高考数学解题思想方法-参数法.doc

六、参数法
参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。
辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。
Ⅰ、再现性题组：
1. 设2＝3＝5>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。
2. （理）直线上与点A(-2,3)的距离等于的点的坐标是________。
（文）若k<－1，则圆锥曲线x－ky＝1的离心率是_________。
3. 点Z的虚轴上移动，则复数C＝z＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________。
4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。
5. 设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。(填“增”或“减”)
6. 椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是_____。
A. 3 B. C. D. 2
【简解】1小题：设2＝3＝5＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；
2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝±时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝，所以e＝－；
3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线；
4小题：设三条侧棱x、y、z，则xy＝6、yz＝4、xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。
5小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减；
6小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝的最大值，选C。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值。
【分析】由a＋b＋c＝1 想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，代入a＋b＋c可求。
【解】由a＋b＋c＝1，设a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，其中t＋t＋t＝0，
∴ a＋b＋c＝（＋t）＋（＋t）＋(＋t)＝＋(t＋t＋t)＋t＋t＋t＝＋t＋t＋t≥
所以a＋b＋c的最小值是。
【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧。
本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥。
两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力。
例2. 椭圆＋＝1上有两点P、Q，O为原点。连OP、OQ，若k·k＝－ ，
①．求证：|OP|＋|OQ|等于定值； ②.求线段PQ中点M的轨迹方程。
【分析】 由“换元法”引入新的参数，即设（椭圆参数方程），参数θ、θ为P、Q两点，先计算k·k得出一个结论，再计算|OP|＋|OQ|，并运用“参数法”求中点M的坐标，消参而得。
【解】由＋＝1，设，P(4cosθ,2sinθ)，Q(4cosθ,2sinθ),
则k·k＝＝－，整理得到：
cosθ cosθ＋sinθ sinθ＝0,即cos（θ－θ）＝0。
∴ |OP|＋|OQ|＝16cosθ＋4sinθ＋16cosθ＋4sinθ＝8＋12(cosθ＋cosθ)＝20＋6（cos2θ＋cos2θ)＝20＋12cos（θ＋θ）cos（θ－θ）＝20，
即|OP|＋|OQ|等于定值20。
由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为，
所以有()＋y＝2＋2(cosθ cosθ＋sinθ sinθ)＝2,
即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为＋＝1。
【注】由椭圆方程，联想到a＋b＝1,于是进行“三角换元”，通过换元引入新的参数，转化成为三角问题进行研究。本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”，在由中点坐标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cosθ＋ cosθ）＋（sinθ＋sinθ），这是求点M轨迹方程“消参法”的关键一步。一般地，求动点的轨迹方程运用“参数法”时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运用“消去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。
本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P、Q两点坐标再求：
设直线OP的斜率k，则OQ的斜率为－，由椭圆与直线OP、OQ相交于PQ两点有：
，消y得(1＋4k)x＝16,即|x|＝；
，消y得(1＋)x＝16，即|x|＝；
所以|OP|＋|OQ|＝()＋（）
＝＝20。即|OP|＋|OQ|等于定值20。
在此解法中，利用了直线上两点之间的距离公式|AB|＝|x－x|求|OP|和|OQ|的长。
S

E

D C
O F
A B
例3.已知正四棱锥S—ABCD的侧面与底面的夹角为β，相邻两侧面的夹角为α,求证：cosα=-cosβ。
【分析】要证明cosα=-cosβ，考虑求出α、β的余弦，则在α和β所在的三角形中利用有关定理求解。
【解】连AC、BD交于O，连SO；取BC中点F，连SF、OF；作BE⊥SC于E，连DE。则∠SFO＝β，∠DEB＝α。
设BC＝a (为参数)， 则SF＝＝,
SC＝＝
＝
又 ∵BE＝＝＝
在△DEB中，由余弦定理有：cosα＝＝＝－cosβ。
所以cosα＝－cosβ。

【注】 设参数a而不求参数a，只是利用其作为中间变量辅助计算，这也是在参数法中参数可以起的一个作用，即设参数辅助解决有关问题。