直线与圆的位置关系精讲.doc

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直线与圆的位置关系
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　已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线L：Ax+By+C=0

　　1．位置关系的判定：
　　判定方法1：联立方程组 得到关于x(或y)的方程
　　(1)△>0相交；
　　(2)△=0相切；
　　(3)△<0相离。

　　判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d
　　(1)d<r相交；　　
　　(2)d=r相切；
　　(3)d>r相离。

　　例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。

　　法一：直线L：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点 ，
　　∵点P在圆O内，
　　∴直线L与圆O相交。

　　法二：圆心O到直线L的距离为
　　当d<3时，(2m-1)2<9(2m2+2)，
　　∴14m2+4m+17>0　　
　　∴m∈R
　　所以直线L与直线O相交。

　　法三：联立方程，消去y得2(1+m2)x2+(4m2+2m-2)x-5m2+14m-8=0
　　∴△=56m4-96m3+92m2-120m+68=4(m-1)2(14m2+4m+17)
　　当m≠1时，△>0，直线与圆相交；
　　当m=1时，直线L： ，此时直线L与圆O相交
　　综上得直线L与圆O恒相交。

　　[评]法二和法三是判断直线与圆位置关系的方法，但计算量偏大；而法一是先观察直线的特点再结合图，避免了大量计算，因此体现了数形结合的优点。

　　例2、求圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y=25的距离的最大最小值

　　法一：设P(cosα，sinα)为圆上一点，则点P到直线的距离为
　　 =
　　∴当
　　 时，dmin=4.

　　 法二：如图，直线L过圆心，且与直线3x+4y=25垂直于点M， 此时，l与圆有两个交点A、B，
　　∵原点到直线3x+4y=25的距离|OM|=5，
　　∴圆上的点到直线3x+4y=25的距离的
　　最大值为：|AM|=|OM|+r=5+1=6
　　最小值为：|BM|=|OM|-r=5-1=4

　　[评]法二是几何做法，充分体现了它计算量小的优势。

　　2．切线问题：
　　例3：
　　(1)已知点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，求过点P的圆C的切线方程；(x0x+y0y=r2)

　　法一：
　　∵点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，∴
　　当x0≠0且y0≠0时，
　　∴切线方程为
　　当P为(0，r)时，切线方程为y=r，满足方程(1)；
　　当P为(0，-r)时，切线方程为t=-r，满足方程(1)；
　　当P为(r，0)时，切线方程为x=r，满足方程(1)；
　　当P为(-r，0)时，切线方程为x=-r，满足方程(1)；
　　综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2

　　法二：设M(x，y)为所求切线上除P点外的任一点，则由图知|OM|2=|OP|2+|PM|2，
　　即x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y0)2
　　∴x0x+y0y=r2且P(x0，y0)满足上面的方程。
　　综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2。

　　(2)已知圆O：x2+y2=16，求过点P(4,6)的圆的切线PT的方程。

　　解：当PT方程为x=4时，为圆O的切线，满足题意：
　　设PT的方程为y-6=k(x-4)，即kx-y-4k+6=0
　　则圆心O到PT的距离为
　　所以PT的方程为
　　综上，切线PT的方程为x=4，5x-12y+52=0

　　[评]
　　(1)判断直线与圆的位置关系有两种方法，但利用圆心到直线的距离与半径的关系来判断在计算上更简洁。
　　(2)过圆外一点向圆引切线，应有两条；过圆上一点作圆的切线，只有一条。

　　例4、求过下列各点的圆C：x2+y2-2x+4y-4=0的切线方程：
　　(1) ；　　　　 （2） B(4，5)

　　解：
　　(1)圆C：(x-1)2+(y+2)2=9，圆心C(1，-2)，r=3，且点A在圆C上，

　　法一：设切线方程为 ，则圆心到切线的距离为
　　 ，
　　∴所求切线方程为

　　法二：
　　∵AC⊥l，
　　∴所求切线方程为

　　(2)点B在圆外，所以过B点的切线有两条

　　设切线方程为y=k(x-4)+5，则圆心C到切线的距离为

　　又直线x=4也是圆的切线方程，
　　∴所求切线方程为

　　例5、设点P(x，y)是圆x2+y2=1上任一点，求 的取值范围。

　　法一：u表示过点(-1，2)且与圆有交点的直线l的斜率，
　　如图，当直线l与圆相切时，PA的斜率不存在，
　　直线PB的方程为ux-y+u+2=0，
　　圆心到直线PB的距离为

　　∴

　　法二：设x=cosα，y=sinα，则

　　[评]法一利用数形结合的思想，是解决这类问题的基本方法。
　　法二把这个几何问题转化为求三角函数 值域的问题，但此三角函数问题计算量偏大，难以解决，反过来，我们可以把求 值域的问题转化为本题去解决，就显得更好用的多。要善于处理代数问题和几何问题之间转化的问题。

