11.1.2《三角形的高、中线与角平分线》课时练习.doc

11.1.2三角形的高、中线与角平分线
一、选择题（共15题）
1．以下说法错误的是（ ）
A．三角形的三条高所在的直线一定在三角形内部交于一点
B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点
D．三角形的三条高所在的直线可能相交于外部一点
答案：A
知识点：三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：锐角三角形的三条高在三角形内部交于一点，直角三角形的三条高交于直角顶点，钝角三角形的三条高所在的直线在三角形外部交于一点．
分析：此题考查三角形的三条角平分线的交点、中线的交点和高的交点位置.
2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
答案：B
知识点：三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：锐角三角形的三条高在三角形内部交于一点，直角三角形的三条高交于直角顶点，钝角三角形的三条高在三角形外部交于一点．
分析：此题考查三角形的三条高的交点位置.
3．能把一个三角形的面积一分为二的线段是（ 　 ）
A.高 B.中线 C.角平分线 D.外角平分线
答案：B
知识点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
解析：
解答：因为三角形的中线把三角形分成的两个三角形，底边相等，高是同一条高，所以，分成的两三角形的面积相等．
分析：本题考查了等底等高的两个三角形的面积相等的性质，根据此性质，可以解决很多利用三角形的面积进行计算的题目，需熟练掌握并灵活运用.
4．下列说法不正确的是（ 　 ）
A.△ABC的中线AD平分边BC
B.△ABC的角平分线BE平分∠ABC
C.△ABC的高CF垂直AB
D.直角△ABC只有一条高
答案：D
知识点：三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：根据三角形的角平分线、中线和高的概念可知A，B，C项都正确；D项，直角△ABC有三条高，且三条高的交点在直角的顶角上，故D错．
分析：本题考查了三角形的角平分线、中线和高的概念，理解它们的概念是解题的关键.
5．画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（　　）

A. B. C. D.
答案：D
知识点：三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：过点C作边AB的垂线段，即画AB边上的高CD，所以画法正确的是D．
分析：三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段；应熟练掌握三角形的三条高的画法．
6．如图，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分别是D、C、F，下列说法中，错误的是（　　）

A．△ABC中，AD是边BC上的高
B．△ABC中，GC是边BC上的高
C．△GBC中，GC是边BC上的高
D．△GBC中，CF是边BG上的高
答案：B
知识点：三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：A项，∵AD⊥BC，
∴△ABC中，AD是边BC上的高正确，故本选项错误；
B项，AD是△ABC的边BC上的高，GC不是，故本选项正确；
C项，∵GC⊥BC，
∴在△GBC中，GC是边BC上的高正确，故本选项错误；
D项，∵CF⊥AB，
∴△GBC中，CF是边BG上的高正确，故本选项错误.
分析：本题考查了三角形的高，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键.
7．三角形的三条中线的交点的位置为（　　）
A．一定在三角形内
B．一定在三角形外
C．可能在三角形内，也可能在三角形外
D．可能与三角形一条边重合
答案：A
知识点：三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：三角形的三条中线都在三角形的内部，所以它们的交点的也一定在三角形内.
分析：本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记概念是解题的关键．
8．三角形的三条高在（　 ）
A.三角形的内部 B.三角形的外部
C.三角形的边上 D.三角形的内部、外部或与边重合
答案：D
知识点：三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：①锐角三角形的三条高，都在三角形内部；
②直角三角形的三条高，有两条高与两条直角边重合，有一条高在三角形的内部；
③钝角三角形的三条高，有两条在三角形的外部，有一条高在三角形的内部.
分析：此题考查三角形的三条高的交点，应熟练掌握锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的高的画法．
9．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　）A．AB=2BF B．∠ACE=∠ACB
C．AE=BE D．CD⊥BE

答案：C
知识点：三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE=∠ACB，AB=2BF，无法确定AE=BE.
分析：考查了三角形的角平分线、中线和高，根据是熟悉它们的定义和性质．
10．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确的有（　　）
①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

