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数学模型作业

建立简单数学模型解决下面问题：
1.某人带狗、鸡、米用小船过河，串需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎么过河？
解：
根据题目给出的条件并且为了将问题数学化，我们用四元数组来表示状态向量和决策向量。设本岸时，用数字“1”表示；在对岸时，用数字“0”表示。人、狗、鸡、米的状态可以用每个数取0或1的四元数组来表示。
状态向量sk=（wk,xk,yk,zk）则允许状态集合S：
(1，1，1，1) (0，0，0，0)
(1，1，1，0) (0，0，0，1)
(1，1，0，1) (0，0，1，0)
(1，0，1，1) (0，1，0，0)
(1，0，1，0) (0，1，0，1)
决策向量dk=（wk,xk,yk,zk）则允许决策集合D：
（1,1,0,0），（1,0,1,0），（1,0,0,1），（1,0,0,0）
初始状态S1=（1,1,1,1） 结束状态Sk+1=(0,0,0,0)

我们用10个顶点分别表示以上10个允许状态。如果一个允许状态可以经过一次过河运载转移到另一个允许状态，那么在表示这两个允许状态的顶点必可加减一个决策向量，从而构成一个图(图1.1)。现在问题变为在图1.1中找一条从顶点(1，1，1，1)通过相联结的边到顶点(0，0，0，0)的路径，每条路径就是一个解。从图1.1可以找到两条从顶点(1，1，1，1)到顶点(0，0，0，0)的路径，其中一条所表示的解为
(1)人把鸡运到对岸；
(2)留下鸡，人返回；
(3)人把狗运到对岸；
(4)留下狗，人把鸡带回；
(5)人把米运到对岸；
(6)人独自返回，留下米(还有狗)；
(7)人把鸡运到对岸。

2. 我们所考虑一款全年都能销售的女鞋，并且预期将继续流行一段足够长的时间。 零售商估计每次订货的组织费为20元。每双鞋子需花费零售商4.6元+0.1元的运费。 鞋子的储存费为每双每月0.84元。零售商期待每月平均90双的速度销售这种鞋子。为了保持存货在一个足够的水平上，鞋子零售商可以接受的最优订货策略是什么？
为了处理方便，考虑连续的模型，即每次订购的数量Q为连续量。
假设：
1）单位时间的销售量记为a;
2）每次订购时的组织费用，记作k；购买费加运费，记作c元/件（一双鞋）；
3）存储费，记作h元/件*单位时间，以支付货物在商店保存的花销。
4）当零售商从批发商处一次订购Q双鞋时，所有的鞋将会在希望的时间同时到达零售店；
5）假定零售商认为这种鞋在他的店里面是不容许缺货的；
模型建立：
q在此放置您的文字
将贮存量表示为时间t的函数q(t)，t=0时订购Q双。q(0)=Q,q(t)以a的速率递减，直至q(T)=0;

Q在此放置您的文字

O在此放置您的文字

t在此放置您的文字

所以一个周期的贮存费：

于是每个周期的总费用：

每双的费用：

当 时解得使得T最小的Q为
模型求解：
代入k=20元，c=4.70元，h=0.84元，而a=90双/月。所以使得每月总费用最小的这种鞋的订购量：

首先每次订购量Q=65.47双是荒唐的，所以可能的订购量为65或者66，分别代入每双费用函数T(Q)中得：T(65)= 477.99230769231 < T(66)= 477.99272727273
则t=Qa=6690=0.73
所以每次应购66双，且每隔0.73个月订一次。