大学物理A2总复习资料(修改版).doc

元培学院大学物理学A2复习题
一．选择题
36．根据电介质中的高斯定律，下列说法正确的是
（A）若电位移矢量沿一闭合曲面的通量等于零，则这个曲面内一定没有自由电荷；
（B）若闭合曲面内没有自由电荷，则电位移矢量沿该闭合曲面的通量等于零；
（C）若闭合曲面内没有自由电荷，则曲面上的电位移矢量一定等于零；
（D）电位移矢量只与自由电荷的分布有关
37．极化电荷与自由电荷的最大区别是
（A）自由电荷能激发电场，而极化电荷则不会；
（B）自由电荷能激发静电场，而极化电荷则只能产生涡旋电场；
（C）自由电荷有正负两种电荷，而极化电荷则没有正负之分；
（D）自由电荷能单独地自由运动，而极化电荷则不能脱离电介质中原子核而单独移动
38．一个带电量为，半径为R的薄金属壳外充满了相对电容率为的均匀介质，球壳内为真空，则球壳的电势为
（A）　　　　（B）　　　　(C)０　　　　(D)
39．两个半径相同的金属球，一为空心，一为实心，把两者各自孤立时的电容值加以比较，则
空心球电容值大 实心球电容值大
两球电容值相等 大小关系无法确定
40．如图所示，先接通开关K，使电容器充电，然后断开K；当电容器板间的距离增大时，假定电容器处于干燥的空气中，则
电容器上的电量减小 电容器两板间的场强减小
电容器两板间的电压变小 以上说法均不正确
41．在感应电场中电磁感应定律可写成，式中为感应电场的电场强度．此式表明
(A) 闭合曲线L上处处相等
(B) 感应电场是保守力场
(C) 感应电场的电场强度线不是闭合曲线
(D) 在感应电场中不能像对静电场那样引入电势的概念
42．关于产生感应电流的条件，下面说法正确的是
（A）任何导体在磁场中运动都产生感应电流
（B）只要导体在磁场中做切割磁感线运动时，导体中都能产生感应电流
（C）闭合电路的一部分导体，在磁场里做切割磁感线运动时，导体中就会产生感应电流
（D）闭合电路的一部分导体，在磁场里沿磁感线方向运动时，导体中就会产生感应电流
43．由导体组成的一矩形线框，以匀速率从无磁场的空间进入一个均匀磁场中，然后从磁场中出来，又在无磁场空间中运动。问下列图中哪一个图正确表示了线框中电流对时间的函数关系。

（A）图（a）
（B）图（b）
（C）图（c）
（D）图（d）
44．竖直向下的匀强磁场中，用细线悬挂一条水平导线。若匀强磁场磁感应强度大小为B，导线质量为m,导线在磁场中的长度为L，当水平导线内通有电流I时，细线的张力大小为
（A） （B）
（C） （D）
45．在无限长载流直导线AB的一侧，放着一可以自由运动的矩形载流导线框，电流方向如图，则导线框将
（A）导线框向AB靠近，同时转动
（B）导线框仅向AB平动
（C）导线框离开AB，同时转动
（D）导线框仅平动离开AB
46．一载有电流的导线在平面内的形状如图所示，则O点的磁感强度大小为
（A） ; （B）;
（C） ; （D）.
47. 如图所示的载流导线在圆心O处产生的磁感应强度B的大小为
A）; B）;
C）; D）.
48. 两条长导线相互平行放置于真空中，如图所示，两条导线的电流为，两条导线到P点的距离都是a，P点的磁感应强度方向
(A)竖直向上 (B)竖直向下
(C)水平向右 (D)水平向左
49. 如图所示，两根长导线沿半径方向引到铁环上的A、B两点上，两导线的夹角为，环的半径R，将两根导线在很远处与电源相连，从而在导线中形成电流I，则环中心点的磁感应强度为
(A) 0 (B)
(C) (D)
50. 长直导线通有电流I，将其弯成如图所示形状，则O点处的磁感应强度为
(A) (B)
(C) (D)
51. 在一圆形电流I所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路L，则由安培环路定理可知
（A），且环路上任意一点B=0
（B），且环路上任意一点B≠0
（C），且环路上任意一点B≠0
（D），且环路上任意一点B=常量
52. 下列可用环路定理求磁感应强度的是
（A）有限长载流直导体 （B）圆电流
（C）有限长载流螺线管 （D）无限长螺线管
53. 如图所示，在一闭合回路的周围有几个电流，则磁感应强度对该闭合回路的环流为
I1
I2
I3
l
（A） （B）
（C） （D）

