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习题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件 A : (1) 抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件 A = {两次出现的面相同} ; (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数,事件 A = { 一分钟内呼叫次数不超过 3 次}; (3) 从一批灯泡中随机抽取一只,测试其寿命,事件 A = { 寿命在 2000 到 2500 小时之间}. 解 (1) = {( +,+), (+,), (,+), (,)} , A = {(+,+), (,)} . (2) 记 X 为一分钟内接到的呼叫次数,则 = { X = k | k = 0,1,2,LL} , A = { X = k | k = 0,1,2,3} . (3) 记 X 为抽到的灯泡的寿命(单位:小时) ,则 = { X ∈ (0, + ∞)} , A = { X ∈ (2000, 2500)} . 2. 袋中有10 个球, 分别编有号码 1 至 10, 从中任取 1 球, A = {取得球的号码是偶数}, = {取 设 B 得球的号码是奇数}, C = {取得球的号码小于 5},问下列运算表示什么事件: (1) A U B ;(2) AB ;(3) AC ;(4) AC ;(5) A C ;(6) B U C ;(7) A C . 解 (1) A U B = 是必然事件; (2) AB = φ 是不可能事件; (3) AC = {取得球的号码是 2,4}; (4) AC = {取得球的号码是 1,3,5,6,7,8,9,10}; (5) A C = {取得球的号码为奇数,且不小于 5} = {取得球的号码为 5,7,9}; (6) B U C = B I C = {取得球的号码是不小于 5 的偶数} = {取得球的号码为 6,8,10}; (7) A C = AC = {取得球的号码是不小于 5 的偶数}={取得球的号码为 6,8,10} 1 1 3 3. 在区间 [0 , 2] 上任取一数,记 A = x < x ≤ 1 , B = x ≤ x ≤ ,求下列事件的表达式: 2 2 4 (1) A U B ;(2) A B ;(3) AB ;(4) A U B . 1 3 解 (1) A U B = x ≤ x ≤ ; 2 4 1 3 1 1 3 (4) A U B = A U x 0 ≤ x < 或 < x ≤ 2 = x 0 ≤ x < 或 < x ≤ 1或 < x ≤ 2 4. 用事件 A, B, C 2 2 4 4 2 的运算关系式表示下列事件: (1) A 出现, B, C 都不出现(记为 E1 ) ; (2) A, B 都出现, C 不出现(记为 E 2 ) ; (3) 所有三个事件都出现(记为 E3 ) ; (4) 三个事件中至少有一个出现(记为 E 4 ) ; (5) 三个事件都不出现(记为 E5 ) ; (6) 不多于一个事件出现(记为 E 6 ) ; (7) 不多于两个事件出现(记为 E 7 ) ; (8) 三个事件中至少有两个出现(记为 E8 ) . 解 (1) E1 = AB C ; (3) E3 = ABC ; (5) E5 = A B C ; (2) E 2 = ABC ; (4) E 4 = A U B U C ; (6) E6 = A B C U AB C U A BC U A B C ; ww (7) E 7 = ABC = A U B U C ;(8) E8 = AB U AC U BC . 5. 一批产品中有合格品和废品,从中有放回地抽取三次,每次取一件,设 Ai 表示事件"第 i 次 w. kh 1 (2) A B = x 0 ≤ x ≤ 或 1 < x ≤ 2 I B = 2 (3) 因为 A B ,所以 AB = φ ; da w. 1 x ≤ x ≤ 4 1 U x1 < x ≤ 2 co 3 ; 2 m 抽到废品" i = 1,2,3 ,试用 Ai 表示下列事件: , (1) 第一次,第二次中至少有一次抽到废品; (2) 只有第一次抽到废品; (3) 三次都抽到废品; (4) 至少有一次抽到合格品; (2) 只有两次抽到废品. 解 (1) A1 U A2 ; (2) A1 A2 A3 ; (3) A1 A2 A3 ; (4) A1 U A2 U A3 ; (5) A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3 . 6. 接连进行三次射击,设 Ai ={第 i 次射击命中}, i = 1,2,3 , B = {三次射击恰好命中二次}, C = {三次射击至少命中二次};试用 Ai 表示 B 和 C . 解 B = A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3 C = A1 A2 U A1 A3 U A2 A3
