高三数学大一轮复习-5.4复数导学案.doc

5.4 复数
【考纲目标】1．了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．
2．掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数形式的加法、减法、乘法、除法运算．
一、自主学习
要点1. 复数的有关概念
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，当 ，z是实数；
当 ，z是虚数，当 ，z是纯虚数．
(2)若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，
当 ⇔z1＝z2.
若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝0⇔ .
(3)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝ .
|z|＝，z对应复平面上的点 ；
|z1－z2|表示 ．
要点2．复数的运算
(1)(a＋bi)±(c＋di)＝ .
(2)(a＋bi)·(c＋di)＝ .
(3)＝ .
(4)①i4n＝ ，i4n＋1＝ ，i4n＋2＝ ，i4n＋3＝ .
②(1＋i)2＝ ，(1－i)2＝ .
③1的立方根w＝－＋i；＝－－i的性质．
有w3＝1，3＝1，w2＝，2＝w.
二、合作，探究，展示，点评
题型一 复数的概念
例1　已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时．
(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)z对应的点位于复平面的第二象限？

思考题1：(1)(2014·湖南文)复数(i为虚数单位)的实部等于________．
(2)(2015·沧州七校联考)已知z是纯虚数，是实数，那么z等于 (　　)
A．2i　　　　　　　B．I C．－i D．－2i
题型二 复数的运算
例2　计算：(1)＝________； (2)()6＋＝________.

思考题2：(1)(2014·新课标全国Ⅰ理)＝ (　　)
A．1＋i B．1－I C．－1＋i D．－1－i
(2)(2015·黄冈模拟)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.
题型三 复数的几何意义
例3　(1)若a为正实数，i为虚数单位，||＝2，则a＝ (　　)
A．2 B. C. D．1
(2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(　　)
A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i
思考题3：(1)如图所示，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　　)

A．A B．B C．C D．D
(2)(2015·郑州质检)复数z＝的共轭复数表示的点在 (　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

三、知识小结
1．本课以复习复数的概念为主，数域扩充到复数集后，实数集的性质不一定成立，解决复数问题两个基本途径：①利用复数相等转化为实数问题；②利用复数的几何表示(点、向量)数形结合去解决．
2．复数运算应掌握基本法则及ω，i的运算性质．

自助餐
1．(2014·福建理)复数z＝(3－2i)i的共轭复数等于 (　　)
A．－2－3i　　　　　B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i
2．(2014·天津)i是虚数单位，复数＝ (　　)
A．1－i B．－1＋I C.＋i D．－＋i
3．已知x，y∈R，i为虚数单位，且(x－2)i－y＝－1＋i，则(1＋i)x＋y的值为 (　　)
A．4 B．－4 C．4＋4i D．2i
4．下面是关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2, p2：z2＝2i，
p3：z的共轭复数为1＋i, p4：z的虚部为－1.其中的真命题为 (　　)
A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4
5.若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是 (　　)
A．E B．F C．G D．H

《复数》课时作业
1．若(x＋i)2是纯虚数(其中i为虚数单位)，则x＝ (　　)
A．±1　　　　　　　B．2 C．－1 D．1
2．(2014·湖北)i为虚数单位，2＝ (　　)
A．－1 B．1 C．－i D．i
3．(2014·辽宁)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝ (　　)
A．2＋3i B．2－3i C．3＋2i D．3－2i
4．已知集合A＝{1,2z2，zi}，B＝{2,4}，i为虚数单位，若A∩B＝{2}，则纯虚数z为(　　)
A．i B．－I C．2i D．－2i
5．(2014·江西理)是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝(　　)
A．1＋i B．－1－I C．－1＋i D．1－i
答案　D
6．(2014·安徽理)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝(　　)
A．－2 B．－2i C．2 D．2i
7．若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b等于 (　　)
A. B. C．－ D．2
8．在复平面内，复数z＝cos3＋isin3(i是虚数单位)对应的点位于 (　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在 (　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．已知复数z＝，则“θ＝”是“z是纯虚数”的 (　　)
A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条
11.复数z1，z2在复平面内分别对应点A，B，z1＝3＋4i，将点A绕原点O逆时针旋转90°得到点B，则2＝ (　　)
A．3－4i B．－4－3i C．－4＋3i D．－3－4i
12．复数m(3＋i)－(2＋i)(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于 (　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
13．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是 (　　)
A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2 C．|z－|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|
14．i＋i2＋i3＋…＋i2 015的值是________．
15．复数1＋i与－1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝________.
16．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.
17．若复数z满足(1＋2i)z＝|3＋4i|(i为虚数单位)，则复数z等于________．
18．i是虚数单位，()2 014＋()6＝________.
19．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，若＝x＋y，求x＋y的值．

20．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值．