3指数函数及其性质.pptx

,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,3,指数函数及其性质,(1),蒙城八中 张顺强,问题一,一张纸对折次可得张，对折次可得张请你写出,一,张纸对折,后所,得张数,y,与,折的次数,x,的函数关系式若能将一张纸对折,30,次，你敢从上面跳下来吗？,引入,问题,2:,庄子,天下篇,中写道：“一尺,之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出,截取,x,次后，木棰剩余量,y,关于,x,的函数关,系式？,问题,截取,次数,木棰,剩余,1,次,2,次,3,次,4,次,x,次,研究,问题：,我们在前面学习了分数指数幂,请问大家刚才两个函数能不能把定义域拓展到整个实数集,R,？,显然可以得到这样两个函数：,提炼,我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于,0,且不等于,1,的常量的函数叫做,指数函数,.,探究：为什么要规定,？,（,1,）若,则当,x,0,时，,当,x,0,时,无意义,.,（,2,）若,则对于,x,的某些数值，可使,无意义,.,在实数范围内函数值不存在,.,（,3,）若,则对于任何,是一个常量，研究价值不大,如,，这时对于,等等，,探讨,:,若不满足上述条件,会怎么样,?,指数函数的特征：,【,提示,】,依据指数函数,y,a,x,(,a,0,且,a,1),解析式的结构特征：,底数：大于零且不等于,1,的常数；,指数：自变量,x,；,系数：,1,；,只有一项,a,x,.,小结,下列函数中，哪些是指数函数？,练习,1,底数：大于零且不等于,1,的常数；,指数：自变量,x,；,系数：,1.,只有一项,a,x,练习,2.,已知指数函数 的图像经过点,(2,4),，求,f(0),f(1),f(-3).,解,:,因为 的图像经过点,(2,4),所以,f(2)=4,即,解得,a=2,于是,f(x)=,，,所以,f(0)=1,f(1)=2,f(-3)=,a,2,=4,练习,3.,函数,y,=(,a,2,-3,a,+3),a,x,是指数函数，求,a,的值,.,解：由指数函数 的定义有,a,2,-3,a,+3=1,a,0,a,1,a,=2,a,=1,或,a,=2,a,0,a,1,解得,你能画出它们的图像吗？,动动手：,请同学们画一画下面两个函数的图像。,8,4,2,1,3,2,1,0,-1,-2,-3,x,-3 -2 -1 0 1 2 3,x,87654321,y,y=2,x,(3,8),(2,4),(1,2),(0,1),(-1,),(-2,),(-3,),-3 -2 -1 0 1 2 3,x,87654321,y,y=(),x,3,2,1,0,-1,-2,-3,x,1,2,4,8,两个函数图像的相同点：,两个函数图像的不同点：,x,4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4,1,2,3,4,5,6,7,8,y,比较归纳,指数函数的图像与性质,底数,图,像,性,质,定义域,值域,过定点,函数值的变化,单调性,a1,0a0,时，,y1;,当,x0,时，,0y0,时，,0y1;,当,x1,在,R,上是单调增函数,在,R,上是单调减函数,(1),因为,3,0.8,2.408 225,3,0.7,2.157 669,，所以,3,0.8,3,0.7,（,2,）因为,0.75,-0.1,1.029 186,0.75,0.1,0.971 642,所以,0.75,0.1,0.75,-0.1,科学计算器,利用指数函数的性质,比较下列各题中两个数的大小：,(1)1.7,2.5,与,1.7,3,;,(2)0.8,-0.1,与,0.8,-0.2,;,(3)1.5,0.3,与,0.8,1.2,【,变式练习,】,方法总结：,1,、对,同底数幂,大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；,2,、对,不同底数幂,的大小的比较可以与中间值进行比较,.,当指数函数底数大于,1,时，图象上升，且,底数越大时图象向上越靠近于,y,轴,；当底数大于,0,小于,1,时，图象下降，,底数越小图象向右越靠近于,x,轴,0,c,d,1,a,0,a,1),的图象,描点作出函数,y,=2,x,的图象,1,x,O,1,1,y,-,1,-,4,-,3,-,2,2.,指数函数的图象和性质,练习：,y,=,a,x,(,a,0,且,a,1,),图象必过,点,_,2,y,=,a,x,-2,(,a,0,且,a,1),图象必,过点,_,y,=,a,x,+3,-1(,a,0,且,a,1,),图象,必过点,_,(0,1),(2,1),(-3,0),x,y,0,y,=1,y,=,a,x,(0,1),y,0,x,y,=,a,x,性,质,0,a,1,1.,定义域为,R,，值域为,(0,+,).,2.,过定点（,0,，,1,）即,x,=0,时，,y,=1,3.,在,R,上是增函数,3.,在,R,上是减函数,4.,当,x,0,时,y,1;,当,x,0,时,0,y,0,时,0,y,1;,当,x,1.,5.,既不是奇函数也不是偶函数,.,图 