　　例6、从直线L：2x-y+10=0上一点做圆O：x2+y2=4的切线，切点为A、B，求四边形PAOB面积的最小值。

　　 解：
　　∵
　　∴当|OP|最小时，SPAOB最小，
　　又∵当OP⊥L时|OP|最小，此时

　　 例7、(切点弦)过圆外一点P(a，b)做圆O：x2+y2=r2的切线，切点为A、B，求直线AB的方程。

　　法一：如图， ，由射影定理
　　|OA|2=|OD||OP|知，
　　∴O分
　　∴

　　当a=0或b=0时，切线方程满足上式，
　　∴所求切线的方程为ax+by=r2

　　法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则过A点的切线为x1x+y1y=r2，
　　又∵过点P(a，b)
　　∴ax1+by1=r2，
　　同理有ax2+by2=r2
　　由以上两式可以看出A、B的坐标都满足方程ax+by=r2，它是一条直线的方程，
　　又∵过两点的直线有且仅有一条，
　　∴直线AB的方程为ax+by=r2。

　　[评]法一先求得直线AB的斜率及其上一点的坐标，再由点斜式写出直线的方程，做起来运算量比较大；而法二巧妙的避免了求A、B的坐标；设而不求A、B两点的坐标，体现了对曲线与方程概念的深刻理解。

　　3、弦长问题
　　例8、
　　(1)若点P(2，-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，求直线AB的方程。

　　解：圆心C(1，0)，kPC=-1，
　　∵AB⊥PC，
　　∴kAB=1，且AB过点P，
　　∴直线AB的方程为y+1=x-2即y=x-3

　　(2)若直线y=2x+b与圆x2+y2=4相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹。

　　解：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，且A（x1，y1），B（x2，y2）
　　由 ，消去y得5x2+4bx+b2-4=0
　　由韦达定理得， 　　 ①
　　 　　 ②
　　由①②消去b得 ，又因M在圆内，
　　∴所求轨迹为直线 在圆内的部分。

　　(3)经过原点作圆x2+y2+2x-4y+4=0的割线l，交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹。

　　法一：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，直线l的方程为y=kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)
　　由 消去y得(1+k2)x2+(2-4k)x+4=0
　　 　　①
　　又∵x≠0 代入①得x2+y2+x-2y=0
　　∵M点在圆内，
　　∴所求轨迹为圆x2+y2+x-2y=0在圆x2+y2+2x-4y+4=0内的部分。

　　法二：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，圆心C（-1，2）
　　∵CM⊥OM
　　∴
　　当x≠0且x≠-1时，有 　　 ①，
　　当x=0时，点M不存在；当x=-1时，点M与C重合，符合方程①
　　∵M点在圆内，
　　∴所求轨迹为圆x2+y2+x-2y=0在圆x2+y2+2x-4y+4=0内的部分。

　　法三：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，圆心C（-1，2）
　　∵CM⊥OM
　　∴M点在以OC为直径的圆上，即 ，
　　∵M点在圆内，
　　∴所求轨迹为圆 在圆x2+y2+2x-4y+4=0内的部分。

　　习题
　　1.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a，b)的位置是____
　　A.在圆上　　 B.在圆外　　 C.在圆内　　 D.以上皆有可能

　　2.直线l过点A(0，2)且与半圆C：(x-1)2+y2=1(y≥0)有两个不同的交点，则直线l的斜率的范围是____

　　3.若圆x2+y2-4x-5=0上的点到直线3x-4y+k=0距离的最大值是4，求k

　　4.一个圆经过点P(2，-1)和直线x-y=1相切，且圆心在y=-2x上，求它的方程。

　　5.设a+b+1=0，试求：a2+b2-2a-2b+2的最小值

　　6.已知实数满足：x2+y2-4y+1=0 (1)求y-2x的取值范围；(2)求 的取值范围。

　　7.自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L所在的直线的方程。

　　8.求圆x2+y2-2axsinα-2bycosα-a2cos2α=0(a∈R且a≠0)在x轴上截得的弦长。

　　9.已知点P是圆x2+y2=4上一动点，定点Q(4，0)，求线段PQ中点的轨迹方程。

　　答案：
　　1.B；　　
　　2、 ；　　　　
　　3、-1或-11　　　　
　　4、(x-1)2+(y+2)2=2或(x-9)2+(y+18)2=338；
　　5、 　　　　　　
　　6、(1) 　　 (2)
　　7、4x-3y+3=0或3x-4y-3=0；　　
　　8、2|a|　　　　　　
　　9、

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