答案：B
知识点：三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：∵∠1=∠2，
∴AE平分∠DAF，故③正确；
又∵∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC，
∴AE平分∠BAC，故⑤正确．
故选C．
分析：由∠1=∠2，根据三角形的角平分线的定义得出AE平分∠DAF；又∠3=∠4，利用等式的性质得到∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC，那么AE平分∠BAC．
11．下列说法不正确的是（　　）
A．三角形的重心是其三条中线的交点
B．三角形的三条角平分线一定交于一点
C．三角形的三条高线一定交于一点
D．三角形中，任何两边的和大于第三边
答案：C
知识点：三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：A项，三角形的重心是其三条中线的交点，正确；
B项，三角形的三条角平分线一定交于一点，正确；
C项，①锐角三角形的三条高线交于一点；②直角三角形的三条高线的交点在直角的顶点上；③钝角三角形的三条高线有两条高线在三角形的外面，三条高线没有交点，但它们所在的直线有一个交点；所以，C项错误；
D项，三角形的三边关系，正确．
故选C.
分析：根据三角形的重心的定义判断A；根据三角形的角平分线的定义判断B；根据三角形的高的定义于性质判断C；根据三角形的三边关系判断D．
12.给出下列说法：①三条线段组成的图形叫三角形；②三角形的角平分线是射线；③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；④任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：B
知识点：三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：由不在同一条直线上的三条线段首位顺次连接作出的图形叫三角形，故①错误；
三角形的角平分线是线段，故②错误；直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点，故③错误；任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，故④正确；三角形的三条角平分线都在三角形内部且交于一点，这点也在三角形内，故⑤正确；正确的有2个.
分析：本题主要考查对三角形定义，三角形的角平分线、中线、高等知识点的理解和掌握，能熟练地运用定义进行说理是解此题的关键.
13.一定在△ABC内部的线段是（　　）
A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线
C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高
D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
答案：A
知识点：三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：A项，锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线一定在△ABC内部，故本选项正确；
B项，钝角三角形的三条高有两条在三角形的外部，故本选项错误；
C项，任意三角形的一条中线、二条角平分线都在三角形内部，但三条高不一定在三角形内部，故本选项错误；
D项，直角三角形的三条高有两条是直角边，不在三角形内部，故本选项错误．
分析：本题考查了三角形的角平分线、中线、高，是基础题，熟记概念是解题的关键．
14.下如果AD是△ABC的中线，那么下列结论一定成立的有（　　）
①BD=CD；②AB=AC；③S△ABD=S△ABC．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
答案：C
知识点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
解析：
解答：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD=BC，故①正确；
∵AD与BC不一定互相垂直，
∴AB与AC不一定相等，故②错误；
设△ABC中BC边上的高为h，
则S△ABD=•BD•h=•BC•h=S△ABC，故③正确．.

分析：此题考查了三角形中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，三角形的中线将三角形的面积平分，熟练掌握中线的性质是解题关键．
15.如图，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且S△BEF=4cm2，则S△ABC的值为（　　）
A．1cm2 B．2cm2 C．8cm2 D．16cm2

答案：D
知识点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
解析：
解答：∵由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，
∴△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等，
∴S△BEC=2S△BEF=8（cm2），
∴S△ABC=2S△BEC=16（cm2）．
分析：由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，可判断出AD、BE、CE、BF为△ABC、△ABD、△ACD、△BEC的中线，根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，据此即可解答此题考查了三角形的面积，根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．
二、填空题（共5题）
16．如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有 个．

答案：6
知识点：三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，
∴以AD为高的三角形有6个：△ABC，△ABE，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD．
分析：此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．
17．如图，在△ABC中，BD=CD，∠ABE=∠CBE，BE交AD于点F．
（1） 是△ABC的角平分线；
（2） 是△BCE的中线；
（3） 是△ABD的角平分线

答案：（1）BE （2）DE （3）BF
知识点：三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：∵BD=CD，
∴D是边BC上的中点，即AD，DE分别是△ABC和△BCE的中线.
∵∠ABE=∠CBE，
∴BE平分∠ABC，
∴BE是△ABC的角平分线.
又∵F在BE上，
∴BF是△ABD的角平分线.
分析：本题考查了三角形角平分线、中线、高线，熟记定义并准确识图是解题的关键．
18．AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，△ABD与△ACD的周长之差为 .

答案：2cm
知识点：三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD.
∵△ABD的周长为：AB+BD+AD，
△ACD的周长为：AC+CD+AD，
∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB-AC，
又∵AB=5cm，AC=3cm，
∴AB-AC=2（cm）.
即△ABD与△ACD的周长之差为2cm.
分析：此题考查三角形的中位线的性质．此题的关键是将求△ABD与△ACD的周长之差，转化为求AB与AC的差.
19．在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，若∠BOC=132°，则∠A=_______度.