54. 在磁感强度为的均匀磁场中作一半径为r的半球面S，S边线所在平面的法线方向单位矢量与的夹角为，则通过半球面S的磁通量为
（A） （B） （C） （D）
55. 一般光学仪器，如望远镜、人眼等的像点都可以认为是物镜光孔（直径为d）的爱里斑。对于两个张角为df 的光源点（物点），其像点中心对物镜的张角也是df．根据瑞利判据可知光学仪器能够分辨出两个物点的最小张角是
　 (A) (B) (C) (D)
56. 在单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为l的单色光垂直入射在宽度为a＝4 l的单缝上，对应于衍射角为30°的方向，单缝处波阵面可分成的半波带数目为
(A) 2 个 (B) 4 个 (C) 6 个 (D) 8 个

57. 一束波长为l的平行单色光垂直入射到一单缝AB上，装置如图．在屏幕D上形成衍射图样，如果P是中央亮纹一侧第一个暗纹所在的位置，则的长度为
(A) l / 2 (B) l
(C) 3l / 2 (D) 2l
58. 一单色平行光束垂直照射在宽度为1.0 mm的单缝上，在缝后放一焦距为2.0 m的会聚透镜．已知位于透镜焦平面处的屏幕上的中央明条纹宽度为2.0 mm，则入射光波长约为 (1nm=10−9m)
(A) 100 nm (B) 400 nm (C) 500 nm (D) 600 nm
59. 光在真空中和介质中传播时，正确的描述是:
（A）波长不变，介质中的波速减小 (B)介质中的波长变短，波速不变
(C)频率不变，介质中的波速减小 (D)介质中的频率减小，波速不变
60. 真空中波长为l的单色光，在折射率为n的均匀透明媒质中，从A点沿某一路径传播到B点，路径的长度为l, 则A、B两点光振动位相差记为Dj, 则
(A) 当l = 3 l / 2 ,有Dj = 3 p
(B) 当 l = 3 l / (2n) , 有Dj = 3 n p.
(C) 当 l = 3 l /(2 n) ,有Dj = 3 p
(D) 当 l = 3 n l / 2 , 有Dj = 3 n p.
61. 杨氏双缝干涉实验是
(A)分波阵面法双光束干涉 (B)分振幅法双光束干涉
(C)分波阵面法多光束干涉 (D)分振幅法多光束干涉
62. 如图所示, 薄膜的折射率为n2, 入射介质的折射率为n1, 透射介质为n3,且n1＜n2＜n3, 入射光线在两介质交界面的反射光线分别为(1)和(2), 则产生半波损失的情况是
(A) (1)光产生半波损失, (2)光不产生半波损失
(B) (1)光 (2)光都产生半波损失
(C) (1)光 (2)光都不产生半波损失
(D) (1)光不产生半波损失, (2)光产生半波损失
63. 一束波长为 l 的单色光由空气垂直入射到折射率为n 的透明薄膜上, 透明薄膜放在空气中, 要使透射光得到干涉加强, 则薄膜最小的厚度为：
(A) l / 4 (B) l / (4 n) (C) l / 2 (D) l / (2 n)
64. 在照相机镜头的玻璃片上均匀镀有一层折射率n小于玻璃的介质薄膜，以增强某一波长l 的透射光能量。假设光线垂直入射，则介质膜的最小厚度应为
（A） （B） （C） （D）
65. 哪一年美国的物理学家梅曼发明了世界上第一台红宝石激光器？
1905； 1930； 1950； 1960。
66. 是谁创立了统一的电磁场理论并预言了电磁波的存在？
麦克斯韦； 高斯； 安培； 赫兹。

