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分数、百分数应用题综合提高
一、 基础知识回顾：
1. 比：
（1）比的概念：两个数相除叫做两个数的比．例如，5÷6可记作5:6． “:”是比号，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，前项除以后项所得的商叫做比值．比的后项不能为0．
（2）比的性质：比的前项和后项都乘以或除以一个不为零的数，比值不变．
2. 比例基本性质：
如果，那么．
3. 正比例关系和反比例关系：
（1）正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系，或者简写为“成正比”．
（2）反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系，或者简写为“成反比”．
注意，正比例和反比例是两种“量”之间的关系．比如长度、面积、时间、价格、重量……这些都是生活中实际存在的“量”．而以前我们学习的比和比例则是针对具体的“数”之间的关系．两个量之间如果成正比例关系或成反比例关系，称为这两个量成比例．
二、 分数、百分数应用题相关的题目类型及解题方法：
1. 比例互化：
（1）部分占部分，部分占整体之间的转化；
（2）多组比化连比．
2. 通过寻找不变量解题：常用不变量有：
（1）总量（和）不变：给来给去的情况；
（2）差不变：同增、同减的情况；
（3）其中某一个量没有变化．
3. 正反比例的概念和应用．
4. 复合比．
5. 方程法．
6. 倒推法．
7. 列表法．
例1． 甲、乙两个人分别有许多苹果，如果甲买了5个苹果，则此时甲、乙两人的苹果数之比是7:8；如果甲买了9个苹果，乙丢了4个苹果，此时甲乙两人的苹果数之比是3:2，那么两人原来分别有多少个苹果？
「分析」本题可以利用“和不变”解题．
练习1、小高、小思两个人分别有许多积分，如果小高又得了3分，则此时两人的积分之比是2:3；如果小高又得了8分，小思丢了5分，此时两人的积分之比是3:4，那么两人原来分别有多少积分？
例2． 甲乙两个班的同学人数相等，且各有一些同学参加了课外数学小组的活动．其中甲班参加的人数是乙班参加人数的．乙班未参加人数是甲班未参加人数的．请问：甲班未参加人数是乙班参加人数的几分之几？
「分析」因为两班总人数相同可以采用设数法，设出这个总数后，就可以表示出所需的其它数量了．
练习2、甲、乙两人有相同数目的水果，水果有梨和苹果两种，甲的梨和乙的苹果数目之比为4:3，甲的苹果和乙的梨数目之比为6:7，那么甲的苹果数和乙的苹果数之比是多少？
例3． 有三个最简真分数，其分子的比为3:2:4，分母的比为5:9:15．将这三个分数相加，再经过约分后为
．那么三个分数的分母相加是多少？
「分析」可以采用设未知数的办法解答此题．
练习3、有三个真分数(其中第一个是最简真分数)，其分子的比为3:4:5，分母的比为4:9:18．将这三个分数相加，再经过约分后为
．那么三个分数的分母相加是多少？
例4． 某工厂有A，B，C，D，E五个车间，人数各不相等．由于工作需要，把B车间工人的
调入A车间，C车间工人的
调入B车间，D车间工人的
调入C车间，E车间工人的
调入D车间．现在五个车间都是30人．原来每个车间各有多少人？
「分析」本题可以采用“倒推法”．
练习4、五指山上有甲，乙，丙，丁四队妖怪，妖怪数各不相等．为了均衡势力，把乙队妖怪的
调入甲队，丙队的
调入乙队，丁队的
调入丙队．现在四支队伍都是48人．原来每个队伍各有多少妖怪？
例5． 小光、小明和小亮分一些苹果．他们发现，苹果可以恰好按照4:3:2分配（按照小光、小明、小亮的顺序，下同），也可以恰好按照5:4:n分配（其中n为自然数），两种分配方法下，小光所分得的苹果数相差20个．那么苹果总数的最大值是多少？
「分析」本题中哪些量是没有发生变化的呢？
例6． 甲、乙、丙三人玩赢卡片的游戏，他们手中一共有156张卡片．第一轮，甲赢了乙、丙每人手中卡片的；第二轮，乙赢了甲、丙每人上轮结束时手中卡片的
，最后一轮，丙赢了甲、乙每人上轮结束时手中卡片的
，最后甲、乙手中的卡片数之比是2:3，那么结束时丙手中有多少张卡片？
「分析」本题可以采用寻找“不变量”作为解题突破口．
