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浅谈初中代数中的建模思想

数学的核心任务是培养学生的思维能力和创新意识，而巧构数学模型是解决数学问题的一种重要方法，也是数学解题中的一把金钥匙，更是培养学生创造思维的一个有效途径。
所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象、概括的表征所研究对象（中小学主要指现实问题）的主要特征、关系所形成的一种数学结构。在义务教育阶段数学中，为表征特定的现实问题，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式及各种图表、图形等都是数学模型。作为中小学课程中的模型思想应该在数学本质意义上给学生以感悟，以形成正确的数学态度。正因为如此，《标准（2011年版）》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”说形象点，我们就是希望在学生头脑中应该建立起这样的认识：数学与外部世界不是分离的而是紧密联系的，连接他们之间的“桥梁”就是数学模型。对模型思想的这一本质要求教师要通过教学予以落实。
在初中数学教学中，我们已经建立了一些常见的模型，如方程模型、不等式（组）模型、函数模型、恒等式模型等。
第一种模型（方程模型），方程是从小学到中学的一个过渡，然而在中学中它是一个重要的数学模型，如方程的思想解决生活中的储蓄问题、盈亏问题、行程问题、工程问题、浓度问题、比例分配问题、平均增长率问题数字问题等等。方程模型是把我们实际生活中的简单问题联系起来的一种基本模型。在教学过程中，我们往往给予学生的是把模型建立起来，让学生去解它，而实际上对于如何建立模型才是学生学习的一个难点，也是重点，要培养学生逐步掌握模型的建立。
例如：一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20﹪，则这件服装的进价是多少元？
此类问题是商品买卖问题，先请同学们自己分析题意，看同学们是否能自行解决此问题。由于本题是实际问题，同学们对商品买卖中的一些关系不是很了解教师要注意讲解此问题中的售价、进价、利润（利润率）之间的关系。
售价=进价+利润，售价=（1＋利润率）×进价
分析： 标价（元） 售价 利润率 进价
200 200× 20﹪ x
由 售价=(1＋利润率)×进价
得出： （1＋20﹪）x=200×
解得： x=100
第二种模型【不等式（组）模型】，不等式和不等式组模型在中学数学中，则是一种方案设计模型，它是一种数量间大小关系的模型。
例如：某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：

A
B
成本（万元/套）
25
28
售价（万元/套）
30
34

<1> 该公司对于这两种户型住房有哪几种建房方案？
<2> 该公司如何建房获得利润最大？
分析：<1>由题意得：2090 所筹资金 2096
由于所筹资金全部用于建房，所以建80套住房的总成本就是所筹的资金。
设A型住房建x套，则B型住房建（80－x）套
2090 25x ＋ 28(80－x) 2096
解得：48 x 50
本问题实际上就是求此不等式组的整数解，不等式组有几个整数解，就有几种方案。
<2>了解建房的利润就是建A型住房的获利与建B型住房的获利之和。
由题意得：A型住房每套获利5万元。B型住房每套获利6万元
设：建房获得的利润为W万元
则： W = 5x ＋ 6(80－x)
= -x ＋ 480
k = －1 ＜ 0
W 随x的增大而减小
当x = 48时. W最大 = －48＋480 = 432
第三种模型（函数关系模型），函数所揭示的是两个变量之间的对应关系，在教学中我们可将这些关系用解析式、图像和表格表示出来，这样就能运用函数知识、方法来解决有关问题。
例如：某探险对的8名队员在距营地210千米的地方遇险，营地负责人接到通知后，告知探险队全体人员步行返回营地，并派出越野车以80千米/小时的速度前去营救，2.5小时后越野车遇到探险队员，将其中4名队员送回营地，并立即返回接送其他队员，求越野车第二次接到队员时与营地的距离。（越野车与探险队员的步行速度均近似为匀速，队员上、下车的时间忽略不计）

分析：求越野车第二次接到队员时与营地的距离，实际上就是求图中B点是直线AB与直线BC的交点。要求出B点坐标，应先求直线AB与直线BC的函数关系式再将两个函数关系式联合成方程组来解。求直线AB的解析式，先要知道A点坐标，由2.5小时越野车行驶的路程为2.5×80=200千米，得出A点坐标为（2.5,200）。根据点（0,210）和（2.5,200）求出直线AB的解析式为y=－4x＋210。由直线OA的解析式解析式y=80x,得出直线BC的斜率k=80,再由C点坐标（5.0）,求出直线BC的y=80x求出直线BC的解析式y=80x－400 由方程组
解得y =
从而得出越野车第二次接到队员时与营地的距离为km
第四种模型（数式模型），在数与代数式领域中，规律意识有助于我们在学习过程中进行探索，更好地理解代数式的意义和作用。
例如：<1>.观察下列一组算式
1＋2 = ×2×3
1＋2＋3 = ×3×4
………………………
你能得出：1＋2＋3＋……＋n = ？,同学们不难得出结果为
n ( n ＋ 1 )
<2>.观察下列一组算式
1×2＋2×3 = ×2×3×4
1×2＋2×3＋3×4 = ×3×4×5
………………………………
你能得出：1×2＋2×3＋3×4＋……＋n(n＋1) = ?
通过观察、分析,同学们不难得出结果为n(n＋1)(n＋2)
<3>由<1> <2> 你能得出
1×2×3＋2×3×4＋……＋n(n＋1)（n＋2）= ?
让同学们通过观察、分析、比较得出结果为n（n＋1）(n＋2)(n＋3)
初中代数中的一些常见的数学模型，是同学在学习和探索中寻找到的，通过这些模型的建立有助于学生对现实生活中的一些实际问题的探索与发现，同时培养学生的一种数学建模的思想。

安庆十七中 汪明君

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