67. 波长l=500 nm (1nm=10-9m)的单色光垂直照射到宽度a=0.25mm的单缝上，单缝后面放一凸透镜，在凸透镜的焦平面上放置一屏幕，用以观测衍射条纹。今测得屏幕上中央明条纹一侧第三个暗条纹和另一侧第三个暗条纹之间的距离为d=12mm，则凸透镜的焦距是[ ]
(A)2m. (B)1m. (C)0.5m. (D)0.2m. (E)0.1m
68.如图所示，为一矩形，边长分别为和，在延长线处的点有点电荷，在的中点有点电荷 。若使单位正电荷从点沿路径运动到点，则电场力所做的功等于
； ；
； 。

二、填空题
31．一导体球半径为，所带电荷为，外罩一半径为的同心薄导体球壳，外球壳原所带电荷为，则导体球的球心电势为 。
32．一个半径为的均匀带电球面，带电量为。若规定该球面上电势为零，则球面外距球心处的点的电势=___________ ___________。
33．电荷在等势面上移动时，电场力作功为零，电荷是否受到电场力的作用？______ _____ 。
34．一半径为R的球形金属导体达到静电平衡时，其所带电量为+Q（均匀分布），则金属导体球球心处的场强大小为 。
35．一孤立带电导体球，其表面处场强方向与导体球表面 。
36．电介质的极化现象是指： 。
37．两个电容器的电容分别为、，并联后接在电源上，则它们所带电荷之比 。
38．有一段载流导线如图5所示，a，c部分为直导线，b部分为半径为R的圆3/4的圆周，圆心刚好和两条直导线的延长线交点重合。则圆心处的磁感应强度B的大小为______ _。
39．真空中有一载有稳恒电流I的细线圈，则通过包围该线圈的封闭曲面S的磁通量= 。
40．在磁感应强度为的磁场中置一长为L的载流导线，电流为I，则该导线所受的安培力表达式为 。
41．一个电子在匀强磁场中运动而不受到磁场力的作用，则电子运动的方向是______ 。
42．一个电子在匀强磁场中运动时受到的磁场力最大，则电子运动的方向是______ 。
43．在非均匀磁场中，有一带电量为q的运动电荷，当电荷运动至某点时，其速度为v，运动方向与磁场的夹角为α，此时测出它所受的磁力为，则该运动电荷所在处的磁感应强度的大小为_____________________。
44．一带电粒子垂直射入磁场后，运动轨迹是半径为R的圆周，若要使圆周半径变为R/2，则磁感应强度应变为 。
45．在单缝夫琅禾费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小，若钠黄光(l1≈589 nm) 中央明纹宽度为4.0 mm，则l2=442 nm (1 nm = 10-9 m)的蓝紫色光的中央明纹宽度为____________________。
46．如果单缝夫琅禾费衍射的第一级暗纹发生在衍射角为30°的方位上，所用单色光波长l=500 nm (1 nm = 10-9 m)，则单缝宽度为_____________________m。
47．惠更斯－菲涅耳原理的基本内容是:波阵面上各个面积元上，所发出的子波在观察点P的 决定了P点的合振动及光强。
48．用单色光垂直照射杨氏双缝时，减小双缝间距，则条纹间距 。
49. 将波长为l的平行单色光垂直投射于一狭缝上，若对应于衍射图样的第一级暗纹位置的衍射角的绝对值为q，则缝的宽度等于________________．
50. 在单缝夫琅禾费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小，若钠黄光（l1=589nm）中央明条纹为4.0nm，则l2=442nm（1nm=10-9m）的蓝紫色光的中央明纹宽度为 nm。

三、计算题
第九章 静电场作业 第十章 静电场中的导体和电介质作业
1．题号：40743001
如图下所示，一半径为 的无限长导体，单位长度带电量为，外有一半径为，单位长度带电量为的圆筒形导体，两导体同轴，内外圆柱面间充满相对电容率为的均匀电介质。求：（1）该导体系统内外的电场分布；（2）两导体轴心处的电势（设外圆筒面外任意一点P的电势为零，P点与中心轴的距离为）；（3）电介质中的极化强度；（4）画出曲线。

2．题号：40743002
半径为的金属球带电荷量，外罩一半径为的同心金属球壳，球壳带电量，厚度不计，内外两球面间充满相对电容率为的均匀电介质。求：（1）该球面系统内外的电场分布；（2）球心处的电势；（3）电介质中的极化强度；（4）画出曲线。

3．题号：40743003
一个半径为R电容率为e的均匀电介质球的中心放有点电荷q，求(1)电介质球内、外电位移的分布；(2)电介质球内、外电场强度和电势的分布；(3)球体表面极化电荷的密度。

