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杭州师范大学本科生毕业设计（论文）正文

浅谈高中不等式证明方法与技巧

The Discussion of Methods and Techniques in the Proof of Inequality in High School

论文作者：

专业：数学与应用数学

指导老师：

完成时间： 年 月 日

摘 要

不等式是中学数学的重要内容，它可以渗透到中学数学的很多章节，是解决其他数学问题的有利工具，再加上它在实际问题中的广泛应用性，决定了它将是常考不衰的高考热点问题.不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往成为高考卷中的压轴题，难度较大，也使得许多考生望而生畏，束手无策.本文着重阐述不等式常用的证明方法，重点讨论分析与函数、数列相结合的综合性不等式证明问题，以利于拓展学生思维，培养学生逻辑思维能力、推理论证能力、运算能力、建模能力、分析和解决问题的能力.

Inequality is an important part of high school mathematics, it can penetrate into the many chapters of Mathematics, it’s favorable tools to solve the problem of other mathematical, coupled with its wide range of practical problems in application, it is always a test determines the enduring Entrance hot spots. Inequality problem, due to questions in varied, diverse methods, strong skills, with no fixed rules to follow, often in the finale of college entrance examination paper, difficult, which will make examinees feel terrified. This article focuses on the inequality commonly used method of proof, focusing on the analysis and function, combining a comprehensive series of inequalities issues, to facilitate the expansion of student thinking, students logical thinking, reasoning skills of argumentation, computing power, modeling capabilities, analysis and ability to solve problems.

关键词：不等式证明 ；证明方法 ；数列 ；函数

Keywords: The Proof of Inequality; Methods of proof; Series; function

目 录

1 引言……………………………………………………………………………………4
2 不等式性质和重要不等式介绍………………………………………………………4
2.1 不等式的基本性质………………………………………………………………4
2.2 几个重要不等式…………………………………………………………………4
2.3 几个著名不等式…………………………………………………………………5
2.3.1 平均不等式…………………………………………………………………5
2.3.2 柯西不等式…………………………………………………………………5
2.3.3 排序不等式…………………………………………………………………5
2.3.4 琴生不等式…………………………………………………………………5
2.3.5 三角不等式…………………………………………………………………6
2.3.6 贝努利不等式………………………………………………………………6
3 不等式证明常用方法及例题分析……………………………………………………6
3.1 比较法…………………………………………………………………………6
3.1.1 作差比较法……………………………………………………………………6
3.1.2 作商比较法……………………………………………………………………6
3.2 分析法与综合法…………………………………………………………………6
3.3 换元法……………………………………………………………………………7
3.3.1 三角换元………………………………………………………………………7
3.3.2 代数换元………………………………………………………………………8
3.4 反证法……………………………………………………………………………8
3.5 放缩法……………………………………………………………………………8
3.6 构造法……………………………………………………………………………9
3.6.1 构造图形………………………………………………………………………9
3.6.2 构造函数………………………………………………………………………9
3.6.3 构造向量………………………………………………………………………9
3.7 判别式法…………………………………………………………………………10
3.8 数学归纳法………………………………………………………………………10
4 例析高考中的综合性不等式证明试题………………………………………………11
5 结论……………………………………………………………………………………15
6 参考文献………………………………………………………………………………16
7 致谢……………………………………………………………………………………16