数学泰斗——阿基米德
阿基米德（约前287年—前212年）是伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家、力学家，静力学和流体静力学的奠基人．他出生于西西里岛的叙拉古，从小就善于思考，喜欢辩论．早年游历过埃及，曾在亚历山大城学习．据说他住在亚历山大里亚时期发明了阿基米德式螺旋抽水机，今天在埃及仍旧使用着．第二次布匿战争时期，罗马大军围攻叙拉古，最后阿基米德不幸死在罗马士兵之手．他一生献身科学，忠于祖国，受到人们的尊敬和赞扬．
阿基米德出生在古希腊西西里岛东南端的叙拉古城．在当时古希腊的辉煌文化已经逐渐衰退，经济、文化中心逐渐转移到埃及的亚历山大城；但是另一方面，意大利半岛上新兴的罗马帝国，也正不断的扩张势力；北非也有新的国家迦太基兴起．阿基米德就是生长在这种新旧势力交替的时代，而叙拉古城也就成为许多势力的角力场所．
阿基米德的父亲是天文学家和数学家，所以阿基米德从小受家庭影响，十分喜爱数学．大概在他九岁时，父亲送他到埃及的亚历山大城念书．亚历山大城是当时世界的知识、文化中心，学者云集，举凡文学、数学、天文学、医学的研究都很发达，阿基米德在这里跟随许多著名的数学家学习，包括有名的几何学大师—欧几里得，在此奠定了他日后从事科学研究的基础．
在数学方面，阿基米德确定了抛物线弓形、螺线、圆形的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的计算方法．在推演这些公式的过程中，他创立了“穷竭法”，即我们今天所说的逐步近似求极限的方法，因而被公认为微积分计算的鼻祖．他用圆内接多边形与外切多边形边数增多、面积逐渐接近的方法，比较精确的求出了圆周率．面对古希腊繁冗的数字表示方式，阿基米德还首创了记大数的方法，突破了当时用希腊字母计数不能超过一万的局限，并用它解决了许多数学难题．
浮力原理的发现
关于浮力原理的发现，有这样一个故事：相传叙拉古赫农王让工匠替他做了一顶纯金的王冠．但是在做好后，国王疑心工匠，但这顶金冠确与当初交给金匠的纯金一样重．工匠到底有没有私吞黄金呢？既想检验真假，又不能破坏王冠，这个问题不仅难倒了国王，也使诸大臣们面面相觑．经一大臣建议，国王请来阿基米德检验．最初，阿基米德也是冥思苦想而却无计可施．一天，他在家洗澡，当他坐进澡盆里时，看到水往外溢，同时感到身体被轻轻托起．他突然悟到可以用测定固体在水中排水量的办法，来确定金冠的比重．他兴奋地跳出澡盆，连衣服都顾不得穿上就跑了出去，大声喊着“尤里卡！尤里卡！”(Eureka，意思是“我知道了”)．
他经过了进一步的实验以后，便来到了王宫，他把王冠和同等重量的纯金放在盛满水的两个盆里，比较两盆溢出来的水，发现放王冠的盆里溢出来的水比另一盆多．这就说明王冠的体积比相同重量的纯金的体积大，密度不相同，所以证明了王冠里掺进了其他金属．
这次试验的意义远远大过查出金匠欺骗国王的事实，阿基米德从中发现了浮力定律（阿基米德原理）：物体在液体中所获得的浮力，等于它所排出液体的重量．一直到现代，人们还在利用这个原理计算物体比重和测定船舶载重量等．
给我一个支点，我可以撬动地球
阿基米德对于机械的研究源自于他在亚历山大城求学时期．有一天阿基米德在久旱的尼罗河边散步，看到农民提水浇地相当费力，经过思考之后他发明了一种利用螺旋作用在水管里旋转而把水吸上来的工具，后世的人叫它做“阿基米德螺旋提水器”，埃及一直到二千年后的现在，还有人使用这种器械．这个工具成了后来螺旋推进器的先祖．当时的欧洲，在工程和日常生活中，经常使用一些简单机械，譬如：螺丝、滑车、杠杆、齿轮等，阿基米德花了许多时间去研究，发现了“杠杆原理”和“力矩”的观念，对于经常使用工具制作机械的阿基米德而言，将理论运用到实际的生活上是轻而易举的．他自己曾说：“给我一个支点和一根足够长的杠杆，我就能撬动整个地球．”
后世的评价
美国的E.T.贝尔在《数学大师》上是这样评价阿基米德的：任何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基米德，而另外两们通常是牛顿和高斯．不过以他们的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德．
作业