4．题号：40743004
如图所示，带电量为、半径为的金属球置于介电常量为，半径为的均匀介质球内。求（1）介质层内、外的、的分布；（2）介质层内、外表面上的束缚电荷面密度。

5．题号：40843012
如下图所示，真空中的球形电容器的内、外球面的半径分别为和，所带电荷量为。求：（1）该系统各区间的场强分布；（2）该系统各区间的电势分布；（3）该系统的电容。

6．题号：40842020
（1）．一电荷面密度为σ “无限大”均匀带电平面，若以该平面处为电势零点，试求带电平面x＞0 空间的电势分布。

（2）．如图所示，真空中的球形电容器的内、外半径分别为和，所带电荷量为。求该电容器的电容。

第十一章：恒定电流的磁场作业
1．题号：40941001
如下图所示，是一段通有电流的圆弧形导线，它的半径为，对圆心的张角为。求该圆弧形电流所激发的在圆心O处的磁感强度。

2．题号：40941002
一无限长的载流导线中部被弯成圆弧形，如图所示，圆弧形半径为，导线中的电流为。求圆弧形中心点的磁感应强度。

3．题号：40941003
一段导线先弯成图（a）所示形状，然后将同样长的导线再弯成图（b）所示形状。在导线通以电流I后，求两个图形中P点的磁感应强度之比。

（a） （b）

4．题号：40941004
A和B为两个正交放置的圆形线圈，其圆心相重合。A线圈半径，匝，通有电流；B线圈半径，匝，通有电流。求两线圈公共中心处的磁感应强度。

5．题号：40942005
如图所示，一个无限长直导线，其中部被弯成半圆形状，环的半径，当导线中通有电流4A时，求垂直于环面的轴线上距离O点为40cm处的P点的磁感应强度大小。

6．题号：40943011
如图所示，设在真空中，有一半径为的圆形载流导线，通过的电流为，通常称作圆电流，求：（1）通过圆心并垂直于圆形导线平面的轴线上任意点P处的磁感强度；（2）圆心处的磁感强度。

7．题号：40943018
一根无限长导线弯成如图形状，设各线段都在同一平面内（纸面内），其中第二段是半径为R的四分之一圆弧，其余为直线。导线中通有电流I，求图中O点处的磁感强度。

8．一根无限长的同轴电缆，由一半径为的导体圆柱和一半径为的同轴的圆筒组成，圆筒的厚度不计。 在这两个导体中，有大小相等而方向相反的电流流过，内导体圆柱中的电流沿圆柱截面均匀分布，如图所示。求该同轴电缆在各区域：（1），（2），（3）中的磁感强度。

9．题号：41041001
如图所示的长空心柱形导体半径分别为和，导体内载有电流I，设电流均匀分布在导体的横截面上。求
（1）导体内部各点的磁感应强度。
（2）导体内壁和外壁上各点的磁感应强度。

10．题号：41043003
有一同轴电缆，内轴是一半径为的圆柱形导体，电流沿轴向流动，且电流在横截面上的分布是均匀的，外套一个厚度不计半径为的同轴圆筒形导体，如下图所示。两导体中的电流均为，并且流向相同，导体的磁性可不考虑。试计算以下各处的磁感强度：
（1）；
（2）；
（3）；同时画出前三项的图线。
（4）当内外两圆柱面间（）充满相对磁导率为的均匀磁介质时，该区域的磁感强度又是如何？

11．题号：41141001
在同一平面内有一长直导线和一矩形单匝线圈，线圈的长边与长直导线平行，如图所示。若直导线中的电流为，矩形线圈中的电流为，求矩形线圈所受的磁场力。

12．题号：41143006
分值：10分
如图所示，一根无限长直导线载有电流，矩形回路载有电流，矩形回路与长直导线共面。试计算：（1）电流作用在矩形回路各边上的力的大小和方向；（2）电流作用在回路上的合力的大小和方向。

13．题号：41241001
分值：10分
测定离子质量的质谱仪如图所示，离子源S产生质量为m，电荷为q的离子，离子的初速很小，可看作是静止的，经电势差U加速后离子进入磁感强度为B的均匀磁场，并沿一半圆形轨道到达离入口处距离为x的感光底片上，试由此计算运动粒子的质量m。