1 引 言
不等式是中学数学的重要内容，它可以渗透到中学数学的很多章节，是解决其他数学问题的有利工具，再加上它在实际问题中的广泛应用性，决定了它将是常考不衰的高考热点问题.根据有关资料显示，在历年高考试题中，直接或间接考查不等式知识约占总分的四分之一以上.不等式的学习对发展学生的数学思维，培养逻辑思维能力、推理论证能力起着非常重要的作用.不等式试题不仅体现了“基础与能力考查并重”的原则，还体现了等价转化思想、分类讨论思想、数形结合思想、最优化数学思想、函数与方程的思想、建立数学模型的思想等等.
不等式证明是高中数学的重要内容，同时也是高中数学的难点，加之题型广泛，涉及面广，证法灵活，因而备受命题者的青睐，成为高考的热点问题.但由于在高考时，涉及到不等式证明的问题往往出现在压轴题上，其综合性强、思维量大，因而不等式证明问题也就成为高考的难点问题.现在的高考没有单独命制不等式证明的试题，而是把它与函数、数列、导数、解析几何、立体几何、概率与统计等问题相结合命制成综合的压轴题，重在考查逻辑思维能力，以及常用的不等式证明方法.
不等式常用的证明方法除了在人教版普通高中数学必修五中介绍的比较法、综合法、分析法之外，常考常用的方法还有换元法、判别式法、反证法、放缩法、构造法、求导法、利用函数的单调性等方法.解决不等式证明问题不仅要熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，更要灵活运用常用的证明方法.本文中，我将对不等式常用证明方法进行归纳总结，并一一通过实例分析说明，重点讨论分析综合性不等式证明试题.
2 不等式性质和重要不等式介绍
2.1不等式的基本性质
①对称性：；
②传递性：；
③加法单调性：；
④乘法单调性：.
上述四条是不等式最基本的性质，由它还可得出以下推论：
推论一 ；
推论二 ；
推论三 ；
推论四 .

不等式的性质是证明不等式、解不等式的理论依据，因而也是高考命题重点考查的对象，不过一般在高考中较少单独命题，若单独命题，则以选择题、填空题形式出现，考查注重基础性、全面性，题型灵活多变，主要考查命题的真假判定、大小比较、充要条件以及开放探索性问题等.
2.2几个重要不等式
① 若
② 若，当且仅当时取等号.
③ 如果都是正数，那么，当且仅当时取等号.
④ 极值定理：，则：如果是定值，那么当时，的值最小；如果是定值，那么当时，的值最大．利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
⑤ 若，则，当且仅当时取等号.
⑥ 若，则，当且仅当时取等号.
⑦ 当时，
⑧ 若，则
2.3几个著名不等式
2.3.1平均不等式
设，记
（调和平均值） （几何平均值）
（算术平均值） （均方根平均值）
则对任意，有成立，其中当且仅当时，等号成立.
2.3.2柯西不等式
设，则有成立，其中当且仅当存在不全为零的数，使时，等号成立.
对不等式变形有：
①若，则成立，
②若，则有成立，
2.3.3排序不等式
设，则，
其中是中的任一排列，并且当且仅当或时，上式等号同时成立.
2.3.4琴生不等式
设，，则对于，有

其中当且仅当时，等号成立.
2.3.5三角不等式
设，则
当且仅当向量同向或一个为零向量时，等号成立.
2.3.6贝努利不等式
如果，且，那么有.
一般式：当，且满足时，则有.
当，且满足时，则有.
3 不等式证明常用方法及例题分析
高考要求掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.（基本方法:比较法、综合法、分析法;常用方法:放缩法、换元法、构造法、反证法、数学归纳法等）.
3.1比较法
比较法是证明不等式最基本、最重要的方法之一,它分为作差比较法和作商比较法两种.
3.1.1作差比较法
理论依据：.
证明步骤：作差→变形→判断符号→结论.
注：为确定差的符号，要把这个差变形为①几个因式的积的形式；②几个完全平方式的和；③常数等，以便于判断差的正负.
例1已知，求证.
分析: 直接作差，并把这个差变形为几个因式的积的形式，判断符号.
证： .

