高等数学-多元函数微分法及其应用名师优质课获奖市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,机动 目录 上页 下页 返回 结束,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,多元函数微分法,及其应用,第七章,习题课,一、关于多元函数极限题类,二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微题类,三、关于偏导数、全微分计算题类,四、关于多元函数微分学应用题类,1.几何应用.,2.极(最)值,第1页,1,本章基本概念及其关系,连续性,偏导数存在,方向导数存在,可微性,1.多元函数定义、极限、连续,定义域及对应规律,判断极限不存在及求极限方法,函数连续性及其性质,2.几个基本概念导出关系,第2页,2,偏导数连续,可 微,连 续,偏导数存在,极限存在,极限存在,【必须,熟练掌握,本章以下几个概念之间关系】,第3页,3,一、关于多元函数极限题类,二元函数极限比一元函数极限要复杂得多，计算也更困难：,【例1】,【解】,取路径,y,=,k x,，则,与,k,相关,故不存在.,【例2】,初等函数.(1,0)定义域内点.连续.,代入法,【例3】,换元,化为一元函数极限,第4页,4,【阅读与练习】,求以下极限,【解】,【提醒】,能够引用一元函数求极限各种技巧,第5页,5,【例4】,【解】,因为,且,故原极限=0,夹逼准则,(4),【法】,【法】,夹逼准则,第6页,6,二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微题类,1.普通来说，讨论,二元,函数,z,=,f,(,x,y,),在某点连续性、可偏导性以及可微性时，都要用对应,定义判定,；尤其是分段函数在,分界点,上述“性态”就是要用各自,定义判断,.,连 续,可偏导,可 微,内含三条，缺一不可,包含高阶偏导数定义等,第7页,7,2.【,二元函数在区域内偏导数】,第8页,8,偏导数概念能够推广到二元以上函数,如,u,=,f,(,x,y,z,),在,(,x,y,z,),处,3.,【多元函数偏导数】,第9页,9,4.,【偏导数几何意义】,如图,第10页,10,第11页,11,【5.几何意义】,第12页,12,【例1】,【解】,第13页,13,【解】,第14页,14,【证】,原结论成立,【证完】,第15页,15,例,4.,计算函数,在点(2,1)处全微分.,解:,例5.,计算函数,全微分.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,?,第16页,16,作业 p100 同济p62,p69,第17页,17,三、,关于高阶偏导数、,全微分计算题类,二阶纯偏导数,二阶混合偏导数,1.,【高阶偏导数定义】,第18页,18,【定义式】,其余类推,(2),同,样可得：,三阶、四阶、以及,n,阶偏导数。,(3),【定义】,二阶及二阶以上偏导数统称为,高阶偏导数,。,【解】,第19页,19,【解】,第20页,20,例3.,求函数,解,:,注意:,此处,但这一结论并不总成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二阶偏导数及,第21页,21,(4),【问题】,具备怎样条件才能使混合偏导数相等？,即混合偏导数与求导次序无关.,第22页,22,2.【多元复合函数求导法则】,(1)【可导充分条件】,内层函数偏导存在,外层函数偏导连续,(2),【,复合函数求导链式法则,】,全导数,第23页,23,例1.设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第24页,24,【例2】,【解】,【注意】,第25页,25,例,3.,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第26页,26,【例,4,】,【解】,【分析】抽象函数无中间变量,引入记号,f,1,f,12,等.,第27页,27,为简便起见,引入记号,例5.,设,f,含有二阶连续偏导数,求,解:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 p100 同济p69,p75,第28页,28,3.【,全微分,】,全微分各偏微分之和,u,v,是自变量或中间变量,4.,【隐函数求导法则】,(1),公式法,(2),推导法(直接法,)方法步骤,x、y、z,等各变量地位等同,公式无须记,要求掌握,推导法,解由,得到,方程,(,组,),解出要求偏导数.,形式不变性,搞清哪个(些)是,因变量,、,中间变量,、,自变量,；,将方程(组)两边同时,对,某个,自变量,求(偏)导,；,其余自变量偏导数同理可求.,第29页,29,例1,.,设,解法1,利用隐函数求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再对,x,求导,第30页,30,解法2,利用公式,设,则,两边对,x,求偏导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第31页,31,例2.,设,解:,方程组两边对,x,求导，并移项得,求,练习:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案:,由题设,故有,第32页,32,【例3】,【解】,【分析】,确定,y,=,y,(,x,),z,=,z,(,x,),u,=,u,(,x,)三方程两边同时对,x,求导.,于是可得,第33页,33,【例,4,】,【分析】,隐函数，含抽象函数、复合函数.,【解】,公式法,x,y,z.,地位等同,第34页,34,【解】,推导法（直接法）,【例,4,】,【分析】,隐函数，含抽象函数、复合函数.,z,是,x,y,函数,两边同时对,y,求导,第35页,35,【解】,全微分法,【例,4,】,【分析】,隐函数，含抽象函数、复合函数.,（作业 p100 同济p89）,第36页,36,四、关于多元函数微分学应用题类,1.,【,几何应用,】,空间曲线,有,切线,和,法平面,退化情形,切向量,空间曲线,平面曲线,C,切向量,(P85;同济p94),第37页,37,空间曲面,有,切平面,和,法线,退化情形,法向量,空间曲面,平面曲线,C,法向量,(P88;同济p98),第38页,38,【例1】,【解】,方程、法线方程和向上法线方向余弦.,切平面,法 线,向上法线方向与z 轴正向夹角为锐角，故所求方向余弦为,第39页,39,【解】,设 为曲面上切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,【分析】,为隐式情形（待定常数法）,第40页,40,因为 是曲面上切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程,(1),切平面方程,(2),第41页,41,【解】,切线方程,法平面方程,第42页,42,【例4】,【解】,【分析】,空间曲线方程为普通式，理论上化为参数式，再用隐函数求导推导法（直接法）求导.,曲线方程为,切 线：,法平面：,（即P87例2,同济p96例5）,（作业 p105 同济p100）,第43页,43,二元函数极值判定定理,2.【极(最)值】,第44页,44,【解】,（此为隐函数极值问题）,第45页,45,第46页,46,求出实数解，得驻点.,第47页,47,条件极值求法,法:化为无条件极值（,如例1,）,法:拉格朗日乘数法,对三元以上函数尤其有用,（2）,【拉格朗日乘数法】,称为拉格朗日函数,第48页,48,【例,1,】,【解】,【分析】,第49页,49,得,用拉格朗日乘数法,第50页,50,（作业 p105 同济p118）,第51页,51,