第十二章：电磁感应作业
1．（ 10分）在一长通电直导线附近有一矩形线圈，矩形线圈与直导线在同一平面内，线圈以速率匀速向右运动，求当线圈运动到图示位置，即AE边与直导线间距为d时，线圈中的感应电动势大小和方向。已知AC=DE=a，CD=EA=b，

v
A
C
D
E
a
b
d
I

2．（ 10分）有一长密绕的直螺线管，长度为，横截面积为S，线圈的总匝数为N，管中介质的磁导率为u，试求其自感系数。

A
C
D
E
a
b
d
I
3．（本题10分）在一长通电直导线附近有一矩形线圈，矩形线圈与直导线在同一平面内，设直导线中的电流为I，且，如图所示， AE边与直导线间距为d，求：（1）线圈中任一时刻感应电动势的表达式；（2）初始时刻线圈中感应电动势的大小和方向。（已知AC=DE=a，CD=EA=b，）

4．（本题10分）在长为D横截面积为S的长螺线管上绕有N匝线圈，求：（1）线圈的自感系数；（2）若在线圈中通以电流，线圈中自感电动势的大小。

v
A
B
b
a
I
5．（本题10分）如图所示，金属杆AB以匀速率v平行于长直导线移动，此导线通有电流I，求；（1）杆中感应电动势的大小；（2）杆的哪端电势高？

6. 在同一平面内有一长直导线和一矩形单匝线圈，线圈的长边与长直导线平行，如图所示。若直导线中的电流为，矩形线圈中的电流为，求矩形线圈所受的磁场力。（设矩形线圈的短边为bc和da，其长边为ab和cd）

第十四章 波动光学作业
1．题号：50341001
在杨氏双缝干涉实验中，用波长l=589.3 nm的纳灯作光源，屏幕距双缝的距离d’=800 nm，问：(1)当双缝间距１mm时，两相邻明条纹中心间距是多少？(2)假设双缝间距10 mm，两相邻明条纹中心间距又是多少？

2．题号：50341002
洛埃镜干涉如图所示光源波长,
试求镜的右边缘到第一条明纹的距离。

3．题号：450342003
在双缝干涉实验中，用波长l=546.1nm的单色光照射，屏幕距双缝的距离d’=300 mm，测得中央明纹两恻的两个第五级明纹的间距为12.2mm, 求两缝间的距离。

4. 题号：50342004
在双缝干涉实验中，两缝间的距离0.30mm，用单色光垂直照射双缝, 屏与缝之间的距离为1.20m，测得中央明纹两恻的两个第五条暗纹的间距为22.78mm, 求所用光的波长。

5.题号：50342005
单色光照射到相距为0.2mm的双缝上，双缝与屏幕的垂直距离为1m，求：（1）从第一级明纹到同侧的第四级明纹间的距离为7.5mm，求单色光的波长；（2）若入射光的波长为600nm，求相邻两明纹间的距离。

6. 题号：50344011
用一束nm激光垂直照射一双缝， 在缝后2.0m处的墙上观察到中央明纹和第一级明纹的间隔为14cm. 求(1)两缝的间距；(2)在中央明纹以上还能看到几条明纹?

7. 题号：50441001
一透镜的折射率nc=1.60，为使垂直入射的波长λ=500nm的光尽可能少反射，在透镜表面镀了一层折射率nf=1.38的透明薄膜，求镀膜的最小厚度t。

8. 题号：50441001
一透镜的折射率nc=1.60，为使垂直入射的波长λ=500nm的光尽可能少反射，在透镜表面镀了一层折射率nf=1.38的透明薄膜，求镀膜的最小厚度t。

9. 题号：50441002
用钠灯（）观察牛顿环，看到第条暗环的半径为，第条暗环半径，求所用平凸透镜的曲率半径。

10.题号：50442003
一块厚的折射率为的透明膜片。设以波长介于的可见光．垂直入射，求反射光中哪些波长的光最强?