即
评析：直接作差是解决问题的最有效途径.作差之后的因式分解也是由表达式的结构特点自然地联想而成.
3.1.2作商比较法
理论依据：.
证明步骤：作商→变形→判断与1的关系→结论.
例2 设
证明：由于不等式关于对称，不妨设则
，所以，
即
评析：两个式子都是幂的形式，故可考虑用作商比较法.作商比较法简称比商法.应用范围为不等式两端是乘积的形式或幂、指数式.值得说明的是比商法不可忽视作商时分母的符号，它的确定是其中的一个步骤.
3.2分析法与综合法
所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不等式,直到找到题设条件,或者是已经证明过的基本不等式,或者是显然成立的不等式,也可以简称为“执果索因”.所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直到推出要证明的结论,也可简称为“由因导果”.
分析法从“未知”看“需知”，渐渐靠拢“已知”，逐步的推理，实际上是寻找它的充分条件.它叙述冗长，但常常根底渐进，有希望成功.综合法从“已知”看“可知”，渐渐推向“未知”，逐步的推理，实际上是寻找它的必要条件.它形式简洁，条理清晰，逻辑结构严谨，但往往枝节丛生，难以一下子达到目的.
我们在实际解题时，应把两种方法结合起来运用，先用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理的表达解题过程，就达到了扬长避短，相互协调、相得益彰的良好目的.
例3 设
分析：要证原不等式成立，由知，只要证，即证，也就是证，，而，故恒成立.所以不等式.
评析：当我们对欲证的结论在短时间内还找不到适当的方法时，不妨先来分析一下，如果结论成立，必须满足什么条件.而这“分析一下”，就是分析法证题的思路.
下面我们用综合法来证明，读者不妨对两种方法作一比较.
证明：
，
.
即，就是
评析：由以上例题可见对于条件简单而结论复杂的不等式，往往要通过分析法或分析法与综合法交替使用来寻找证明的途径．此外，学习中还要注意：第一，要熟练掌握各种基本的不等式和一些特殊的不等式；第二，要善于利用题中的各种隐含条件；第三，应用不等式的各种变换技巧.
3.3换元法
换元法是在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化.它在数学解题中有着广泛的应用,可以起到化难为易,化繁为简的作用. 换元的实质是转化，关键是构造元和设元．换元法是一种重要的解题方法，它可以化高次为低次、化无理式为有理式、化超越式为代数式.换元时的变量代换有着较大的灵活性.我们往往要对所研究的问题进行适当的变形，如配凑、调整、重新组合等，使问题中隐含的特点充分暴露出来，然后进行有效的等价变换.换元时要特别注意这“等价”性，即变量替换以后，原变量的取值范围不缩小，也不扩大.在不等式的证明中，常用的换元有三角换元和代数换元.
3.3.1三角换元
三角换元法证明不等式的几种常见形式：
① 若题目含有，则可令
② 若题目含有，则可令
③ 若题目含有，则可令
④ 若题目含有，则可令
⑤ 若题目含有，则可令
⑥ 若题目含有，则可令
例4 已知，求证：.
分析：由，联想余弦的二倍角公式.
证明：令，则

命题得证.
评析：显然，三角代换将一个看上去较为复杂的问题简单化了.如何选用三角代换需要熟练各种情况下的代换技巧，发现三角代换的隐含条件.三角换元法不仅在中学数学中有广泛应用，而且在高等数学中也有广泛应用．复习中必须给予充分的重视，有意识、有目的地加强这方面的训练和运用．
3.3.2代数换元
代数换元主要是平均数代换（又称均值换元）.二元均值换元的一般形式为：若，则可令.
例5 若，.
证明：令，则，
命题得证.
3.4反证法
反证法是一种间接证明法，就是从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证明结论的否定是错误的,从而肯定原结论正确的证明方法.凡涉及到证明的不等式为否定性命题、唯一性命题,或者是含“至多”“至少”等字句的命题、一些不等量的命题时,可考虑使用反证法.反证法的主要特征是“导出矛盾”.其一般步骤为：
① 反设.作出与命题结论相反的假设.
② 归谬.由作出的假设出发，通过正确的推导导出矛盾.
③ 判断.断定产生矛盾的原因在于所作的假设是错误的，从而肯定原命题是正确的.
例6 设，求证：对于任意实数，必存在满足条件的，使得成立.
分析：“对于任意实数，必存在满足条件的，使得成立”，对此，我们可以假设：对一切，有.可用取特殊值法，验证假设是否成立.
证明：设对一切，有，取；取；；取，而，矛盾.所以假设错误，原命题成立.
评析：反证法解题思路清晰，矛盾的得来也比较轻松.
3.5放缩法
放缩法是在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去有些正项（或负项）而使不等式的项之和变大（或变小），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的．用放缩法来证题的核心问题是恰当地放或缩，这“恰当”二字中包含着种种的技巧和策略.其中无论是放大还是缩小都要遵循不等式传递性法则，保证放大还是缩小的连续性，不能牵强附会，须做到步步有据．比如：证，可先证成立，而又是可证的，故命题得证．
例7设，求证：.
证明：由可得
又由，
可得，
综上
点评：本题是用放缩法证明不等式．利用放缩法证明不等式，既要掌握放缩法的基本方法和技巧，又须熟练不等式的性质和其他证法.做到放大或缩小恰到好处，才有利于问题的解决.
3.6构造法
所谓构造法，就是依据题目自身的特点，通过构造辅助函数、基本不等式、数列、几何图形等辅助工具铺路架桥，促进转化，从而达到证明不等式的目的的一种方法.在证明不等式的过程中应用构造思想，能够开阔思路，并运用更多的知识为证明不等式服务.构造法是通过构造一定的数学模型来完成解题的一种方法.倘若充分地挖掘题设与结论的内在联系,把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来,并恰当地构造数学模型,就可得到富有新意的独特解法.利用构造法解题,不仅构思精巧,形式优美,过程简单,而且极富思维的灵活性和创造性.下面简单列举三例以做参考.
3.6.1构造图形
例8 已知，求证：.
证明：令图中