象,(0,1),y=1,求定点，先令指数为,0,，再计算,x,y,的值,1.,指数函数的图象和性质,例,2,.,求下列函数的定义域、值域：,函数的定义域为,x,|,x,0,值域为,y,|,y,0,且,y,1,.,解,(1),(2),函数的定义域为,x,y,0,y,=1,y,=,a,x,(0,1),y,0,x,y,=,a,x,性,质,0,a,1,1.,定义域为,R,，值域为,(0,+,).,2.,过定点（,0,，,1,）即,x,=0,时，,y,=1,3.,在,R,上是增函数,3.,在,R,上是减函数,4.,当,x,0,时,y,1;,当,x,0,时,0,y,0,时,0,y,1;,当,x,1.,5.,既不是奇函数也不是偶函数,.,图 象,(0,1),y=1,完成课本,P,77,题,2,完成课本,P,77,B,组题,3,1.,指数函数的图象和性质,例,2,.,求下列函数的定义域、值域：,函数的定义域为,x,|,x,0,值域为,y,|,y,0,且,y,1,.,解,(1),(2),函数的定义域为,x,y,0,y,=1,y,=,a,x,(0,1),y,0,x,y,=,a,x,性,质,0,a,1,1.,定义域为,R,，值域为,(0,+,).,2.,过定点（,0,，,1,）即,x,=0,时，,y,=1,3.,在,R,上是增函数,3.,在,R,上是减函数,4.,当,x,0,时,y,1;,当,x,0,时,0,y,0,时,0,y,1;,当,x,1.,5.,既不是奇函数也不是偶函数,.,图 象,(0,1),y=1,完成课本,P,58,题,2,、,P,59,题,5,解答本题可以看成关于,2,x,的一个二次函数，故可 令,t,2,x,，利用换元法求值域,.,解：,函数定义域为,R.,令,2,x,t,(,t,0),，则,y,4,x,2,x,1,1,t,2,2,t,1,(,t,1),2,.,t,0,，,t,11,，,(,t,1),2,1,，,y,1,，,值域为,y,|,y,1,题后感悟,如何求形如,y,b,(,a,x,),2,c,a,x,d,的值域？,换元，令,t,a,x,；,求,t,的范围，,t,D,；,求二次函数,y,bt,ct,d,，,t,D,的值域,问题：已知函数,作出函数图像，求定义域、,与,图像的关系。,值域，并探讨,解：,定义域：,R,值域：,作出图象如下,:,关系,：,保留 在,y,轴右侧的图像,该部分翻折到,y,轴的左侧,这个关于,y,轴,对称的图形就是,的图像,函 数,y=f(x),y=f(x+a),y=f(x)+a,y=f(-x),y=-f(x),y=-f(-x),y=f(|x|),y=|f(x)|,对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象,+,变换方法作出：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，这种方法我们遇到的有以下几种形式：,a0,时向左平移,a,个单位；,a0,时向上平移,a,个单位；,a0,时向下平移,|a|,个单位,.,y=f(-x),与,y=f(x),的图象关于,y,轴对称,.,y=-f(x),与,y=f(x),的图象关于,x,轴对称,.,y=-f(-x),与,y=f(x),的图象关于原点轴对称,.,要利用复合函数的单调性来求解,.,什么是复合函数？,复合函数：,注意：若,y,=,f,(,u,),定义域,为,A,，,u,=,g,(,x,),值域,为,B,，则必须满足,B,A,如果,y,是,u,的函数,而,u,又是,x,的函数,即,y,=,f,(,u,),u,=,g,(,x,),那么,y,关于,x,的函数,y,=,f,g,(,x,),叫做函数,f,和,g,的,复合函数,u,叫做中间变量,.,复合函数的单调性,内,u,=,g,(,x,),增函数,减函数,增函数,减函数,外,y,=,f,(,u,),增函数,减函数,减函数,增函数,复,y,=,f,g,(,x,),规律：,当内外函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；,当内外函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数,“同增异减”,增函数,增函数,减函数,减函数,“异”“同”指,内外函数,单调性的异同,的定义域均为,R,例：,求函数 的单调性,.,解：设 ，,f,(,u,),和,u,(,x,),的定义域均为,R,因为，,u,(,x,),在 上递减，在 上递增,.,而 在,R,上是减函数,所以，在 上是增函数,在 上是减函数,.,