习题二解答 w. 1.从一批由 45 件正品,5 件次品组成的产品中任取 3 件产品,求其中恰有 1 件次品的概率. 50 解 这是不放回抽取,样本点总数 n = ,记求概率的事件为 A ,则有利于 A 的样本点数 3 45 5 k = . 于是 2 1 45 5 45 × 44 × 5 × 3! 99 k 2 1 P( A) = = = = 50 × 49 × 48 × 2! 392 n 50 3 2.一口袋中有 5 个红球及 2 个白球,从这袋中任取一球,看过它的颜色后放回袋中,然后, 再从这袋中任取一球,设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同.求 (1) 第一次,第二次都取到红球的概率; (2) 第一次取到红球,第二次取到白球的概率; (3) 二次取得的球为红,白各一的概率; (4) 第二次取到红球的概率. 解 本 题 是 有 放 回 抽 取 模 式 , 样 本 点 总 数 n = 7 2 . 记 (1)(2)(3)(4) 题 求 概率 的 事 件 分 别 为 A, B, C , D . kh 25 5 P( A) = = 49 7 5 × 2 10 (ⅱ) 有利于 B 的样本点数 k B = 5× 2 ,故 P( B) = 2 = 49 7 20 (ⅲ) 有利于 C 的样本点数 k C = 2 × 5 × 2 ,故 P(C ) = 49 7 × 5 35 5 = . (ⅳ) 有利于 D 的样本点数 k D = 7 × 5 ,故 P( D) = 2 = 49 7 7 3.一个口袋中装有 6 只球,分别编上号码 1 至 6,随机地从这个口袋中取 2 只球,试求:(1) 最 小号码是 3 的概率;(2) 最大号码是 3 的概率. 解 本题是无放回模式,样本点总数 n = 6 × 5 . (ⅰ) 最小号码为 3,只能从编号为 3,4,5,6 这四个球中取 2 只,且有一次抽到 3,因而有利 2×3 1 样本点数为 2 × 3 ,所求概率为 = . 6×5 5 (ⅱ) 最大号码为 3,只能从 1,2,3 号球中取,且有一次取到 3,于是有利样本点数为 2 × 2 , (ⅰ)有利于 A 的样本点数 k A = 5 2 ,故 ww da w. 2 2× 2 2 = . 6 × 5 15 4.一个盒子中装有 6 只晶体管,其中有 2 只是不合格品,现在作不放回抽样,接连取 2 次, 每次取 1 只,试求下列事件的概率: (1) 2 只都合格; (2) 1 只合格,1 只不合格; (3) 至少有 1 只合格. 解 分别记题(1),(2),(3)涉及的事件为 A, B, C ,则 4 2 4 × 3 × 2 2 P( A) = = = 6 6 × 5× 2 5 2 4 2 1 1 4 × 2 × 2 8 P( B) = = = 6×5 15 6 2 注意到 C = A U B ,且 A 与 B 互斥,因而由概率的可加性知 2 8 14 P(C ) = P( A) + P( B) = + = 5 15 15 5.掷两颗骰子,求下列事件的概率: (1) 点数之和为 7;(2) 点数之和不超过 5;(3) 点数之和为偶数. 解 分别记题(1),(2),(3)的事件为 A, B, C ,样本点总数 n = 6 2 (ⅰ) A 含样本点 (2,5), (5,2) ,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3) 6 1 ∴ P ( A) = 2 = 6 6 (ⅱ) B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2) 10 5 ∴ P( B) = 2 = 18 6 ( ⅲ ) C 含 样 本 点 (1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共 18 个样本点. 18 1 ∴ P(C ) = = 36 2 6.