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函数热点题型复习
安徽　　明师
　　1、开放型问题
　　例1（1）已知直角坐标系内，点P的纵坐标是横坐标的3倍，请写出过点P的一次函数的解析式（至少三个）_____________________．
　　（2）某函数具有下列两条性质：①图象关于原点O成中心对称；②当x>0时，函数值y随自变量x的增大而减小，请举一例（用解析式表示）：_______________．
　　（3）已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(c，0)，且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是_____________（只要求写出一个可能的解析式）．
　　[解]（1）设点P的坐标为(a， 3a)，过点P的一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)．
　　取a=1，把P(1，3)代入y=kx+b，得k=3-b．
　　令b=1，则k=2，y=2x+1；
　　令b=2，则k=1，y=x+2；
　　令b=4， 则k=-1，y=-x+4；……
　　可见仅取a=1，满足条件的一次函数的解析式就有无数个．
　　（2）根据所学的几个函数的图象特征，可知在一、三象限的反比例函数具有所述的性质．如y=1/x，y=2/x等．
　　（3）依题意，得　解得：；；
　　∴y=x2－4x+3，或y=x2－4x．
　　[点评]三个小题都是确定函数的解析式，且有一个共同特点，所确定的解析式都是开放型的．解答这类题，一定要抓住所求函数解析式具有的条件或性质来思考．
　　2、综合性问题
　　例2　如图，已知直线PA是一次函数y=x+n(n>0)的图象，直线PB是一次函数y=-2x+m(m>n)的图象．
　　（1）用m、n表示出A、B、P点的坐标；
　　（2）若点Q是PA与y轴的交点，且四边形PQOB的面积是，AB=2，试求P点的坐标，并写出直线PA与PB的解析式．
　　[分析]由（1）易得P点坐标的表达式，要确定P点坐标，需求出m、n的值，关键是将四边形PQOB的面积、AB的长用m、n的代数式表示，得到关于m、n的方程．四边形PQOB是一般四边形，其面积可通过三角形面积的和差表示，这是解这类问题的基本策略．
　　[解]（1）A(-n，0)，，．
　　（2）连接PO，则依题意：m>0，n>0
　　　，
　　　，
　　　∵ S四边形PQOB=SΔPOB+ SΔPOQ=5/6，AB=2，

　　　解得：m=2，n=1．
　　　故P点坐标为（1/3，4/3），直线PA的解析式是y=x+1，直线PB的解析式是y=-2x+2．
　　[点评]在求三角形的面积时，如果利用底与高的积的一半这个公式，尽可能使底边处在与x轴或y轴平行的位置上，如有底边在x轴或y轴上则更好，如若不能满足以上条件，则可设法利用图形面积的和差去完成转化．
　　例3已知：如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，它与抛物线y=ax2在第一象限内交于点P，又知ΔAOP的面积为9/2，求a的值．
　　[分析]欲求a的值，需求出二次函数的图象与直线l的交点P的坐标，为此，先求直线l的解析式．由ΔAOP的面积是9/2，且OA=4，故可求出P点的纵坐标，代入到直线的解析式中，则横坐标也可求出．由于点P在y=ax2的图象上，代入到y=ax2可求a值．
　　[解]设直线的解析式为y=kx+b，
　　则　　解得：k=－1，　b=4．
　　∴直线l的解析式是y=-x+4．
　　设P点的坐标为（m，n），
　　∵SΔAOP=9/2，OA=4，
　　∴1/2×4×n=9/2，∴n=9/4．
　　∵ 点P在直线l上，∴9/4＝－m+4，得m=7/4，
　　故P点的坐标为（7/4，9/4），
　　∵P点在抛物线上，
　　∴将m=7/4，n=9/4代入到y=ax2，得
　　9/4=a×(7/4)2，　∴a=36/49．
　　[点评]如果题目中有三角形的面积，要注意结合图形观察顶点的横坐标与纵坐标，对于此题来说，由于ΔAOP的底边OA的长已知，因此P点的纵坐标即为ΔAOP中OA边上的高．
