(x9)<f(x10)<f(x11)，
又∵x8＋x11＝x9＋x10，
f(x8)＋f(x9)＋f(x10)＋f(x11)＝0，
∴x8<x9<0且x11>x10>0，
∴x10＝－x9，x11＝－x8，∴x9＝－1，x2014＝x9＋2·(2014－9)＝4009.
(理)(2014·吉林市摸底)边长是2的正△ABC内接于体积是4π的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为________．
[答案]
[解析] 因为球O的体积为4π，即r3＝4π，所以r＝，设正△ABC的中心为D，连接OD，AD，OA，则OD⊥平面ABC，且OA＝，AD＝，
所以OD＝＝，
所以球面上的点到平面ABC的最大距离为＋r＝.
16．(2014·开滦二中期中)给出下列四个命题：
①函数f(x)＝lnx－2＋x在区间(1，e)上存在零点；
②若f ′(x0)＝0，则函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值；
③若m≥－1，则函数y＝log (x2－2x－m)的值域为R；
④“a＝1”是“函数f(x)＝在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．
其中正确的是________．
[答案] ①③④
[解析] ①∵f(1)·f(e)＝－1·(e－1)<0，又f(x)在(1，e)上的图象连续不断，∴f(x)在(1，e)上存在零点，故①正确；
②f ′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取得极值的必要条件，但不是充分条件，②为假命题；
③要使函数y＝log (x2－2x－m)的值域为R，应使x2－2x＋m取遍所有正数，∴Δ＝4＋4m≥0，∴m≥－1，故③正确；
④a＝1时，f(x)＝，f(－x)＝＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数；f(x)＝为奇函数时，f(－x)＝－f(x)恒成立，∴＝－，即＝，∴e2x－a2＝a2e2x－1，∴(a2－1)(e2x＋1)＝0，∴a2－1＝0，∴a＝±1，∴④正确，故填①③④.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分12分)(文)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且m＝(sinA＋sinB＋sinC，sinC)，n＝(sinB，sinB＋sinC－sinA)，若m∥n.
(1)求A的大小；
(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋cosBcosC的最大值及此时B的值．
[解析] (1)因为m∥n，所以(sinA＋sinB＋sinC)(sinB＋sinC－sinA)＝sinBsinC，
根据正弦定理得，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝bc，
即a2＝b2＋c2＋bc，
由余弦定理得，cosA＝＝－，
又A∈(0，π)，
所以A＝π.
(2)由正弦定理及a＝得，S＝bcsinA＝··asinC＝sinBsinC，
所以S＋cosBcosC＝(cosBcosC＋sinBsinC)
＝cos(B－C)，
所以当B＝C时，即B＝C＝时，S＋cosBcosC取最大值.
(理)(2014·西安市长安中学期中)已知平面向量a＝(cosφ，sinφ)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinφ，－cosφ)，其中0<φ<π，且函数f(x)＝(a·b)cosx＋(b·c)sinx的图象过点(，1)．
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在[0，]上的最大值和最小值．
[解析] (1)∵a·b＝cosφcosx＋sinφsinx＝cos(φ－x)，
b·c＝cosxsinφ－sinxcosφ＝sin(φ－x)，
∴f(x)＝(a·b)cosx＋(b·c)sinx
＝cos(φ－x)cosx＋sin(φ－x)sinx
＝cos(φ－x－x)＝cos(2x－φ)，
即f(x)＝cos(2x－φ)，
∴f()＝cos(－φ)＝1，
而0<φ<π，∴φ＝.
(2)由(1)得，f(x)＝cos(2x－)，
于是g(x)＝cos[2(x)－]，
即g(x)＝cos(x－)．
当x∈[0，]时，－≤x－≤，
所以≤cos(x－)≤1，
即当x＝0时，g(x)取得最小值，
当x＝时，g(x)取得最大值1.
18．(本小题满分12分)(文)(2014·韶关市曲江一中月考)等差数列{an}中，a3＝3，前7项和S7＝28.
(1)求数列{an}的公差d；
(2)等比数列{bn}中，b1＝a2，b2＝a4，求数列{bn}的前n项和Tn(n∈N*)．
[解析] (1)S7＝＝7a4＝28，
∴a4＝4，
又∵a3＝3，∴d＝a4－a3＝1.