因为三点构成三角形或共线，所以
即.
评析：本题构造了三角形，利用三角形的余弦定理和三角形两边之和大于第三边的性质来证明不等式.运用构造图形的方法证明不等式需要熟练掌握几何图形的性质，才能触发解题思路.
3.6.2构造函数
例9 证明不等式
证明：设，则， 故为偶函数. 当，所以.根据偶函数的性质知：当时，也有.所以当时，恒有，即.
评析：函数是贯穿中学数学的一条主线.一些本身无明显函数关系的问题,通过类比、联想、转化,合理构造函数模型,从而使问题得以巧妙解决.本题是构造一个函数，利用函数的奇偶性证明不等式.此外，还可以构造一个函数,使原不等式的左右两边是这个函数在其一个单调区间上的两个值,就可以利用函数的单调性证明不等式.
3.6.3构造向量
例10 求证：.
证明：设，则，其中的夹角，且，则，所以.
评析：向量这部分知识由于独具形与数兼备的特点,使得向量成了数形结合的桥梁,在方法和理论上是解决其他一些问题的有利工具.对于某些不等式的证明,若借助向量的数量积的性质,可使某些不等式较易得到证明.
3.7判别式法
适用于含有两个或两个以上字母不等式,如果一边可化为零,而另一边是关于某字母的二次式时,这时可考虑用判别式法.
例11 求证：.
证明：设，则，
当时，，即，即；
当时，方程有解，故
评析：判别式法解题是常用的方法.但运用这种方法有时会出错，所以运用这种方法时要注意是不是适合，有时需要必要的检验，以确保题目的正确性.
3.8数学归纳法
与自然数N有关的许多不等式，可考虑用数学归纳法证明.但要注意：第一，数学归纳法有多种形式.第二，数学归纳法常与其他方法综合运用；第三，数学归纳法不是万能的，即并不是所有的含有n的不等式都可以用数学归纳法证明的.常用的数学归纳方法有两种.
第一数学归纳法（简称数学归纳法）作证明的基本步骤：
（1）n＝1时，命题成立；
（2）设n＝k时命题成立，则当n＝k+1时，命题也成立．
综合（1）、（2）得，命题对于任何自然数n都成立
第二数学归纳法作证明的基本步骤：
(1)奠基：证明n=1时命题成立；
(2)归纳假设：设n≤k时命题成立；(区别在此步)
(3)归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立．
综合（1）、（2）、（3）得，命题对于任何自然数n都成立
显然，第二数学归纳法与数学归纳法基本形式的区别在于归纳假设.
例12证明如果个正数的乘积，那么它们的和.
证明：（1）当时，有，命题成立；（2）假设当时，命题成立.即若个正数的乘积，则，则当时，已知个正数满足条件，若这个正数都相等，则它们都是１，其和为，命题得证.若这个正数不全相等，则其中必有大于1的数也有小于1的数（否则于矛盾）.不妨设.为利用归纳假设，我们把乘积看作一个数，这样就得到个正数的乘积是1，由归纳假设可以得到
，，即，所以当时命题成立.
综合（1）（2）可知，对一切，如果的乘积，那么它们的和成立.
4 例析高考中的综合性不等式证明试题
不等式是高中数学的重点和难点内容，它渗透到了中学数学课本的各个章节，在实际问题中被广泛应用，可以说是解决其它数学问题的一种有利工具．在高考题中，证明不等式近年来逐渐淡化，但若考试卷中出现不等式证明，则往往不是单独的纯不等式证明，而是与函数、三角、解析几何、数列、导数等知识综合考查，这时有可能是压轴题或倒数第二题．此类考题区分度高，综合性强，属于中高档难度题，深人考查学生的不等式的证明和逻辑演绎推理能力. 以下举几例证明，以供参考.
例13 （2009年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷）对于数列，若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为数列. （Ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为数列？请说明理由；（Ⅱ）设是数列的前n项和，给出下列两组论断：A组：①数列是数列， ②数列不是数列；B组：③数列是数列， ④数列不是数列. 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题，判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（Ⅲ）若数列，都是数列，证明数列也是数列.
解：（Ⅰ）设满足题意的等比数列为，则，于是
，，
因为，所以，
即. 故首项为1，公比为的等比数列是数列.
（Ⅱ）命题1：若数列是数列， 则数列是数列.
此命题为假命题. 事实上，设，易知数列是数列.
但，有的任意性知，数列不是数列.
命题2：若数列是数列，则数列是数列. 此命题为真命题.
事实上，因为数列是数列，所以存在正数，对任意的，有
，即，于是
所以数列是数列.
（Ⅲ）若数列，都是数列，则存在正数，对任意的，有
；.

