2019届浦东新区高考数学一模.doc

浦东新区2018学年度第一学期期终教学质量监控测试高三数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分）1.已知全集，集合，则_2.抛物线的焦点坐标为_3.不等式的解为_4.已知复数满足（为虚数单位），则的模为_5.若函数的图像恒过点，则函数的图像一定经过定点_6.已知数列为等差数列，其前项和为，若，则_7.在中，内角的对边是，若，则_8.已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为_9.已知二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为_10.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为_11.已知数列满足：，且，若，则_12.已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围为_二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13.“”是“一元二次方程有实数解”的（ ）A. 充分非必要条件B. 充分必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件14.下列命题正确的是（ ）A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B. 如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面C. 如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行15.将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（ ）种A. 72B. 36C. 64D. 8116.已知点，为曲线上任意一点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）已知直三棱柱中，（1）求异面直线与所成角；（2）求点到平面的距离18.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）已知函数（1）若角的终边与单位圆交于点，求的值；（2）当时，求的单调递增区间和值域19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值（单位：exp）与游玩时间（小时）满足关系式：；3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50（1）当时，写出累积经验值与游玩时间的函数关系式，并求出游玩6小时的累积经验值；（2）该游戏厂商把累积经验值与游玩时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记作；若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数的取值范围20.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知双曲线的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦和所在直线分别平行于轴与轴，线段的延长线与线段相交于点（如图）（1）若是的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的夹角；（2）若，试求双曲线的标准方程；（3）在（1）的条件下，且，点与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点和，试问：以线段为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知平面直角坐标系，在轴的正半轴上，依次取点，并在第一象限内的抛物线上依次取点，使得都为等边三角形，其中为坐标原点，设第个三角形的边长为（1）求，并猜想（不要求证明）；（2）令，记为数列中落在区间内的项的个数，设数列的前项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；（3）已知数列满足：，数列满足：，求证：浦东新区2018学年度第一学期教学质量检测高三数学试卷 2018.12注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1. 已知全集，集合，则_.2. 抛物线的焦点坐标为_. 3. 不等式的解为_.4. 已知复数满足（为虚数单位），则的模为_. 5. 若函数的图像恒过点，则函数的图像一定经过定点_.6. 已知数列为等差数列，其前项和为.若，则_.127. 在中，内角的对边是.若，则_.8. 已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为 9. 已知二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为，则展开式中的第五项为_.10. 已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为_.11. 已知数列满足：，且若则_. 100912. 已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围为_. 解：当时，.当时，（1）若，则在上是单调递增函数，所以.若满足题目要求，则，所以.又，所以.（2）若，则，在上是单调递增函数，此时；在上是单调递减函数，此时.若满足题目要求，则，又，所以.综上，.二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.13. “”是“一元二次方程有实数解”的（ ）A（A）充分非必要条件 （B）充分必要条件（C）必要非充分条件 （D）非充分非必要条件 14. 下列命题正确的是（ ）D（A）如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 （B）如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面（C）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 （D）如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 15. 将位志愿者分配到进博会的个不同场馆服务，每个场馆至少人，不同的分配方案有（ ）种.B（A） （B） （C） （D）16. 已知点，为曲线上任意一点，则的取值范围为（ ）A（A） （B） （C） （D）三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤17（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知直三棱柱中，.（1）求异面直线与所成角；（2）求点到平面的距离解：（1）在直三棱柱中，,所以，2分因为，所以，为异面直线与所成的角或补角4分在中，因为，所以，异面直线与所成角为7分（2）设点到平面的距离为，由（1）得，9分，11分因为，12分所以，解得，所以，点到平面的距离为14分或者用空间向量：（1） 设异面直线与所成角为，如图建系，则，4分因为，所以，异面直线与所成角为7分（2）设平面的法向量为，则又，9分所以，由，得12分所以，点到平面的距离14分18（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 已知函数.（1）若角的终边与单位圆交于点，求的值； （2）当时，求的单调递增区间和值域.解：（1）角的终边与单位圆交于点， 2分4分 （2） 6分 8分由得，又，所以的单调递增区间是； 10分， 12分，的值域是. 14分19（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值（单位：）与游玩时间（小时）满足关系式：；3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为.（1）当时，写出累积经验值与游玩时间的函数关系式，并求出游玩6小时的累积经验值；（2）该游戏厂商把累积经验值与游玩时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记作；若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数的取值范围.解：（1） （写对一段得1分，共3分）时， （6分）（2）时， （8分） （10分） （12分）综上， （14分）20（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知双曲线: 的左、右焦点分别是 、，左、右两顶点分别是 、，弦 和所在直线分别平行于 轴与 轴，线段的延长线与线段相交于点 P（如图）（1）若是的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的夹角；（2）若， ，试求双曲线的方程；（3）在（1）的条件下，且，点与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点和，试问：以线段为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由解：（1）双曲线的渐近线方程为：20题图即，所以，2分从而，所以.4分（2）设 ，则由条件知： ， ，即6分所以， ，.7分代入双曲线方程知：9分. 10分（3）因为，所以，由（1）知，所以的方程为: ，令，所以，令，所以，令，所以， 12分故以为直径的圆的方程为：， 即，即，.14分若以为直径的圆恒经过定点于是所以圆过轴上两个定点和16分21（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知平面直角坐标系，在轴的正半轴上，依次取点（），并在第一象限内的抛物线上依次取点（），使得都为等边三角形，其中为坐标原点，设第个三角形的边长为.（1）求，并猜想（不要求证明）；（2）令，记为数列中落在区间内的项的个数，设数列的前项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；（3）已知数列满足：数列满足：求证：.解：（1）， （2分） 猜想 （2分）（2） （5分）由 （6分） （7分）（9分）对任意恒成立（10分）.（3）记，则 （12分）记，则 （14分）当时，可知： （18分）第 17 页 / 共 17 页