把甲,乙,丙三名学生随机地分配到 5 间空置的宿舍中去,假设每间宿舍最多可住 8 人, 试求这三名学生住不同宿舍的概率. 解 记 求 概 率 的 事 件 为 A , 样 本 点 总 数 为 53 , 而 有 利 A 的 样 本 点 数 为 5 × 4 × 3 , 所 以 5 × 4 × 3 12 P ( A) = = . 25 53 7.总经理的五位秘书中有两位精通英语,今偶遇其中的三位,求下列事件的概率: "其中恰有一位精通英语" ; (1) 事件 A : (2) 事件 B : "其中恰有二位精通英语" ; (3) 事件 C : "其中有人精通英语" . 5 解 样本点总数为 3 所求概率为2 3 1 2 2 × 3 × 3! 6 3 (1) P( A) = = = = ; 5 × 4 × 3 10 5 5 3 (3) 因 C = A U B ,且 A 与 B 互斥,因而 3 3 9 P(C ) = P( A) + P( B) = + = . 5 10 10 8.设一质点一定落在 xOy 平面内由 x 轴, y 轴及直线 x + y = 1 所围成的三角形内,而落在这三 SA 1 角形内各点处的可能性相等,计算这质点落在直线 x = 1 / 3 的左边的概率. y 解 记求概率的事件为 A ,则 S A 为图中阴影部分,而 | |= 1 / 2 , 1 1 2 1 5 5 | S A |= = × = 2 2 3 2 9 18 最后由几何概型的概率计算公式可得 | S | 5 / 18 5 O P( A) = A = = . || 1/ 2 9 9. (见前面问答题 2. 3) 10.已知 A B , P( A) = 0.4 , P( B) = 0.6 ,求 2 2 3 2 1 3 × 3! 3 (2) P( B) = = ; = 5 × 4 × 3 10 5 3 1/3 图 2.3 ww 1.已知随机事件 A 的概率 P( A) = 0.5 ,随机事件 B 的概率 P( B) = 0.6 ,条件概率 P( B | A) = 0.8 , 试求 P( AB ) 及 P( A B ) . 解 P( AB ) = P( A) P ( B | A) = 0.5 × 0.8 = 0.4 P ( A B ) = P ( A U B ) = 1 P ( A U B ) = 1 P ( A) P ( B ) + P ( AB ) = 1 0.5 0.6 + 0.4 = 0.3 2.一批零件共 100 个,次品率为 10%,从中不放回取三次(每次取一个) ,求第三次才取得正 品的概率. 10 × 9 × 90 81 9 = = 解 p= . 100 × 99 × 98 99 × 98 1078 3.某人有一笔资金,他投入基金的概率为 0.58,购买股票的概率为 0.28,两项投资都做的概 率为 0.19 (1) 已知他已投入基金,再购买股票的概率是多少? (2) 已知他已购买股票,再投入基金的概率是多少? 解 记 A = {基金}, B = {股票},则 P( A) = 0.58, P( B) = 0.28, P( AB ) = 0.19 w. kh (4) P( B A) = P( A B) = P(φ ) = 0 , P( A B ) = P( A U B) = 1 P( A U B) = 1 0.6 = 0.4 ; (5) P( A B) = P( B A) = 0.6 0.4 = 0.2. 11. A, B 是两个事件, 设 已知 P( A) = 0.5 ,P( B) = 0.7 ,P( A U B) = 0.8 , 试求 P( A B) 及 P( B A). 解 注 意 到 P( A U B) = P( A) + P( B) P( AB ) , 因 而 P( AB ) = P( A) + P( B) P( A U B) = 0.5 + 0.7 0.8 = 0.4 . 于 是 , P( A B) = P( A AB ) = P( A) P( AB) = 0.5 0.4 = 0.1 ; P( B A) = P( B AB) = P( B) P( AB) = 0.7 0.4 = 0.3 . da w. 习题三解答 课 后 答 案 (1) P( A ) , P(B ) ;(2) P( A U B) ;(3) P( AB ) ;(4) P( B A), P( A B ) ;(5) P( A B) . 