《1.2.2函数的表示法》导学案2.doc

《1.2.2函数的表示法》导学案2
学习目标
1．了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题．
2．了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射．
学习过程
1．分段函数
(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
2．映射的概念
设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.
3．映射与函数
由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是非空数集．

对点讲练

分段函数的求值问题

【例1】 已知函数f(x)＝
(1)求f[f()]的值；　(2)若f(a.)＝3，求a.
的值．
分析　本题给出的是一个分段函数，函数值的取得直接依赖于自变量x属于哪一个区间，所以要对x的可能范围逐段进行讨论．
解　(1)∵－1<<2，∴f()＝()2＝3.
而3≥2，∴f[f()]＝f(3)＝2×3＝6.
(2)当a.≤－1时，f(a.)＝a.＋2，又f(a.)＝3，∴a.＝1(舍去)；当－1<a.<2时，f(a.)＝a.2，又f(a.)＝3，∴a.＝±，其中负值舍去，∴a.＝；当a.≥2时，f(a.)＝2a.，又f(a.)＝3，
∴a.＝(舍去)．综上所述，a.＝.
规律方法　对于f(a.)，究竟用分段函数中的哪一个对应关系，与a.
所在范围有关，因此要对a.进行讨论．由此我们可以看到：
(1)分段函数的函数值要分段去求；
(2)分类讨论不是随意的，它是根据解题过程中的需要而产生的．
变式迁移1 设f(x)＝若f(a.)>a.，则实数a.的取值范围是________．
答案　a.<－1
解析　当a.≥0时，f(a.)＝a.－1，解a.－1>a.，得a.<－2与a.≥0矛盾，当a.<0时，f(a.)＝，解>a.，得a.<－1.∴a.<－1.

分段函数的图象及应用

【例2】 已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)．
(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)画出该函数的图象；
(3)写出该函数的值域．

→
→
→→
解　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2<x<0时，f(x)＝1＋＝1－x.
∴f(x)＝.
(2)函数f(x)的图象如图所示，

(3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3)．
规律方法　对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．
变式迁移2 设函数f(x)＝，使得f(x)≥1的自变量x的取值范围是______________________．
答案　(－∞，－2]∪[0，2]
解析　

在同一坐标系中分别作出f(x)及y＝1的图象(如图所示)，观察图象知，x的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2]．

映射概念及运用

【例3】 判断下列对应关系哪些是从集合A到集合B的映射，哪些不是，为什么？
(1)A={x|x为正实数}，B={y|y∈R[}，f：x→y=±
(2)A=R，B={0，1}，对应关系f：x，→y＝
(3)A=Z，B=Q，对应关系f：x→y=；
(4)A={0，1，2，9}，B={0，1，4，9，64}，对应关系f:a→b=
解　(1)任一个x都有两个y与之对应，∴不是映射．
(2)对于A中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应，任意一个负数都有唯一的元素0和它对应，
∴是映射．
(3)集合A中的0在集合B中没有元素和它对应，故不是映射．
(4)在f的作用下，A中的0，1，2，9分别对应到B中的1，0，1，64，∴是映射．
规律方法　判断一个对应是不是映射，应该从两个角度去分析：(1)是否是“对于A中的 每一个元素”；(2)在B中是否“有唯一的元素与之对应”．
一个对应是映射必须是这两个方面都具备；一个对应对于这两点至少有一点不具备就不是映射．说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可．
变式迁移3 下列对应是否是从A到B的映射，能否构成函数？
(1)A=R，B=R，f:xy＝；
(2)A＝{a.|a.＝n，n∈N＋}，B＝，f：a.→b＝；
(3)A=，B=R，f:x→y2＝x；
(4)A＝{x|x是平面M内的矩形}，B＝{x|x是平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆．
解　(1)当x＝－1时，y的值不存在，
∴不是映射，更不是函数．
(2)是映射，也是函数，因A中所有的元素的倒数都是B中的元素．
(3)∵当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数．
(4)是映射，但不是函数，因为A，B不是数集．
课堂小结
1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．
2．判断一个对应是不是映射，主要利用映射的定义：
(1)集合A到B的映射，A、B必须是非空集合(可以是数集，也可以是其他集合)；
(2)对应关系有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；
(3)与A中元素对应的元素构成的集合是集合B的子集．

课时作业
1．下列集合A到集合B的对应f是映射的是(　　)
A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数平方
B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝N*，f：a.→b＝(a.＋1)2
D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
答案　A
2．设集合A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则f不是映射的是(　　)
A． f:x→y＝x B. f:x→y＝x
C. f:x→y＝x D. f:x→y＝x
答案　A
由f:xy＝x，集合A中的元素6对应3{y|0≤y≤2}，故选项A不是映射．
3．已知f(x)＝(x∈N)，那么f(3)等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　A
解析　由题意知f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.
4．已知f(x)＝，g(x)＝，则当x<0时，f[g(x)]等于(　　)
A．－x B．－x2 C．x D．x2
答案　B
解析　当x<0时，g(x)＝－x2<0，
∴f[g(x)]＝－x2.
二、填空题
5．已知f(x)＝，则f(f(f(－1)))的值是__________．
答案　π＋1
解析　f(－1)＝0，f(0)＝π，f(π)＝π＋1
∴f(f(f(－1)))＝f(f(0))＝f(π)＝π＋1.
6．已知f(x)＝，则不等式xf(x)＋x≤2的解集是__________．
答案　{x|x≤1}
解析　当x≥0时，f(x)＝1，代入xf(x)＋x≤2，
解得x≤1，∴0≤x≤1；
当x<0时，f(x)＝0，代入xf(x)＋x≤2，
解得x≤2，∴x<0.
综上可知x≤1.
三、解答题
7．若[x]表示不超过x的最大整数，画出y＝[x] (－3≤x<3)的图象．
解　作出y＝[x]的图象如下图所示．

8．已知函数y＝f(x)的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．

解　根据图象，设左侧射线对应的函数解析式为y＝kx＋b (x<1)．
∵点(1，1)、(0，2)在射线上，
∴　解得
∴左侧射线对应的函数解析式为y＝－x＋2 (x<1)．
同理，x>3时，函数的解析式为y＝x－2 (x>3)．
又抛物线对应的二次函数的解析式为
y＝a.(x－2)2＋2 (1≤x≤3，a.<0)，
∵点(1，1)在抛物线上，∴a.＋2＝1，a.＝－1，
∴当1≤x≤3时，函数的解析式为
y＝－x2＋4x－2 (1≤x≤3)．
综上所述，函数的解析式为
y＝
【探究驿站】
9．已知函数f(x)＝求使等式f[f(x)]＝1成立的实数x构成的集合．
解　当x∈[0，1]时，恒有f[f(x)]＝f(1)＝1，
当x[0，1]时，f[f(x)]＝f(x－3)，
若0≤x－3≤1，即3≤x≤4时，f(x－3)＝1，
若x－3[0，1]，f(x－3)＝(x－3)－3，
令其值为1，即(x－3)－3＝1，∴x＝7.
综合知：x的值构成的集合为
{x|0≤x≤1或3≤x≤4或x＝7}．