《数值分析》复习题(数学).doc

《数值分析》复习题

一、填空题
1. 度量一根杆子长250厘米，则其绝对误差限为 ，相对误差限是 。
2. 测量一支铅笔长是16cm， 那么测量的绝对误差限是 ，测量的相对误差限是 。
3. 称量一件商品的质量为50千克，则其绝对误差限为 ，相对误差限是 。
4. 在数值计算中，当是较大的正数时，计算应变成_____________
5. 在数值计算中，计算应变成 来计算。
6. 在数值计算中，计算应变为 来计算。
7. 若，则______________，
。
8. 函数关于三个节点的拉格朗日二次插值多项式为
，
9. 当时， 。
10. 代数式 ______________,
__________________.
11. 已知方程组，那么收敛的迭代格式为：

，收敛的迭代格式为：

收敛理由是 ,

12. 已知线性方程组，那么收敛的Jacobi迭代格式：

收敛的G-S迭代格式： 。

收敛理由是 ,
13. 求积公式至少有n次代数精度的充要条件是____________________;
当n是偶数时，牛顿-柯特斯公式至少有__________次代数精度；
高斯求积公式至少有__________次代数精度。
14. 设，则矩阵的特征值的界为 ，矩阵的特征值的界为 。
15. 已知，，那么 ________, ________,
________, ________, ________, ________,
其中相等的范数有_____________________________.
二、判断题
1. 如果插值节点互不相同，则满足插值条件的次插值多项式是存在且唯一。
2. 迭代改善法能够解决一切方程组的病态问题。 （ ）
3. 区间上的三次样条插值函数在上具有直到三阶的连续函数。（ ）
4. 已知，，那么。 （ ）
5. 求解的近似值，我们能用函数逼近的插值法，解方程的二分法以及迭代法中的牛顿法来完成。 （ ）
6. 插值法是函数逼近、数值微分和微分方程数值解的基础。 （ ）
7. 弦截法也是不动点迭代的特例。 （ ）
8. 在使用松弛法（SOR）解线性代数方程组时，若松弛因子满足，则迭代法一定不收敛。 （ ）
9. 求解单变量非线性方程，弦截法具有1.618阶收敛，抛物线法具有1.840阶收敛，牛顿法具有2阶收敛。 （ ）
10. 常微分方程初值问题数值解法的理论根据是函数的泰勒展开。 （ ）
11. 解单变量非线性方程，牛顿法在单根附近具有2阶收敛，若再用Steffensen迭代法，则为3阶收敛。 （ ）
三、计算解答题和证明题
1、已知函数表如下：

0.0
0.2
0.4
0.6
0.8

1.0000
1.2214
1.4918
1.8221
2.2255
构造差分表，用三点牛顿插值多项式，求和的近似值。

2、用适当的二次插值多项式求和，并估计误差，函数表如下：

1.1
1.3
1.5
1.7
1.9

0.0953
0.2624
0.4055
0.5306
0.6419
3、试用最小二乘法求一次多项式拟合以上数据，并求出均方误差，某实验数据如下：
（1）

1
3
4
6

1.2
3.5
5
6
（2）

1
2
3
4
5

0
2
2
5
4
（3）

1
3
4
6

1.2
3.5
5
6
（4）

-2
-1
1
2
3

7
5
2
1
-1

4、二分法求根
(1) 方程在[1,2]附近的根，使绝对误差不超过0.01（绝对误差估计式：）;
(2) 方程在[1,2]附近的根，使绝对误差不超过0.01;
(3) 方程,在[-2,-1]附近的根，使绝对误差不超过0.01。
5、用适当的方法解方程组：(1);
(2); (3).

6、写出复合梯形公式、复合辛普生公式、复合柯特斯公式及龙贝格公式之间的关系，并用龙贝格方法计算积分，误差限不超过。
7、写出复化梯形公式、复化辛普生公式、复化柯特斯公式及龙贝格公式关系式，并计算积分，已知，，
，
8、设方程组，写出迭代法和迭代法的迭代格式，并证明它们是收敛的。
9、设，，用表示解线性方程组的雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代收敛的充分必要条件。
10、求，至少用三种方法求值，并简要叙述求解过程。
11、设是正交矩阵，证明。
12、（1）当时，；
（2）；
（3）如果是正交阵，则。
13、证明：适当选取待定参数, 求积公式
的代数精度可达到。
14、试证明：适当选取待定参数, ，，求积公式
的代数精度可达到。
15、证明Chebyshev多项式满足微分方程
。
16、已知方阵，
（1） 证明：不能分解成一个单位下三角阵和一个上三角阵的乘积；
（2） 试通过交换的行，进行分解。
17、求一个次数不超过4次的多项式，满足，，
。
二、课本习题

1．每章的“复习与思考题”
2. P48, 2,4,8,16;
P94,7,10,13,16,19;
P135,1,14;
P176,7,8,9,10,13,19,20;
P209,1,2;
P238,1,3,7,12;
P275,1,2;
P315,1,4,10.