解 (1) P( A ) = 1 P( A) = 1 0.4 = 0.6 , P( B ) = 1 P( B) = 1 0.6 = 0.4 ; (2) P( A U B) = P( A) + P( B) P( AB ) = P( A) + P ( B) P( A) = P( B) = 0.6 ; (3) P( AB ) = P( A) = 0.4 ; 网 co 1 m x. (1) (2) P( B | A) = P( A | B) = P( AB) 0.19 = = 0.327. P( A) 0.58 co P( AB) 0.19 = = 0.678 . P( B) 0.28 4.给定 P( A) = 0.5 , P( B) = 0.3 , P( AB ) = 0.15 ,验证下面四个等式: P( A | B) = P( A), P( A | B ) = P( A), P( B | A) = P( B) , P( B | A ) = P( B). P( AB) 0.15 1 = = = P( A) 解 P( A | B) = P( B) 0.3 2 P( AB ) P( A) P( AB ) 0.5 0.15 0.35 = P( A | B ) = = = = 0.5 = P( A) P( B ) 1 P( B) 0.7 0.7 P( AB) 0.15 P( B | A) = = = 0.3 = P( B) P( A) 0.5 P( A B) P( B) P( AB ) 0.3 0.15 0.15 P( B | A ) = = = = = P( B) 1 P ( A) 0.5 0.5 P( A ) 5.有朋自远方来,他坐火车,船,汽车和飞机的概率分别为 0.3,0.2,0.1,0.4,若坐火车, 迟到的概率是 0.25,若坐船,迟到的概率是 0.3,若坐汽车,迟到的概率是 0.1,若坐飞机则不会迟 到.求他最后可能迟到的概率. m 网 解 且按题意 则 B = {迟到},A1 = {坐火车},A2 = {坐船},A3 = {坐汽车}, A4 = {乘飞机}, B = U BAi , 4 P( B | A1 ) = 0.25 , P( B | A2 ) = 0.3 , P( B | A3 ) = 0.1 , P( B | A4 ) = 0 . 由全概率公式有: 4 i =1 6.已知甲袋中有 6 只红球,4 只白球;乙袋中有 8 只红球,6 只白球.求下列事件的概率: (1) 随机取一只袋,再从该袋中随机取一球,该球是红球; (2) 合并两只袋,从中随机取一球,该球是红球. 解 (1) 记 B = {该球是红球}, A1 = {取自甲袋}, A2 = {取自乙袋},已知 P( B | A1 ) = 6 / 10 , P( B | A2 ) = 8 / 14 ,所以 1 6 1 8 41 P( B) = P( A1 ) P( B | A1 ) + P( A2 ) P( B | A2 ) = × + × = 2 10 2 14 70 14 7 = (2) P( B) = 24 12 7.某工厂有甲,乙,丙三个车间,生产同一产品,每个车间的产量分别占全厂的 25%,35%, 40%,各车间产品的次品率分别为 5%,4%,2%,求该厂产品的次品率. 解 0.25 × 0.05 × +0.35 × 0.04 + 0.4 × 0.02 = 0.0125 + 0.0140 + 0.008 = 0.0345 = 3.45% 8.发报台分别以概率 0.6,0.4 发出 " " 和 " " ,由于通信受到干扰,当发出 " " 时,分别以概 率 0.8 和 0.2 收到 " " 和 " " ,同样,当发出信号 " " 时,分别以 0.9 和 0.1 的概率收到 " " 和 " " . 求(1) 收到信号 " " 的概率;(2) 当收到 " " 时,发出 " " 的概率. 解 记 B = {收到信号 " " }, A = {发出信号 " " } (1) P( B) = P( A) P( B | A) + P( A ) P ( B | A ) = 0.6 × 0.8 + 0.4 × 0.1 = 0.48 + 0.04 = 0.52 P( A) P( B | A) 0.6 × 0.8 12 = = . (2) P( A | B) = P ( B) 0.52 13 9.