同理，. 记，，则有

因此

故数列是数列.
例14 (2009年普通高等学校招生全国统一考试江西卷)各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有.
（Ⅱ）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有.
证明：有题设的值仅与有关，记为，则

构造函数，则在定义域上有
故对，恒成立.
又，注意到解上式得

取，即有.
例15 (2009年普通高等学校招生全国统一考试重庆卷) 设个不全相等的正数依次围成一个圆圈. （Ⅱ）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：.
证明：由题意，，得
① ② ③

由①得， ④
由①，②，③得，故，⑤
又，
故有，⑥
下用反证法证明：.
若不然，设，其中. 若取，即，
则由⑥得，而由③得，故得
由②得，从而，而，故
由④及⑥可推得与题设矛盾.
同理，若均可推得与题设矛盾，因此为6的倍数.
由均值不等式得.
又上面三组数内必由一组不相等（否则，从而，与题设矛盾），故等号不成立. 从而. 又，由④和⑥得

因此由⑤得
例16 （2009年普通高等学校招生全国统一考试广东卷）已知曲线：. 从点向曲线引斜率为的切线，切点为. （Ⅱ）证明：
证明：由（Ⅰ）已知
于是所证明的不等式转化为. ①
（a）先证明. ②
证法一：

证法二：用数学归纳法. （ⅰ）当，②式成立.
（ⅱ）假设时，②式成立，则，于是
即时，②式也成立
综合ⅰ）、ⅱ）知，对一切非零自然数，②式成立 .
（b）再证明 .
证法一：令.
当，
又所以
所以，故
证法二：令，
令，
所以，当上单调减少.

所以，故
5 结论
本文对不等式证明的常用方法逐一介绍，并辅以例题分析，帮助学生理解与运用.不同的证明方法在不等式证明中发挥着各式各样的作用，有的简单，有的繁琐，但任何一种方法都不可能适应所有的问题.所以，我们总是不遗余力的去寻找最简捷的途径去突破问题，这就需要对基本知识，基本理论的熟悉与理解.希望通过本文的介绍，使你对不等式证明有了更系统的认识，为你拓宽解题思路，祝你在不等式证明的海洋中更游刃有余.

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致谢
非常感谢XXX老师在我大学的最后学习阶段——毕业设计阶段给自己的指导，从最初的定题，到资料收集，到写作、修改，到论文定稿，他给了我耐心的指导和无私的帮助，在此我向他表达我诚挚的谢意。同时，感谢所有任课老师和所有同学在这四年来给自己的指导和帮助，是他们教会了我专业知识，教会了我如何学习，教会了我如何做人。正是由于他们，我才能在各方面取得显著的进步，在此向他们表示我由衷的谢意，并祝所有的老师培养出越来越多的优秀人才，桃李满天下！

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