特殊的平行四边形学案.doc

特殊的平行四边形学案
1.1矩形（1）
学习目标：
1、理解矩形的意义，知道矩形与平行四边形的区别与联系。
2、掌握矩形的性质定理，会用定理进行有关的计算与证明。
3、掌握直角三角形斜边上中线的性质与应用。
学习重点：矩形的性质及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”
学习难点：矩形性质的得出及灵活应用。
一、研读教材，解读目标
1． 叫做矩形。矩形是 的平行四边形。
2．矩形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？
3.从矩形的意义可以探究矩形具有的性质：
（1）矩形具有平行四边形的一切性质吗？这些性质什么？

（2）矩形与平行四边形比较又有其特殊的性质，这些特殊的性质是什么？

（3）用几何语言表述矩形的所有性质：

4.从矩形的性质可以说明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的
B
A
C
O
如图，在RtΔABC中，O是斜边AC的中点，
求证：OB=AC
证明：

5. 如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠AOB=60O，AB=4㎝，
求矩形对角线的长。

二、巩固训练，达成目标：
1、由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1：3两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角为（ ）
A、22.5° B、45° C、30° D、60°
2、矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为4.5厘米，则对角线长为 。
3、已知：如图2，矩形ABCD中，E是BC上一点，于F，若 。求证：CE＝EF。

4、折叠矩形ABCD纸片，先折出折痕BD，再折叠使A落在对角线BD
上A′位置上，折痕为DG。AB=2，BC=1。
求AG的长。

5、如图5，在矩形ABCD中，，求这个矩形的周长。

E
D
C
B
A
F
6、如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在F的位置，BF交AD于E，AD=8,AB=4，求△BED的面积。

7、在RtΔABC中，∠C=90°，CD是AB边上的中线，∠A=30°，AC=5 。
求△ADC的周长。

三、小结与反思：

1.1矩形（2）
学习目标：
　　1．理解并掌握矩形的判定方法．
2．能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力
3. 培养综合应用知识分析解决问题的能力。
学习重点：矩形的判定．
学习难点：矩形的判定及性质的综合应用．
一、自学教材，明确目标：
1．利用矩形的定义来判定一个四边形是平行四边形：
矩形定义：

2. 探究矩形的判定定理一：
的平行四边形是矩形。
如图，已知：
求证：
证明：

3. 探究矩形的判定定理二
的四边形是矩形。
如图，已知：
求证：
证明：

二、应用知识，实现目标：
1. 下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
    （1）有一个角是直角的四边形是矩形； （ ）
    （2）有四个角是直角的四边形是矩形； （ ）
    （3）四个角都相等的四边形是矩形； （ ）
     （4）对角线相等的四边形是矩形； （ ）
     （5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （ ）
（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （ ）
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （ ）
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（ ）
    （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． ( )
三、巩固训练，达成目标：
1．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）．
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三角形是否都为直角
2．能判断四边形是矩形的条件是（ ）
A、两条对角线互相平分 B、两条对角线相等
C、两条对角线互相平分且相等 D、两条对角线互相垂直。
3．如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC, ∠AEB=∠DEC。证明：四边形ABCD是矩形.

4．已知四边形ABCD中AC⊥BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
求证：四边形EFGH是矩形。

四、综合应用，拓展目标：
5. 已知的对角线AC，BD相交于O，△AOB是等边三角形，，求这个平行四边形的面积

6．如图，M、N分别是平行四边形ABCD对边AD、BC的中点，且AD=2AB，

PP
N
M
D
C
A
B
P
Q
求证，四边形PMQN是矩形。

7. 已知：如图（1），ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．
求证：四边形EFGH是矩形．

8．已知：如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得 DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．

五、小结与反思：

1.2 菱形（一）
学习目标：
　　1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．
　　2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．
　　3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
　　4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图渗透集合思想．
学习重点：菱形的性质1、2．
学习难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用．
学习内容：
一、忆一忆
1．什么叫做平行四边形？

2、什么叫矩形？

3、平行四边形和矩形之间的关系是什么？

二、探一探
1．我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看下面的演示：改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．

2. 菱形定义： ．
【强调】　菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．
3． 探究：
A
C
B
D
菱形是轴对称图形吗？如果是，那么它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？你能看出图中哪些线段或角相等？

