高中数学因式分解的十二种方法(修改版).doc

高中数学因式分解的十二种方法
　　把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：
　　1、提公因法
　　如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
　　例1、分解因式x-2x-x(2003淮安市中考题)
　　x2-2x2-x=x(x-2x-1)
　　2、应用公式法
　　由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
　　例2、分解因式a+4ab+4b(2003南通市中考题)
　　解：a2+4ab+4b2=（a+2b）2
　　3、分组分解法
　　要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)
　　例3、分解因式m+5n-mn-5m
　　解：m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n
　　=(m-5m)+(-mn+5n)
　　=m(m-5)-n(m-5)
　　=(m-5)(m-n)
　　4、十字相乘法
　　对于mx+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
　　例4、分解因式7x2-19x-6
　　分析：1-3
　　72
　　2-21=-19
　　解：7x2-19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
　　对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
　　例5、分解因式x2+3x-40
　　解x2+3x-40=x2+3x+-
=(x+)2-()2
=(x+8)(x-5)
　　6、拆、添项法
　　可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
　　例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
　　解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
　　=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)
　　7、换元法
　　有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
　　例7、分解因式(x²+x+1)(x²+x+2)-12
解：(x²+x+1)(x²+x+2)-12
令y=x²+x
原式=(y+1)(y+2)-12
=y²+3y+2-12
=y²+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x²+x+5)(x²+x-2)
=(x²+x+5)(x+2)(x-1)
　　 8、求根法
　　将不同的x的值代入原式进行计算,若结果为0,则该值为原式的一个根,一般用1、-1试算,求出一个根后可把原式写成x减去它的根乘以另一个代数式,如此做下去,直到每一个因式次数都为1为止.
一般来说,x的最高次为几,原式就有几个根,但有时可能无法求出根,因为根有可能是无理数或复数.
例：X^4+2X³-9X²-2X+8
试算后得x=1为原式的一个根,则可提取（x-1）
原式=(x-1)(x^3+3x^2-6x-8)
试算后得x=-1为原式的一个根,则可提取（x+1）
原式=(x-1)(x+1)(x^2+2x-8)
再十字相乘得：原式=(x+1)(x-1)(x+4)(x-2)
还有一些规律：如果一个一元多项式的各项系数和为0,则它必有x=1的根
如果一个一元多项式的奇次项系数与偶次项系数之和的差为0,则它必有x=-1的根
　　9、图象法
　　令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x,x,x,……x，则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)
　　例9、因式分解x+2x-5x-6
　　解：令y=x+2x-5x-6
　　作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2
　　则x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
　　10、主元法
　　先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
　　例10、分解因式a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)
　　分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列
　　解：a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb)
　　=(b-c)[a-a(b+c)+bc]
　　=(b-c)(a-b)(a-c)
　　11、利用特殊值法
　　将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
　　例11、分解因式x+9x+23x+15
　　解：令x=2，则x+9x+23x+15=8+36+46+15=105
　　将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7
　　注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值
　　则x+9x+23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系数法
　　首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
　　例12、分解因式x-x-5x-6x-4
　　分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
　　解：设x-x-5x-6x-4=(x+ax+b)(x+cx+d)
　　=x+(a+c)x+(ac+b+d)x+(ad+bc)x+bd
　　所以解得
　　则x-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)