　　在直角坐标系中的几何图形，往往可以和函数图象结合起来，通过函数解析式，利用函数性质寻找解题的途径，它即可以解决一些数值计算问题，又能推理论证，把平面几何图形的问题放在坐标系中，与函数知识相结合，需要用数形结合的方法来解．
　　3、文字信息题问题
　　例4由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：
　　已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点(1，0)，……求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称．
　　根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是　　　　　　　　（　　）
　　Ａ．过点(3，0) Ｂ．顶点是(2，-2)
　　Ｃ．在x轴上截得的线段长是2 Ｄ．与y轴的交点是(0，3)
　　[解]本题的迷惑性在于部分题设条件被墨水污染，既已污染不能复原，说明并不影响问题的解答，应果断弃之，另辟蹊径．
　　其实，可将结论中“二次函数的图象关于x=2对称”也作为已知条件，所以：

　　从而易求得二次函数的解析式：y=x2-4x+3．由此，逐一验证选择题项，只有(B)不成立．
　　[点评] 文字信息题问题要根据题中的信息，综合把握，全面分析，寻找解题思路．
　　4、理解与判断问题
　　例5已知二次函数y=4x2+mx+1/16m2+＝1/16m，当m取任一实数值时，它的图象都是一条抛物线．
　　（1）甲同学说:当m取任何不同的实数值时，所对应的这些抛物线都是完全相同的形状；乙同学说：m取不同的实数值时，所对应的抛物线的形状也不相同，你认为谁的说法正确，为什么？
　　（2）若m=－1，m=2时，所对应的抛物线的顶点分别为A、B，请你求出直线AB的解析式；并说明，无论m取任何实数值所对应的抛物线的顶点总在直线AB上．
　　（3）当y值恒大于零时，试求m的取值范围．
　　[解]第（1）问是一道评述题，可以把所给的二次函数解析式化为
　　y=4x2+mx+1/16m2+1/16m=4(x+m/8)2+1/16m．
　　因为抛物线的形状，只与二次项的系数有关，所以当m取任何不同的实数值时，对应的这些抛物线都与抛物线y=4x2有完全相同的形状．因此，可断定甲同学的说法是正确的．
　　对于第（2）问，将m=-1，m=2代入顶点坐标(-8/m，m/16)，得到两个顶点A、B，
　　易求得直线AB的解析式为y=－1/2x，抛物线的顶点为(-8/m，m/16)，将顶点坐标直接代入即可验证．
　　第（3）问，利用抛物线的图象分布规律，知其抛物线的开口向上，故要使y的值恒大于零，抛物线与x轴必无交点，这说明必须有Δ<0，也就是：
　　Δ=m2-4×4(1/16m2+1/16m)=-m<0，即m>0．
　　∴当m>0时，y的值恒大于零．
　　[点评]通过阅读理解题意，综合运用函数的概念、性质进行全面分析与解答．
　　5、函数应用问题
　　例6聊城市委、市政府为进一步改善投资环境和居民的生活环境，并吸引更多的人来聊城观光旅游，决定古运河城区段实施二期开发工程．现需要A、B两种花砖共50万块，全部由某砖瓦厂完成此项生产任务．该厂现有甲种原料180万千克，乙种原料145万千克．已知生产1万块A砖，用甲种原料4.5万千克，乙种原料1.5万千克，造价1.2万元；生产1万块B砖，用甲种原料2万千克，乙种原料5万千克，造价1.8万元．
　　(1)利用现有原料，该厂是否能按要求完成任务?若能，按A、B两种花砖的生产块数，有哪几种生产方案?请你设计出来(以万块为1个单位且取整数)；
　　(2)试分析你设计的几种生产方案哪种的总造价最低?最低造价是多少？
　　[解]本考题，首先让考生明确在现有原料数量的范围内安排A、B两种花砖的生产块数，这样安排就不允许超过甲、乙两种原料所需数量，故可设安排生产A砖x万块，则生产B砖为(50-x)万块．依题意，便得不等式组：
　　　　解得30≤x≤32．
　　因为题中隐含着x为整数，所以x只能取30、31、32；相应地(50-x)的值为20、19、18．故相对应形成三种生产方案，这是第(1)问的解题思路．
　　对于第(2)问需建立造价与砖块数的函数关系式，设总造价为y万元．