4．菱形的性质1：
菱形的性质2：

A
C
B
D
菱形性质1证明：

菱形性质2证明：

5. 比较菱形的对角线和一般平行四边形的对角线你会发现什么？你能利用菱形的对角线求菱形的面积吗？如果菱形的两条对角线长分别是a和b，计算菱形的面积S。

三、练一练
1. 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
　　求证：∠AFD=∠CBE．

四、反馈：
1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分
别为 ．
2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积．

3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．

4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，
且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．

5．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为 8cm，求菱形的高．

6．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线AC长10cm。
求（1）对角线BD的长度；（2）菱形ABCD的面积．
A
C
B
D

五、小结与反思：

1.2 菱形（二）
学习目标：
1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；
2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养观察能力、动手能力及逻辑思维能力．
学习重点：菱形的两个判定方法．
学习难点：判定方法的证明方法及运用．
学习内容：
一、忆一忆
1．菱形的定义：
2．菱形的性质1：
3．菱形的性质2：
4．运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个什么条件？

5．两张宽度相等的纸条，交叉在一起，重叠部分的图形是什么图形？

6．要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？

二、试一试
1．【探究】用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．这个四边形是什么四边形？转动木条，什么时候这个四边形可变成菱形？

2．通过演示，容易得到：
菱形判定方法1：　 是菱形．
注意此方法包括两个条件：（1） （2） ．
A
C
B
D
3．给菱形的判定方法1证明：
已知：
求证：
证明：

4． 请同学们用尺规画平行四边形ABCD

5． 通过上面画平行四边形的方法，可以得到由一般四边形直接判定菱形的方法：
菱形判定方法2　 ．
A
C
B
D
6．给菱形的判定方法2证明：
已知：
求证：
证明：

7．你能归纳出菱形常用的判定方法吗？

三、做一做
1．已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．
证明：

2.已知：如图，△ABC中， ∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F．求证：四边形CEHF为菱形．

四、反馈提升：
1．填空：
（1）对角线互相平分的四边形是 ；
（2）对角线互相垂直平分的四边形是_____ ___；
（3）对角线相等且互相平分的四边形是____ ____；
（4）两组对边分别平行，且对角线 的四边形是菱形．
2．下列条件中，能判定四边形是菱形的是 （ ）．
（A）两条对角线相等 （B）两条对角线互相垂直
（C）两条对角线相等且互相垂直 （D）两条对角线互相垂直平分
3．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm．

4．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。

5．已知：如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC．求证：四边形MEND是菱形．

．　

五、小结与反思：

1.3 正方形
学习目标：
1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．
学习重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
学习难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．
学习内容：
一、想一想
1．矩形的定义：
2．菱形的定义：
3．通过你以前学到的知识说说什么样的图形叫正方形？

二、探一探
1．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2．试用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形来．
3．通过折纸你认为具备什么条件的矩形是正方形？

4．你再想想，具备什么条件的菱形是正方形？

5．通过1、3、4我们发现：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意： （1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）
（2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）

三、试一试
1．通过上图，我们发现：
正方形具有 的性质，同时又具有 的性质．
2．归纳正方形的所有性质：

四、练一练
1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．

A
B
C
D
E
F
2．下列说法是否正确，并说明理由．
①对角线相等的菱形是正方形；（ ）
②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）
③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）
④四条边都相等的四边形是正方形；（ ）
⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）
3．已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．求证：∠AFE＝∠AEF．

五、做一做
1．求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
证明：

2．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．
求证：EA⊥AF．

3．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．

4．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．

5．已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
求证：OE=OF．
证明：

6． 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，
作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．
求证：四边形PQMN是正方形．
证明：