11.题号：50442004
白光垂直照射到空气中一厚度为的肥皂膜上，肥皂膜的折射率为n=1.33，在可见光范围内（400nm-760nm），哪些波长的光在反射中增强？

12.题号：50442005
两块长度10 cm的平玻璃片，一端互相接触，另一端用厚度为0.004 mm的纸片隔开，形成空气劈形膜．以波长为500 nm的平行光垂直照射，观察反射光的等厚干涉条纹，在全部10 cm的长度内呈现多少条明纹？(1 nm=10-9 m)

13.题号：50443006
当牛顿环干涉仪中透镜与玻璃之间充以某种介质时，第十条明纹的直径由0.0140m变为0.0127。求液体的折射率。

14. (1)若用波长不同的光观察牛顿环，＝6000，＝4500，观察到用时的第k个暗环与用时的第k+1个暗环重合，已知透镜的曲率半径是190cm．求用时第k个暗环的半径．
(2)又如在牛顿环中用波长为5000的第5个明环与用波长为的第6个明环重合，求未知波长．
元培学院大学物理学A2复习题答案

25

一．选择题
36．答案：（Ｂ）
37．答案：（D）
38．答案：(B)
39．答案：（C）
40．答案：（D）
41．答案：（D）
42．答：（C）
43．答：（B）
44．答案：（A）
45．答案：（B）
46．答案：（ D ）
47. 答案：（ C ）
48. 答案：(D)
49. 答案：(A)
50. 答案：（B）
51. 答案：（B）
52. 答案：（D）
53. 答案：（B）
54. 答案：（D）
55. 答：（D）
56. 答案：（B）
57. 答案：（B）
58. 答案：（C）
59. 答案：（C）
60. 答案：（C）
61. 答案：（A）
62. 答案：（B）
63. 答案：（D）
64. 答案：（D）
65.答案：（ D ）
66. 答案：（A）
67. [答案：B]
68.答案：（ D）

二、填空题
31．答案：
32．答案：
33．答案： 受到
34．答案：0
35．答案：垂直
36．答案：在电场的作用下，介质表面产生极化电荷的现象
37．答案：
38．答案：
39．答案：0
40．答案：
41．答案：和磁场方向平行
42．答案：与磁场方向垂直
43．答案：
44． 答案：2。
45．答案：3.0 mm
46．答案：1×10-6m
47．答案：干涉(或相干叠加)
48．答案：变大
49.答案：
50. 答案：3.0nm
三、计算题
1．题号：40743001：无答案
2．题号：40743002
解：（1）根据高斯定理，可得出整个系统的电场分布：
（3分）
方向沿径矢方向。（1分）
（2）球心处的电势：（2分）

（3）极化强度：（2分）
方向与电场强度方向一相同。（1分）

（4）曲线：（1分）

3．题号：40743003：无答案
4．题号：40743004：无答案
5．题号：40843012
解答与评分标准：
（1）由高斯定理得电场分布： （4分）
（2）电势分布：
（4分）
（3）两极板间的电势差：
电容： （4分）

6．题号：40842020：无答案
第十一章：恒定电流的磁场作业
1．——11：无答案
12．题号：41143006
解答及评分标准：
（1）无限长载流直导线所产生的磁场为

所以有
（2分）
AB方向向上 （1分）， CD方向向下 （1分）
（1分）， 方向向左 （1分）
（1分）， 方向向右（1分）
(2)合力的大小： （1分）
合力的方向向左，指向直导线 （1分）
13．题号：41241001：无答案

第十二章：电磁感应作业
1．——3．：无答案
A
C
D
E
a
b
d
I
4．
解：（1）设线圈中的电流为I，则长螺线管内部的磁感应强度为（2 分）
N匝线圈总磁通量为（2 分）
则线圈的自感系数为（3 分）
（2）线圈中自感电动势（ 伏）（3 分）

5．：无答案
6.解答及评分标准：
根据题意，矩形线圈的短边bc和da所受磁场力的大小相等、方向相反，互相抵消。所以矩形线圈所受磁场力就是其长边ab和cd所受磁场力的合力。 （2分）

ab边所受磁场力的大小为 方向向左 （3分）
cd边所受磁场力的大小为 方向向右。 （3分）
矩形线圈所受磁场力的合力的大小为

方向沿水平向左。（4分）

第十四章 波动光学作业
1．——13. ：无答案
14. 解: (1)由牛顿环暗环公式

据题意有
∴，代入上式得

(2)用照射，级明环与的级明环重合，则有

∴