(2)由(1)知数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴an＝1＋(n－1)＝n，
∴b1＝2，b2＝4，
∴数列{bn}的公比q＝＝2，
∴Tn＝＝＝2n＋1－2.
(理)(2014·开滦二中期中)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋cn，(c是不为0的常数，n∈N*)，且a1，a2，a3成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析] (1)由已知a2＝2＋c，a3＝2＋3c，
则(2＋c)2＝2(2＋3c)，∴c＝2，∴an＋1＝an＋2n，
n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋2×1＋2×2＋…＋2×(n－1)＝n2－n＋2，
n＝1时，a1＝2也适合上式，因此an＝n2－n＋2.
(2)bn＝＝，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋＋…＋＋，
Tn＝＋＋＋…＋＋，用错位相减法可求得Tn＝1－.
19．(本小题满分12分)(文)(2014·泗阳县模拟)直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝BB1＝1，AB1＝.
(1)求证：平面AB1C⊥平面B1CB；
(2)求三棱锥A1－AB1C的体积．
[解析] (1)直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，∴BB1⊥AB，BB1⊥AC，
又由于AC＝BC＝BB1＝1，AB1＝，∴AB＝，
则由AC2＋BC2＝AB2可知，AC⊥BC，
∴AC⊥平面B1CB，
∴平面AB1C⊥平面B1CB.
(2)∵BC⊥AC，BC⊥CC1，∴BC⊥平面ACC1A1，
∴B到平面ACC1A1的距离d＝1，
∵BB1∥平面ACC1A1，∴B1到平面A1AC的距离为1，
∴三棱锥A1－AB1C的体积＝×(×1×1)×1＝.
(理)(2014·海南省文昌市检测)如图，已知ABCD为平行四边形，∠A＝60°，AF＝2FB，AB＝6，点E在CD上，EF∥BC，BD⊥AD，BD与EF相交于点N.现将四边形ADEF沿EF折起，使点D在平面BCEF上的射影恰在直线BC上．
(1)求证：BD⊥平面BCEF；
(2)求折后直线DN与直线BF所成角的余弦值；
(3)求三棱锥N－ABF的体积．
[解析] (1)由条件知EF⊥DN，EF⊥BN，
∴EF⊥平面BDN，
∴平面BDN⊥平面BCEF，
∵BN＝平面BDN∩平面BCEF，
∴D在平面BCEF上的射影在直线BN上，
又D在平面BCEF上的射影在直线BC上，
∴D在平面BCEF上的射影即为点B，
故BD⊥平面BCEF.
(2)法一．如图，建立空间直角坐标系，
∵在原平面图形中AB＝6，∠DAB＝60°，
∴BD＝3，∵EF∥AD，AF＝2FB，∴DN＝2BN，
∴BN＝，DN＝2，∴折后立体图形中BD＝3，BC＝3，
∴N(0，，0)，D(0,0,3)，C(3,0,0)，＝＝(－1,0,0)，
∴＝＋＝(－1，，0)，＝(0，，－3)，
∴cos〈，〉＝＝，
∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为.
法二：在线段BC上取点M，使BM＝NF，则MN∥BF，
∴∠DNM或其补角为DN与BF所成的角．
又MN＝BF＝2，DM＝＝，DN＝2.
∴cos∠DNM＝＝，
∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为.
(3)∵AD∥EF，∴A到平面BNF的距离等于D到平面BNF的距离，
∴VN－ABF＝VA－BNF＝VD－BNF＝S△BNF·BD＝，
即所求三棱锥的体积为.
20．(本小题满分12分)(文)(2014·屯溪一中期中)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f ′(x)满足f ′(1)＝2a，f ′(2)＝－b，其中常数a、b∈R.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)设g(x)＝f ′(x)e－x，求函数g(x)的极值．
[解析] ∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，∴f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∵f ′(1)＝2a，∴3＋2a＋b＝2a，
∵f ′(2)＝－b，∴12＋4a＋b＝－b，
∴a＝－，b＝－3，
∴f(x)＝x3－x2－3x＋1，f ′(x)＝3x2－3x－3，
∴f(1)＝－，f ′(1)＝－3，
∴切线方程为y－(－)＝－3(x－1)，
即6x＋2y－1＝0.