设某工厂有 A, B, C 三个车间,生产同一螺钉,各个车间的产量分别占总产量的 25%,35%, 40%,各个车间成品中次品的百分比分别为 5%,4%,2%,如从该厂产品中抽取一件,得到的是次 ww w. kh 课 后 P( B) = ∑ P( Ai ) P( B | Ai ) = 0.3 × 0.25 + 0.2 × 0.3 + 0.1 × 0.1 = 0.145 da w. i =1 答 案 For evaluation only. 后 再由 P( A B ) = 1 / 9 ,有 1 / 9 = P( A ) P ( B ) = (1 P( A))(1 P( B)) = (1 P( A)) 2 所以 1 P( A) = 1 / 3 .最后得到 P( B) = P( A) = 2 / 3. 12.甲,乙,丙三人同时独立地向同一目标各射击一次,命中率分别为 1/3,1/2,2/3,求目标 被命中的概率. da w. 答 案 网 11.已知 A, B 独立,且 P( A B ) = 1 / 9, P( AB ) = P( A B) ,求 P( A), P( B ) . 解 因 P( AB ) = P( A B) ,由独立性有 P( A) P( B ) = P( A ) P( B ) 从而 P( A) P( A) P( B) = P( B) P( A) P( B) 导致 P( A) = P( B) co B = U Ai ,因 i =1 3 P ( A U B ) = P ( AB ) = 1 P ( A) P ( B ) = 1 pq 而 ww 3 4 则 A = A1 A2 U A3 A4 U A5 A6 , 所以 5 6 P( A) = P( A1 A2 ) + P( A3 A4 ) + P( A5 A6 ) 图 3.1 P( A1 A2 A3 A4 ) P( A3 A4 A5 A6 ) P( A1 A2 A5 A6 ) + P( A1 A2 A3 A4 A5 A6 ) = 3(1 p) 2 3(1 p ) 4 + (1 p) 6 14.假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周五 个工作日里每天是否发生故障相互独立,试求一周五个工作日里发生 3 次故障的概率. 5 解 p = (0.2) 3 (0.8) 2 = 0.0512 . 3 15.灯泡耐用时间在 1000 小时以上的概率为 0.2,求三个灯泡在使用 1000 小时以后最多只有 一个坏了的概率. 3 3 解 p = (0.2) 3 + × 0.8 × (0.2) 2 = 0.008 + 0.096 = 0.104 . 3 2 16.设在三次独立试验中,事件 A 出现的概率相等,若已知 A 至少出现一次的概率等于 19/27, 求事件 A 在每次试验中出现的概率 P( A) . w. 3 2 1 1 1 8 P( B) = 1 P I Ai = 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = 1 × × = 1 = 3 2 3 9 9. i =1 13.设六个相同的元件,如下图所示那样安置在线路中,设每个元件不通达的概率为 p ,求这 个装置通达的概率.假定各个元件通达与否是相互独立的. 1 2 解 记 A = {通达}, Ai = {元件 i 通达}, i = 1,2,3,4,5,6 课 解 记 B = {命中目标}, A1 = {甲命中}, A2 = {乙命中}, A3 = {丙命中},则 m 品,求它依次是车间 A, B, C 生产的概率. 解 为方便计,记事件 A, B, C 为 A, B, C 车间生产的产品,事件 D = {次品},因此 P( D) = P( A) P( D | A) + P( B) P( D | B) + P(C ) P( D | C ) = 0.25 × 0.05 + 0.35 × 0.04 + 0.4 × 0.02 = 0.0125 + 0.014 + 0.008 = 0.0345 P( A) P( D | A) 0.25 × 0.05 P ( A | D) = = = 0.362 P ( D) 0.0345 P( B) P( D | B) 0.35 × 0.04 P ( B | D) = = = 0.406 P ( D) 0.0345 P(C ) P( D | C ) 0.4 × 0.02 P (C | D ) = = = 0.232 P( D ) 0.0345 10. A 与 B 独立, P( A) = p, P( B) = q , 设 且 求下列事件的概率:P( A U B) ,P( A U B ) ,P( A U B ) . 