1． 甲、乙、丙、丁四人合做一批零件，甲做的个数是另外3个人所做的总数的一半，乙做的个数是另外3个人所做的总数的
，丙做的个数是另外3个人所做的总数的
，丁做了390个．那么四个人共做了多少个零件？
2． 甲、乙两个人分别有许多包子，如果甲买了4个包子，则此时甲乙两人的包子数之比是2:3；如果甲买了9个包子，乙吃了5个包子，此时甲乙两人的包子数之比是5:7，那么两人原来分别有多少个包子？
3． 萱萱手上有语、数、英三种高思积分卡，分值的总和是590，英语积分卡的分值和是数学的
，也是语文的
．萱萱手头的语文高思积分卡的分值是多少？
4． 三班原计划抽20%的人参加大扫除，临时又有两人主动参加，使实际参加打扫除的人数是余下人数的
，原计划抽出多少人大扫除？
5． 甲乙两个班的同学人数相等，且各有一些同学参加了课外数学小组的活动．其中甲班未参加的人数是乙班未参加人数的2倍．乙班参加人数是甲班参加人数的
．请问：甲班未参加人数是乙班参加人数的几分之几？
分数、百分数应用题综合提高答案
例7． 答案：9、16
详解：答案 甲原有9个，乙原有16个．
前后两种情况下甲乙两人的苹果总数不变，则可把前后苹果的总份数统一为15份，那么两种情况下甲和乙的苹果数之比分别为7:8、9:6，由题意可知一份对应了2个苹果，所以甲原有
个苹果，乙原有16个苹果．
例8． 答案 ：四分之三
详解：设份数，按下面转化，可以得出最后甲乙均为23分的总人数，所以，甲班未参加人数是乙班参加人数的四分之三．
参
未
参
未
甲
2
5
8
15
乙
5
1
20
3
和同
例9． 答案：203
详解：设三个分数为
、
、
（其中a与b互质），则三个分数之和为
，所以a和b的值分别为4和7．因此三个分数的分母相加是
．
例10． 答案： A，B，C，D，E五个车间分别有11、38、33、32、36人
详解：设A，B，C，D，E五个车间分别有a、b、c、d、e个人，则
，所以A，B，C，D，E五个车间分别有11、38、33、32、36人．
例11． 答案：1980
详解：小光第一次占总数的
，第二次占总数的
，通过枚举可知当
时45和
的差最小，即两种情况小光的苹果数所占总数的比例最接近，所以苹果总数的最大值是1980．
例12． 答案：66
详解：可设最后甲、乙的卡片数分别为18x和27x，通过倒退，可得下表：
第1轮
第2轮
第3轮
甲：40x−39
32x
24x
18x
乙：60x−65
48x−52
36x
27x
丙：260−100x
208−80x
156−60x
156−45x
由上表最左列可知x的值只可以取2，则结束时丙手中有66张卡片．
练习1、
答案：小高67分，小思105分
简答：根据“和不变”，统一单位1解题即可．
练习2、答案2:1
简答：甲的梨：乙的苹果=4:3，甲的苹果：乙的梨=6:7，设甲共10份的水果，则乙也是10份的水果，发现单位1相同，不需进行比例计算，甲的苹果：乙的苹果=6:3=2:1．
练习3、答案62
简答：设三个分数为
、
、
（其中a与b互质），则三个分数之和为
，所以a和b的值分别为1和2．因此三个分数的分母相加是
．
练习4、答案：甲，乙，丙，丁四队各有29、57、50、56个妖怪
简答：同例4，用倒推法．
作业
6． 答案：1560．
简答：已知条件即告诉大家甲、乙、丙做的零件个数分别占总个数的
、
、
，则丁完成的个数占总个数的
，所以总个数为
．
7． 答案：甲有116个，乙有180个．
简答：由已知条件发现，前后两种情况下包子的总量不变，所以可以把前后两个比的化为相同份数来分析，即化为24:36和25:35，由于乙在两种情况下相差5个包子，所以一份对应5个包子，因此可求出甲原来有116个，乙原来有180个．
8． 答案：200．
简答：以英语积分作为前后两个比的桥梁，
和
可分别化为
和
，此时一共分为了59份，而总积分为590，所以一份对应10分，因此语文积分有200分．
9． 答案：8．
简答：两人加入后，打扫卫生的人数占总人数的25%，即与原来相差总数的5%，所以原来有
人．
10． 答案：五分之二．
简答：直接例2的方式写出比例后，发现甲乙之和相等，不需统一单位1，直接可以看出甲班未参加人数是乙班参加人数的五分之二．
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