(2)∵g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，∴g′(x)＝(6x－3)e－x＋(3x2－3x－3)·(－e－x)，
∴g′(x)＝－3x(x－3)e－x，
∴当0<x<3时，g′(x)>0，当x>3时，g′(x)<0，当x<0时，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，
所以g极小(x)＝g(0)＝－3，g极大(x)＝g(3)＝15e－3.
(理)(2014·福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足：y＝f(x)＝ax2＋x－bln，a，b为常数．当x＝10万元时，y＝19.2万元；当x＝30万元时，y＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)．
[解析] (1)由条件可得
解得a＝－，b＝1，
则f(x)＝－＋x－ln(x≥10)．
(2)T(x)＝f(x)－x＝－＋x－ln(x≥10)，
则T′(x)＝＋－＝－，
令T′(x)＝0，则x＝1(舍)或x＝50，
当x∈(10,50)时，T′(x)>0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；
当x∈(50，＋∞)时，T′(x)<0，因此T(x)在(50，＋∞)上是减函数，
∴当x＝50时，T(x)取最大值．
T(50)＝－＋×50－ln＝24.4(万元)．
即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元．
21．(本小题满分12分)(文)(2014·长沙市重点中学月考)某数学老师对本校2014届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按150进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，分数用茎叶图记录如下：
得到频率分布表如下：
分数段
(分)
[50，
70)
[70，
90)
[90，
110)
[110，
130)
[130，
150]
总计
频数
b
频率
a
(1)求表中a，b的值，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率(分数在[90,150]范围内为及格)；
(2)从大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的概率．
[解析] (1)由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，
∴a＝＝0.1，b＝3
从茎叶图可知分数在[90,150]范围内的有13人，
所以估计全校数学成绩的及格率为＝65%.
(2)设A表示事件“大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，平均得分大于等于130”，由茎叶图可知大于等于110分有5人，记这5人分别为a，b，c，d，e，
则选取学生的所有可能结果为：
(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，基本事件数为10，
事件“2名学生的平均得分大于等于130”，也就是“这两个学生的分数之和大于等于260”，所有可能结果为：(118,142)，(128,136)，(128,142)，(136,142)，共4种情况，基本事件数为4，
所以P(A)＝＝.
(理)(2014·山西省太原五中月考)某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：
分数段
(分)
[50，
70)
[70，
90)
[90，
110)
[110，
130)
[130，
150]
总计
频数
b
频率
a
0.25
(1)求表中a，b的值及分数在[90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率(分数在[90,150]内为及格)；
(2)从成绩在[100,130)范围内的学生中随机选4人，设其中成绩在[100,110)内的人数为X，求X的分布列及数学期望．
[解析] (1)由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，
∴a＝＝0.1，b＝3；分数在[70,90)范围内的人数为20×0.25＝5，结合茎叶图可得分数在[70,80)内的人数为2，所以分数在[90,100)范围内的学生人数为4，故数学成绩及格的学生为13人，所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为×100%＝65%.
(2)由茎叶图可知分数在[100,130)范围内的有7人，分数在[100,110)范围内的有4人，则随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.相应的概率为：P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝.
随机变量X的分布列为：
X
1
2
3
4
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
22．(本小题满分14分)(文)(2014·天津市六校联考)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)、(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．
(1)写出C的方程；
(2)若⊥，求k的值．
[解析] (1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴b＝＝1，
故曲线C的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足消去y并整理得，(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝－.
∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0.
∵y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
∴x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝0，
化简得－4k2＋1＝0，∴k＝±.
(理)(2014·江西白鹭洲中学期中)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2，离心率为.
(1)求椭圆方程；
(2)设过椭圆顶点B(0，b)，斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求k2的值．
[解析] (1)由已知2c＝2，＝.
解得a＝2，c＝，
∴b2＝a2－c2＝1，
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)得过B点的直线方程为y＝kx＋1，
由消去y得(4k2＋1)x2＋8kx＝0，
∴xD＝－，yD＝，
依题意k≠0，k≠±.
∵|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，∴|BE|2＝|BD||DE|，
∴＝＝＝，
∵b＝1，∴y－yD－1＝0，解得yD＝，
∴＝，解得k2＝，
∴当|BD|，|BE|，|DE|成等比数列时，k2＝.
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