　　依题意，得y=1.2x+1.8(50-x)＝-0.6x+90．
　　此一次函数y随x的增大而减小．
　　要使总造价最低，x只能取32，所以最低造价为：-0.6×32+90＝70.8(万元)．
　　[点评]如何利用现有原料，按规定要求完成生产任务，使造价控制在最底限度内，是生产经营者追求的主要的经济效益指标．命题者出于考查学生的社会活动能力，有意设计这样的考题，其目的是让学生进行科学决策．
　　例7某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投人的广告费是x(十万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
x(十万元)
0
1
2
……
y
1
1.5
1.8
……
　　（1）求y与x的函数关系式；
　　（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式；
　　（3）如果投入的年广告费为10~30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
　　[解]（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c．
　　由关系表，得　解得：
　　因此，所求函数的解析式是y=－1/10x2+3/5x+1．
　　（2）根据题意，得S=10y(3-2)-x=-x2+5x+10．　（注意：单位统一成十万元）
　　（3）S=-x2+5x+10=-(x-＝5/2)2+65/4，因为图象开口向下，对称轴为x=5/2
　　又由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2.5时，S随x的增大而增大．
　　故当广告费在10～25万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大．
　　[点评]近年来，取材于利润问题的应用题比较普遍．解答此类应用题，重在构建函数模型．
　　6、方案设计问题
　　例8A校和B校各有旧电脑12台和6台，现决定送给C校10台、D校8台，已知从A校调一台电脑到C校、D校的费用分别是40元和80元，从B校调运一台电脑到C校、D校的运费分别是30元和50元，试求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少?
　　[解]由题意可知，一种调配方案，对应一个费用．不同的调配方案对应不同的费用，在这个变化过程中，调配方案决定了总费用．它们之间存在着一定的关系．究竟是什么样的关系呢？需要我们建立数学模型，将之形式化、数学化．
　　方法1：列表分析：
　　设从A校调到C校x台，则调到D校（12―x）台，B校调到C校是（10―x）台．B校调到D校是[6-(10-x)]即（x-4）台，总运费为y．
　　根据题意：　　y=40x+80（12-x）+30（10-x）+50（x-4）
　　　y=40x+960-80x+300-30x+50x-200=-20x+1060（4≤x≤10，且x是正整数）．
　　∵y=-20x+1060是减函数，
　　∴当x=10时，y有最小值ymin=860．
　　∴调配方案为A校调到C校10台，调到D校2台，B校调到D校2台．
　　方法2：列表分析
　　设从A校调到D校有x台，则调到C校（12―x）台．B校调到C校是[10-(12-x)]即（x-2）台．B校调到D校是（8―x）台，总运费为y．
　　y=40（12–x）+80x+30（x–2）+50（8-x）
　　=480–40x+80x+30x–60+400–50x
　　=20x+820（2≤x≤8，且x是正整数）
　　　y=20x+820是增函数
　　　∴x=2时，y有最小值ymin=860．
　　调配方案同解法(一)
　　方法：列表分析：
　　解略．
　　方法4：列表分析：
　　解略．
　　[点评]建立函数模型，解决调运方案问题，渗透函数的数学思想，培养数学建模能力，以及解决实际问题的能力．能初步建立应用数学的意识，体会到数学的抽象性和广泛应用性．培养观察、比较、抽象和概括能力、“数形结合”的思想与方法．
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