7．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，
求∠EAD与∠ECD的度数．

六、小结与反思：

菱形测试题
1、已知菱形的一边长为，4厘米，则它的周长为
2、棱形的周长为8.4cm，相邻两角之比为5：1，那么菱形一组对边之间的距离为（ ）A、1.05cm B、0.525cm C、4.2cm D、2.1cm
3、菱形周长为40，一条对角线长为16，则另一条对角线长为 ,这个菱形的面积为 。
4、菱形ABCD中∠A=120°，周长为14.4，则较短对角线的长度为 。
5、菱形的面积为50平方厘米，一个角为30°，则它的周长为 。
6、在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交AC于F，交AB于E，
则，∠CDF=（ ）A、80° B、70° C、65° D、50°
7、小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件 ，使得四边形ABCD是菱形。小明补充的条件是AB=BC；小亮补充的条件是AC=BD，你认为下列说法正确的是（ ）
A、小明、小亮都正确 B、小明正确，小亮错误
C、小明错误，小亮正确 D、小明、小亮都错误
8、在四边形ABCD中，若已知AB∥CD，则再增加条件 即可使四边形ABCD成为平行四边形。若再补充条件__________,则四边形ABCD为菱形
9、下列命题中是真命题的是（　　　　）
Ａ）对角线互相平分的四边形是菱形　
Ｂ）对角线互相平分且相等的四边形是菱形
Ｃ）对角线互相垂直的四边形是菱形　　
D）对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
F
B
A
C
D
E
10、菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF的度数。

11、在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF，过点C做CG∥EA交FA于H ，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数。

12、矩形ABCD的对角线相交于O，DE∥AC,CE∥BD,求证四边形OCED是菱形。

13、AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证四边形AEDF是菱形。

14、如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于M交AC于E，∠DAC的平分线交CD于N.
证明：四边形AMNE是菱形.

19.2特殊的平行四边形
1．已知：AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件是___________________．
2.若四边形ABCD为平行四边形，请补充条件 使得四边形ABCD为菱形．
3.如图1，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=2∠BOC， 若对角线 AC=6cm，则周长= ，面积= 。
4.如图2，菱形ABCD的边长为8cm，∠BAD=120°，
则AC= ,BD= ,面积= 。
5.如图3，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点
（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，
则阴影部分的面积是
A

B
C
D
B
A
D
C
O

图1 图2 图3
6. 已知：如图4，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，
∠AOD=120°，∠AEO= ．
7. 如图5，四边形ABCD是菱形. 对角线AC=8㎝，DB=6㎝，
DH⊥AB与H. DH= 。
8．如图6，菱形中，对角线与相交于点，交于点，若cm，则的长为 cm．

图6

A
B
D
C
O
H

图4 图5
A
B
C
O
D
9．已知如图，菱形ABCD中，∠ADC=120°，AC=㎝，
（1）求BD的长；（2）求菱形ABCD的面积，
（3）写出A、B、C、D的坐标.

A
B
D
C
O
P
10.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且 DP=OC，连结CP，试判断四边形CODP的形状．并证明。
如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？
如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？

B
C
A
E
F
D
10.以△ABC的边AB、AC为边作等边△ABD和等边△ ACE，四边形ADFE是平行四边形．
① 当∠BAC等于 时，
四边形ADFE是矩形；
② 当∠BAC等于 时，
平行四边形ADFE不存在；
③ 当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形ADFE是菱形、正方形．
19．3 梯形（一）
学习目标：
1． 探索并掌握梯形的有关概念和基本性质，探索、了解并掌握等腰梯形的性质．
2． 能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算，进一步培养分析问题能力和计算能力．
3． 通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，体会图形变换的方法和转化的思想．
学习重点：等腰梯形的性质及其应用．
学习难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线），及梯形有关知识的应用．
学习过程：
一、议一议
1．阅读教材P106页，并观察右图中，有你熟悉的图形吗？它们有什么共同的特点？

2．画一画：在下列所给图中的每个三角形中画一条线段，思考：
（1）怎样画才能得到一个梯形？
（2）在哪些三角形中，能够得到一个等腰梯形？

4． 什么样的四边形叫做梯形？

（1）一些基本概念（如图）：底（上底和下底）、腰、高．
（2）等腰梯形：
（3）直角梯形：
（4）梯形与平行四边形有什么区别和联系？

（5）上、下底怎么区别？

二、探一探
1.用轴对称的思想探索等腰梯形的性质:
在一张方格纸上作一个等腰梯形，连接两条对角线．
【问题一】　图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角？这个图形是轴对称图形吗？画图并通过观察猜想；
【问题二】　这个等腰梯形的两条对角线的长度有什么关系？
等腰梯形的性质：
①等腰梯形是 图形，上下底的中点连线是 ．
②等腰梯形同一底上的 ．
③等腰梯形的 ．
2.你能证明等腰梯形的性质吗？（证明②和③）
②已知：
求证：
证明：