解 P( A U B) = P( A) + P( B) P( A) P( B) = p + q pq P( A U B ) = P( A) + P( B ) P( A) P( B ) = p + 1 q p(1 q) = 1 q + pq 解 依假设 记 Ai = { A 在第 i 次试验中出现}, i = 1,2,3. 3 19 = P U Ai = 1 P( A1 A2 A3 ) = 1 (1 p) 3 27 i =1 8 , 此即 p = 1 / 3 . 所以, (1 p ) 3 = 27 17.加工一零件共需经过 3 道工序,设第一,二,三道工序的次品率分别为 2%,3%,5%. 假 设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率. 解 注意到,加工零件为次品,当且仅当 1-3 道工序中至少有一道出现次品.记 Ai = {第 i 道工 序为次品}, i = 1,2,3. 则次品率 3 p = P U Ai = 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = 1 0.98 × 0.97 × 0.95 = 1 0.90307 ≈ 0.097 i =1 18.三个人独立破译一密码,他们能独立译出的概率分别为 0.25,0.35,0.4. 求此密码被译出 的概率. 解 记 A = {译出密码}, Ai = {第 i 人译出}, i = 1,2,3. 则 3 P( A) = P U Ai = 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) i =1 = 1 0.75 × 0.65 × 0.6 = 1 0.2925 = 0.7075 19.将一枚均匀硬币连续独立抛掷 10 次,恰有 5 次出现正面的概率是多少?有 4 次至 6 次出 现正面的概率是多少? 10 10 1 63 解 (1) = ; 5 2 256 10 10 1 . ∑ k 2 k =4 20.某宾馆大楼有 4 部电梯,通过调查,知道在某时刻 T ,各电梯正在运行的概率均为 0.75, 6 p = P( A)求: 81 3 (3) (0.75) = = 256 4 4 (1) 在此时刻至少有 1 台电梯在运行的概率; (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率; (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率. 255 解 (1) 1 (1 0.75) 4 = 1 (0.25) 4 = 256 2 2 4 27 3 1 2 2 (2) (0.75) (0.25) = 6 × × = 2 128 4 4 1. 下列给出的数列,哪些是随机变量的分布律,并说明理由. i (1) pi = , i = 0,1,2,3,4,5 ; 15 5 i2 , i = 0,1,2,3 ; (2) pi = 6 1 (3) pi = , i = 2,3,4,5 ; 4 i +1 , i = 1,2,3,4,5 . (4) pi = 25 ( ) kh 课 后 (2) da w.
习题四解 其一条件为 pi ≥ 0, i = 1, 2, L ,其二条件为 ∑ pi = 1 . i 要说明题中给出的数列,是否是随机变量的分布律,只要验证 pi 是否满足下列二个条件: 依据上面的说明可得 (1) 中的数列为随机变量的分布律; (2)中的数列不是随机变量的分布律, 59 4 = < 0; 因为 p3 = (3) 中的数列为随机变量的分布律; (4) 中的数列不是随机变量的分布律, 6 6 5 20 这是因为 ∑ pi = ≠ 1. 25 i =1 c 使 并求:P( X ≤ 2 ) ; 2. 试确定常数 c , P( X = i ) = i , (i = 0,1,2,3,4) 成为某个随机变量 X 的分布律, 2 5 1 P < X < . 2 2 4 c c 16 ; 解 要使 i 成为某个随机变量的分布律,必须有 ∑ i = 1 ,由此解得 c = 31 2 i =0 2 (2) P( X ≤ 2 ) = P( X = 0 ) + P( X = 1) + P( X = 2) 16 1 1 28 = 1 + + = 31 2 4 31 5 16 1 1 12 1 (3) P < X < = P ( X = 1) + P ( X = 2) = + = . 2 31 2 4 31 2 3. 