答案：84
知识点：三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
解析：
解答：∵BO，CO分别是∠B，∠C的平分线，
∴∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB.
在△BCO中，∠CBO+∠BCO+∠BOC=180°，
∴∠CBO+∠BCO=180°-∠BOC =180°-132°=48°，
∴2（∠CBO+∠BCO）=∠ABC+∠ACB =2×48°=96°.
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-96°=84°.
分析：此题考查的是三角形的角平线的性质和三角形内角和定理．要求∠A，根据三角形内角和定理，可知需要求出∠ABC，∠ACB或者只求出∠ABC+∠ACB即可；再根据三角形的角平线的性质，可知∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，即∠CBO+∠BCO=（∠ABC+∠ACB），从而只要求出∠CBO+∠BCO即可.
20．如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，G是AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD交AD于点H．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH为△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线，其中判断正确的有 .

答案：③④
知识点：三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：①根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故此说法不正确；
②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法不正确；
③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；
④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．
分析：本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．
三、解答题（共5题）
21．已知：△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，如果D点把三角形ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求此三角形各边的长．
答案：8厘米，8厘米，11厘米或10厘米，10厘米，7厘米
知识点：三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：∵AB＝AC，BD是AC边上的中线，
∴AB=2AD=2CD，
∴AB+AD=3AD.
①当AB与AD的和是12厘米时，
AD=12÷3=4（厘米），
所以AB=AC=2×4=8（厘米），
BC=12+15-8×2=12+15-16=11（厘米）；
②当AB与AD的和是15厘米时，
AD=15÷3=5（厘米），
所以AB=AC=2×5=10（厘米），
BC=12+15-10×2=12+15-20=7（厘米）.
分析：本题D点把三角形ABC的周长分成两部分（AB+AD）和（BC+CD），题中未说明12cm和15cm分别是哪一部分，因此要分类讨论．
22．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？

答案：4
知识点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
解析：
解答：∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，
∴S△ABD=S△ABC，S△BDE=S△ABD，
∴S△BDE=×S△ABC=S△ABC，
∵△ABC的面积为40，
∴S△BDE=×40=10，
设△BDE中BD边上的高为x，
∵BD=5，
∴×5•x=10，
解得x=4.
分析：根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，求出△BDE的面积为10，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解.
23.如图，∠BAD=∠CAD，则AD是△ABC的角平分线，对吗？说明理由．

答案：错误.因为AD虽然是线段，但不符合三角形角平分线定义，这里射线AD是∠BAC的平分线.
知识点：三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：根据三角形的角平分线的定义，可知：①平分三角形的一个内角；②是一条线段，一个端点是三角形的顶点，另一点在这个顶点的对边上.而此题中AD满足①，但点D不在BC边上，故不满足②.所以，AD不是△ABC的角平分线.
分析：考查了三角形的角平分线的定义，三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线.
24.如图．AD是△ABC的角平分线，点P为AD上一点，PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，求证：PA平分∠MPN.

答案：见解答
知识点：三角形的角平分线、中线和高；平行线的性质
解析：
解答：证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵PM∥AC，PN∥AB
∴∠APM=∠PAN，∠APN=∠PAM，
∴∠APM=∠APN，
∴PA平分∠MPN．
分析：先根据角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，由PM∥AC，PN∥AB，根据两直线平
行，内错角相等得到∠APM=∠PAN，∠APN=∠PAM，然后经过等量代换即可得到∠APM=
∠APN.
25.如图，△ABC是某村一遍若干亩土地的示意图，在党的“十六大”精神的指导下，为进一步加大农村经济结构调整的力度，某村决定把这块土地平均分给四位“花农”种植，请你帮他们分一分，提供两种分法．要求：画出图形，并简要说明分法．

答案：
知识点：三角形的角平分线、中线和高； 三角形的面积
解析：
解答：第一种分法：取各边的中点，分别取AB，BC，AC的中点D，E，Y，连接DE，EY和AE，所形成的四个三角形面积相等．
第二种分法：在BC边上取BC的中点E，再分别取BE，CE的中点D，F，分别连接AD，AE，AF，所形成的四个三角形面积相等.
分析：此题考查三角形的中线的性质，关键是运用“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形”的知识去分.