③已知：
求证：
证明：

三、试一试
1．教材P107的例1：（延长两腰 梯形辅助线添加方法三）

2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．
求CD的长．（提示：作AE∥DC，交BC于E）

3 . 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB＝∠ABC， BE⊥AC于E．求证：BE＝CD．
（ 提示：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D作DF∥AB交BC于F或者根据题意可构造等腰梯形ABFD）

四、练一练：
1．填空
（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，则DC= ．
（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是 和 ．
（3）等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= ．
2．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长．

3．求证：等腰梯形两腰上的高相等．

五、反馈提升：
1．填空：已知直角梯形的两腰之比是1∶2，那么该梯形的最大角为 ，最小角为 ．
2．已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长和面积．

3．已知：如图，梯形ABCD中，CD//AB，，．
求证：AD=AB—DC．

5． 已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，
DE⊥CE，求证：AD+BC=DC．（延长DE交CB延长线于点F，
由全等可得结论）

19．3 梯形（二）
学习目标：
1．通过探究掌握“同一底上两底角相等的梯形是等腰梯形”这个判定方法，及其此判定方法的证明．
2．能够运用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的论证和计算，体会转化的思想，数学建模的思想，会用分析法寻求证明题思路，从而进一步培养分析能力和计算能力．
3．通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，体会图形变换的方法和转化的思想．
学习重点：等腰梯形的判定方法并能运用．
学习难点：等腰梯形判定方法的运用．
学习过程：
一、忆一忆
1．复习提问：（1）什么样的四边形叫梯形，什么样的梯形是直角梯形、等腰梯形？

（2）等腰梯形有哪些性质？

（3）在研究解决梯形问题时的基本思想和方法是什么？常用的辅助线有哪几种？

（4）我们已经掌握了等腰梯形的性质，那么又如何来判定一个梯形是否是等腰梯形呢？等腰梯形同一底上两个角相等的逆命题是什么？这个命题的逆命题是否成立？能否加以证明？
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C．
求证：AB=CD．（你能用几种方法证明？）
证明：（方法一）

证明：（方法二）

2．结论： 等腰梯形判定方法：
几何表达式：梯形ABCD中，若∠B=∠C，则AB=DC．
【注意】等腰梯形的判定方法：①先判定它是梯形，②再用“两腰相等”“或同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形．
 二、试一试
1．教材P108的例2

2．证明：对角线相等的梯形是等腰梯形．
已知：如图，梯形ABCD中，对角线AC=BD．
求证：梯形ABCD是等腰梯形．
证明：（方法一）

　这个题还有其他证法，如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，也可证明，大家试一试。
证明：（方法二）

1． 已知：如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，CF⊥BE交BD于G，F是垂足．求证：四边形ABGE是等腰梯形．

4．画一等腰梯形，使它上、下底长分别4cm、12cm，高为3cm，并计算这个等腰梯形的周长和面积．

三、练一练
1．下列说法中正确的是（ ）．
（A）等腰梯形两底角相等 （B）等腰梯形的一组对边相等且平行
（C）等腰梯形同一底上的两个角都等于90度
（D）等腰梯形的四个内角中不可能有直角
2．已知等腰梯形的周长25cm,上、下底分别为7cm、8cm，则腰长为_______cm．
3．等腰梯形一底角，上、下底分别为8，18，则它的腰长为______，高为______，面积是_________．
4．梯形两条对角线分别为15，20，高为12，则此梯形面积为_________．
5．已知等腰梯形中的腰和上底相等，且一条对角线和一腰垂直，求这个梯形的各个角的度数．

6．已知，如图，在四边形ABCD中，AB＞DC，∠1=∠2，AC=BD，求证：四边形ABCD是等腰梯形．

7．已知，如图，E、F分别是梯形ABCD的两底AD、BC的中点，且EF⊥BC，求证：梯形ABCD是等腰梯形．

8．已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C，AB与CD不平行，且AB=CD．求证：四边形ABCD是等腰梯形．

9．梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，CE⊥AB于E，
若AC⊥BD于G．求证：CE=（AB+CD）．