一口袋中有 6 个球,在这 6 个球上分别标有-3,-3,1,1,1,2 这样的数字.从这袋中任取 一球,设各个球被取到的可能性相同,求取得的球上标明的数字 X 的分布律与分布函数. 1 1 1 解 X 可能取的值为-3,1,2,且 P( X = 3) = , P( X = 1) = , P( X = 2) = ,即 X 的分布律为 3 2 6 X -3 1 2 1 1 1 概率 3 2 6 X 的分布函数 0 x < 3 1 F (x ) = P( X ≤ x ) = 3 ≤ x <1 3 5 1≤ x < 2 6 1 x≥2 4. 一袋中有 5 个乒乓球,编号分别为 1,2,3,4,5,从中随机地取 3 个,以 X 表示取出的 3 个球中最大号码,写出 X 的分布律和分布函数. 解 依题意 X 可能取到的值为 3,4,5,事件 {X = 3} 表示随机取出的 3 个球的最大号码为 3, w. 则另两个球的只能为 1 号,2 号,即 P( X = 3) = 3 1× 2 3 号码为 4,因此另外 2 个球可在 1,2,3 号球中任选,此时 P( X = 4) = = ;同理可得 10 5 3 4 1× 2 6 = . P( X = 5) = 10 5 3 X 的分布律为 kh da w. 课 后 答 案 网 1 1 = ;事件 {X = 4}表示随机取出的 3 个球的最大 5 10 3 3 6 概率 X 3 4 5 10 10 10 X 的分布函数为 0 F (x ) = 1 10 4 10 x<3 3≤ x <4 4≤ x<5 1 x≥5 5. 在相同条件下独立地进行 5 次射击, 每次射击时击中目标的概率为 0.6, 求击中目标的次数 X 的分布律. 解 依题意 X 服从参数 n = 5, p = 0.6 的二项分布,因此,其分布律 具体计算后可得 X 概率 0 32 3125 48 625 144 625 216 625 P( Ai ) = 课 10 , i = 1, 2, L 而 13 P( X = k ) = P A1 L Ak 1 Ak = P A1 L P Ak 1 ( ) ( ) 即 X 服从参数 p = P( X = 1) = 10 的几何分布. 13 (2)由于每次取出的产品不再放回,因此,X 可能取到的值为 1,2,3,4, X 的分布律为 w. X 10 3 × 10 5 , P( X = 2) = = , 13 13 × 12 26 3 × 2 × 10 5 3 × 2 × 1 × 10 1 = , P(X = 4) = = . P ( X = 3) = 13 × 12 × 11 143 13 × 12 × 11 × 10 286 kh X 1 10 13 ww 概率 (3)X 可能取到的值为 1,2,3,4, 10 3 × 11 33 , P( X = 2) = = , 13 13 × 13 169 3 × 2 × 12 72 3 × 2 ×1 6 = , P( X = 4) = = . P ( X = 3) = 13 × 13 × 13 2197 13 × 13 × 13 2197 P( X = 1) = 所求 X 的分布律为 1 10 13 概率 由于三种抽样方式不同,导致 X 的分布律也不一样,请仔细体会它们的不同处. 7. 设随机变量 X ~ B(6, p ) ,已知 P( X = 1) = P( X = 5) ,求 p 与 P( X = 2) 的值. da w. ( ) 3 P( Ak ) = 13 k 1 后 6. 从一批含有 10 件正品及 3 件次品的产品中一件一件的抽取.设每次抽取时,各件产品被抽 到的可能性相等.在下列三种情形下,分别求出直到取得正品为止所需次数 X 的分布律. (1) 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品; (2) 每次取出的产品都不放回这批产品中; (3) 每次取出一件产品后总是放回一件正品. 解 (1)设事件 Ai , i = 1,2, L 表示第 i 次抽到的产品为正品,依题意, A1 ,L , An , L 相互独立,且 答 案 网 10 , k = 1, 2, L 13 2 5 26 3 5 143 2 33 169 3 72 2197 co 162 625 243 3125 1 2 3 4 4 1 286 4 6 2197 m 5 5 P( X = k ) = 0.6 k 0.4 5 k , k = 0,1, L ,5 , k For evaluation only. 