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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,新课导入,回顾旧知,.,.,A,B,a,b,a_b,_0,B,A,.,.,b,a,a_b,_,a-b,0,所以,（,x+1）（x+2）-（x-3）（x+6）,=（x,2,+3x+2）-（x,2,+3x-18）,=20,（,x+1）（x+2）（x-3）（x+6）,4/48,1.1 不等式,5/48,教学目标,知识与能力,1.,熟练掌握不等式基本性质和基本不等式，并能够用它们处理简单问题。,2.,了解基础不等式几何和代数解释。,6/48,过程与方法,1.,经过复习和回顾不等式基本性质和基本不等式，使学生对不等式认识深入加深。,2.,利用数形结合,掌握基本不等式在几何和代数两方面意义。,7/48,情感态度与价值观,2.,经过数形结合，使学生感受数学美。,1.,经过处理实际问题,使学生充分认识不等式主要性。,8/48,教学重难点,重点,1.,不等式基本性质。,2.,基本不等式及其应用。,难点,三个正数算术,-,几何平均不等式及其应用。,9/48,探究,等式有“等式两边同加（或减）一个数，等式依然成立”“等式两边同乘（或除以）一个数，等式依然成立”等基本性质。类比等式这些性质，不等式有哪些基本性呢？,类比思想,10/48,(1)ab,bb,bc,ac,(3),ab,a+cb+c,(4)ab,c0,acbc,ab,c0,acb0,(6)ab0,a,n,b,n,11/48,思索,观察不等式基本性质，并与不等式基本性质比较，你认为在研究不等式时，需要尤其注意什么问题？,尤其注意“符号问题”,12/48,例,2,已知,ab0,cd0,求证,关键是证实 即证实,13/48,于是,，所以,由,a0,，得,故,，即,性质,4,性质,4,性质,2,性质,6,因为,cd0,所以,cd0,c-d0,证 明,由,ab0,，得,14/48,练 习,求证假如,a,bR,那么,a,2,+b,2,2ab,当且仅当,a=b,时，等号成立。,因为,a,2,+b,2,-2ab=(a-b),2,0,当且仅当,a=b,时等号成立，所以,a,2,+b,2,2ab,当且仅当,a=b,时，等号成立。,很主要定理,证 明,15/48,探究,你能从几何角度解释上述定理吗？,16/48,A,B,J,C,E,F,D,I,K,G,b,a,b,a,b,即矩形,BCGH,和矩形,JCDI,成为两个正方形时等号成立。,分 析,如图，,S,正方形,ABCD,+S,正方形,CEFG,=a,2,+b,2,S,矩形,BCGH,+S,锯形,JCDI,=2ab.,有图形可知，,a,2,+b,2,2ab,当且仅当,a=b,时，等号成立。,17/48,主要不等式,基本不等式,恒等变形,注:,18/48,探究,观察下列图，假如,AD=a,BD=b,OC,是斜边,AB,中线,你能给出基本不等式几何意义吗？,C,B,D,O,A,19/48,分 析,在图中，,CDAB,AO=OB,于是,OC=AB=(a+b),因为,DCA+,A=90,o,B+,A=90,o,所以,DCA=,B.,于是,RtDCA,和,RtDBC,相同,.,从而 即,所以,CD=,20/48,总而言之可知,基本不等式几何意义是,:,直角三角形斜边上中线大于斜边上高。（即半弦长小于等于半径）,当,ab,时，在,RtOCD,中，斜边,CO,大于直角边,CD,即,当,a=b,时，在,RtABC,斜边,AB,中线,CO,和高,CD,重合,即,21/48,例,3,求证,:,(1),在全部周长相同矩形中，正方形面积最大；,(2),在全部面积相同矩形中,正方形周长最短。,提醒,基本不等式包括两个正数和与积之间数量关系,所以能够考虑利用基本不等式进行证实。,22/48,依据基本不等式,证 明,设矩形长为,x,宽为,y,。,(1),设矩形周长为定值,L,即,2x+2y=L,。,可得：,xy ,当且仅当,x=y,时，等号成立,.,即当且仅当矩形是正方形时，面积,xy,取得最大值,23/48,(2),设矩形面积为定值,S,，即,xy=S,为定值。,基本,不等式,2(x+y)4 =4 ,当且仅当,x=y,时，等号成立。,即当且仅当矩形是正方形时，周长,2(x+y,）取最小值,4,24/48,总结,对两个正实数,x,y,，假如它们和,S,是定值，则当且仅当,x=y,时，它们积,P,取得最大值；假如它们积,P,是定值，则当且仅当,x=y,时，它们和,S,取得最小值。,很主要！