安徽三联学院《数学分析下》2024-2025学年第一学期期末试卷.doc

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…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………

安徽三联学院《数学分析下》2024-2025学年第一学期期末试卷
题号
一
二
三
四
总分
得分

一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知一无穷级数，判断该级数是否收敛？如果收敛，其和是多少？（ ）
A. 收敛，和为
B. 收敛，和为
C. 收敛，和为
D. 不收敛

2、设函数 z = x² + y²，其中 x = r*cosθ，y = r*sinθ，那么∂z/∂θ =（ ）
A.-2r²sinθcosθ B.2r²sinθcosθ C.-r²sin2θ D.r²sin2θ

3、设函数在[a,b]上连续，在内可导，且，则在内至少存在一点，使得（ ）
A.
B.
C.
D.

4、求函数的定义域是多少？（ ）
A. B. C. D.

5、求曲线在点处的法线方程是什么？（ ）
A. B. C. D.

6、微分方程的通解为（ ）
A.
B.
C.
D.

7、级数的和为（ ）
A.
B.
C.
D.

8、设向量 a=(1,2,3)，向量 b=(2,-1,1)，则向量 a 与向量 b 的向量积 a×b 的结果为（ ）
A.(5,1,-5) B.(5,-1,5) C.(-5,1,5) D.(-5,-1,-5)

9、函数的间断点是（ ）
A. 和
B.
C.
D.

10、当时，下列函数中哪个是无穷小量？（ ）
A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、求由曲线，轴以及区间所围成的图形的面积为____。

2、设，则的导数为____。

3、设，则为____。

4、计算极限的值为____。

5、已知函数，则的值为____。

三、解答题（本大题共3个小题，共30分)
1、（本题10分）已知数列满足，，证明数列收敛，并求其极限。

2、（本题10分）已知函数，求函数的最小正周期和单调递增区间。

3、（本题10分）已知函数，求函数的单调递增区间。

四、证明题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）设函数在[a,b]上二阶可导，且。证明：对于任意，，有。

2、（本题10分）设函数在区间[0,1]上二阶可导，且，。证明：在开区间内存在唯一的一点，使得。

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