解 由于 X ~ B(6, p ) ,因此 P( X = 6) = p k (1 p )6 k , k = 0,1, L ,6 . 5 P( X = 1) = 6 p(1 p ) , P( X = 5) = 6 p 5 (1 p ), 1 5 即 解得 p = ; 6 p(1 p ) = 6 p 5 (1 p ), 2 2 6 2 6 6 1 1 6×5 1 15 × = 此时, P( X = 2) = = . 2 2 64 2 2! 2 6 k 由此可算得 8. 掷一枚均匀的硬币 4 次,设随机变量 X 表示出现国徽的次数,求 X 的分布函数. 解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为 ,因此 X 服从 n = 4, p = 的二项分布,即 k 4 k 1 2 1 2 4 1 1 P( X = k ) = k 2 2 , k = 0,1,2,3,4 x<0 0 ≤ x <1 1≤ x < 2 由此可得 X 的分布函数 0, 1 , 16 5 , 16 11 , 16 15 , 16 F (x ) = k =0 k! 4 k 4 e ≥ 0.99 k = 0 k! 查泊松分布表可求得 n = 9 . P( X ≤ n ) = ∑ n ww 10. 有一汽车站有大量汽车通过,每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为 0.0001,在某天该 段时间内有 1000 辆汽车通过,求事故次数不少于 2 的概率. 解 设 X 为 1000 辆汽车中出事故的次数,依题意,X 服从 n = 1000, p = 0.0001 的二项分布,即 X ~ B(1000,0.0001) ,由于 n 较大, p 较小,因此也可以近似地认为 X 服从 λ = np = 1000 × 0.0001 = 0.1 的 泊松分布,即 X ~ P (0.1) ,所求概率为 11. 某试验的成功概率为 0.75,失败概率为 0.25,若以 X 表示试验者获得首次成功所进行的试 验次数,写出 X 的分布律. 解 设事件 Ai 表示第 i 次试验成功,则 P( Ai ) = 0.75 ,且 A1 ,L , An , L 相互独立.随机变量 X 取 k 意 味着前 k 1 次试验未成功,但第 k 次试验成功,因此有 P( X = k ) = P A1 L Ak 1 Ak = P A1 L P Ak 1 P( Ak ) = 0.25 k 10.75 w. ≈1 P( X ≥ 2) = 1 P( X = 0) P( X = 1) 0.10 0.1 0.11 0.1 e e 0! 1! = 1 0.904837 0.090484 = 0.004679. kh ( ) ( ) 2 0.25 × 0.75 即 P( X ≤ n 1) = ∑ n 1 4 k 课 P( X ≤ n 1) < 0.99, P( X ≤ n ) ≥ 0.99, e 4 < 0.99 后 1, x≥4 9. 某商店出售某种物品,根据以往的经验,每月销售量 X 服从参数 λ = 4 的泊松分布,问在月 初进货时,要进多少才能以 99%的概率充分满足顾客的需要? 解 设至少要进 n 件物品,由题意 n 应满足 所求的分布律为 X 概率 da w. 3≤ x <4 答 案 网 2≤ x<3 ( ) 1 0.75 … … co k 0.25 k 1 × 0.75 m … … For evaluation only. 12. 设随机变量 X 的密度函数为 f (x ) = 2x , 0<x< A 0, 其他, 试求: (1)常数 A ; (2)X 的分布函数. 解 (1) f (x ) 成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件,其一为 f (x ) ≥ 0 ;其二为 +∞ A ∫∞ f ( x )dx = 1 ,因此有 ∫0 2 xdx = 1 ,解得 A = ±1 ,其中 A = 1 舍去,即取 A = 1 . (2)分布函数 F (x ) = P ( X ≤ x ) = ∫∞ f (x )dx x ∫∞ 0dx = x x<0 x ∫∞ 0dx + ∫0 2 xdx 0 1 x ∫∞ 0dx + ∫0 2 xdx + ∫1 0dx 0 0 ≤ x <1 x ≥1 0 ≤ x <1
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