,简称：一“正”，二“定”，,三“相等”,25/48,思索,某居民小区要建,一座八边形休闲场所，,它主体造型平面图（如图）,是由两个相同矩形,ABCD,和,EFGH,组成面积为,200,平方米,十字型地域,.,计划在正方形,MNPQ,上建一座花坛，造价为每平方米,4200,元，在四个相同矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米,210,元，再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每平方米,80,元。,H,G,D,A,E,F,B,C,M,N,Q,P,26/48,(1),设总造价为,S,元，,AD,长为,x,米，试建立,S,关于,x,函数关系式；,(2),当,x,为何值时，,S,最小？并求出这个最小值。,提醒,该问题属于利用基本不等式处理最值问题。,求：,27/48,解：,(1),设,DQ=y,米，则,x,2,+4xy=200,从而,y=,于是,S=4200 x,2,+2104xy+802y,2,=4200 x,2,+2104x +802,=38000+4000 x,2,+,28/48,(2),由上可知，当,AD,约为,3.16,米时，休闲场所总造价,S,取最小值,118000,元。,依据基本不等式得,所以,S 38000+80000=118000,4000 x,2,+2 =80000,当且仅当,4000 x,2=,即,x=3.16,时，等号成立。,29/48,反 思,利用基本不等式处理极值问题，要先写出函数解析式，然后判断是否能够借助于基本不等式去处理。,30/48,思索,基本不等式给出了两个正数算术平均数与几何平均数关系，这个不等式能否推广呢？比如，对于,3,个正数，会有怎样不等式成立？,31/48,猜 想,32/48,证 明,(x+y),3,=x,3,+3x,2,y+3xy,2,+y,3,x,3,+y,3,=(x+y)(x,2,-xy+y,2,),因为,a,3,+b,3,+c,3,-3abc,=(a+b),3,-3a,2,b-3ab,2,+c,3,-3abc,=(a+b),3,+c,3,-3a,2,-3ab,2,-3abc,=(a+b+c)(a+b),2,-(a+b)c+c,2,-3ab(a+b+c),=(a+b+c)(a,2,+b,2,+c,2,-ab-bc-ca),=(a+b+c),(a-b),2,-(b-c),2,+(c-a),2,0,所以,a,3,+b,3,+c,3,3abc,当且仅当,a=b=c,时，,等号成立。,33/48,结论,三个正数算术平均数大于它们几何平均数,假如,a,b,c R+,那么 ，,当且仅当,a=b=c,时，等号成立。,34/48,推 广,对于,n,个正数,a,1,a,2,a,n,它们算术平均数大于它们几何平均数，,即：,当且仅当,a,1,=a,2,=a,n,时，等号成立。,35/48,例,4,提醒,本题包括三个实数和积，能够考虑基本不等式推广。,已知,x,y,z R+,求证,(x+y+z),3,27xyz,36/48,证 明,37/48,在表面积一定长方体中，以正方体体积最大吗？,探究,猜测,应该是,38/48,设长方体三条相交于同一顶点棱长分别为,x,y,z,则长方体体积为,V=xyz,即,x=y=z,时，等号成立。,所以，当长方体是正方体时，体积取得最大值，最大值是,证 明,因为,A=2xy+2yz+2zx6,这里,A,为定值,即,A6,从而,V=,当且仅当,xy=yz=zx,39/48,课堂小结,1.,不等式基本性质,。,(1)ab,bb,bc,ac,(3),ab,a+cb+c,(4)ab,c0,acbc,ab,c0,acb0,(6)ab0,40/48,2.,基本不等式及其应用,。,41/48,3.,基本不等式推广,对于,n,个正数,a,1,a,2,a,n,它们算术平均数大于它们几何平均数，,即：,当且仅当,a,1,=a,2,=a,n,时，等号成立。,42/48,随堂练习,1.,已知,0 x ,求函数,y=x(1-2x),最大值,.,由上可知，,y,最大值是,解,:,因为,0 x0,依据基本不等式可得：,2x(1-x),即,:y=2x(1-2x),当且仅当,x=,时，等号成立。,43/48,2.,若,M=(2x+3)(x-4),N=(x-7)(x+3)+8,讨论,M,与,N,大小关系。,解：,M-N=(2x+3)(x-4)-(x-7)(x+3)-8,=x,2,-x-1,当,M-N0,，即,x,2,-x-10,时，,MN,解得,当,M-N0,即,x,2,-x-10,时，,MN,解得：,44/48,由上可知，当,时，,M,大于,N;,当 时，,M,小于,N,。,45/48,习题答案,习题,1.1,（第,9,页）,1.,（,1,）假命题 （,2,）假命题,（,3,）假命题 （,4,）真命题,46/48,47/48,48/48,
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