玉树市重点中学2024-2025学年高二下数学期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

玉树市重点中学2024-2025学年高二下数学期末学业水平测试模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．给出一个命题p：若，且，则a，b，c，d中至少有一个小于零，在用反证法证明p时，应该假设（ ）
A．a，b，c，d中至少有一个正数 B．a，b，c，d全为正数
C．a，b，c，d全都大于或等于0 D．a，b，c，d中至多有一个负数
2．用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假
设应该写成（ ）
A．假设当时，能被整除
B．假设当时，能被整除
C．假设当时，能被整除
D．假设当时，能被整除
3．随机变量服从正态分布，且.已知，则函数图象不经过第二象限的概率为( )
A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.2000
4．在三棱锥中，，，面，，，分别为，，的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．己知弧长的弧所对的圆心角为弧度，则这条弧所在的圆的半径为（　）
A． B． C． D．
6．已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．在平行四边形ABCD中，，则cos∠ABD的范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．如图，点为正方体的中心，点为棱的中点，点为棱的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影不可能是（ ）

A． B． C． D．
10．下列选项叙述错误的是 （ ）
A．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”
B．若命题，则
C．若为真命题，则，均为真命题
D．若命题为真命题，则的取值范围为
11．把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）.
A． B．
C． D．
12．设均大于1，且，令，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知f(x)是奇函数，且当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax()，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值是1，则a＝__________.
14．已知则的值为 ．
15．抛物线的焦点为F，点是抛物线C上的一点满足，则抛物线C的方程为________.
16．一个口袋中装有2个白球和3个红球，每次从袋中摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖，则中奖的概率为_________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，.

（1）求三棱柱的体积；
（2）若点M是棱AC的中点，求直线与平面ABC所成的角的大小.
18．（12分）已知点P(3，1)在矩阵变换下得到点P′(5，－1)．试求矩阵A和它的逆矩阵．
19．（12分）已知平面直角坐标系，直线过点，且倾斜角为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）求直线的参数方程和圆的标准方程；
（2）设直线与圆交于、两点，若，求直线的倾斜角的值.
20．（12分）已知函数.
求不等式的解集；
若，求实数的取值范围.
21．（12分）某种产品的广告费用支出（万元）与销售（万元）之间有如下的对应数据：

2
4
5
6
8

30
40
60
50
70
若由资料可知对呈线性相关关系，试求：
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（2）据此估计广告费用支出为10万元时销售收入的值.
（参考公式：，.）
22．（10分）已知等轴双曲线：的右焦点为，为坐标原点，过作一条渐近线的垂线且垂足为，.
（1）假设过点且方向向量为的直线交双曲线于、两点，求的值；
（2）假设过点的动直线与双曲线交于、两点，试问：在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
由“中至少一个小于零”的否定为“全都大于等于”即可求解.
【详解】
因为“a，b，c，d中至少有一个小于零”的否定为“全都大于等于”,
所以由用反证法证明数学命题的方法可得,应假设“全都大于等于”,
故选：C.
本题主要考查了反证法，反证法的证明步骤，属于容易题.
2、D
【解析】
注意n为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设．
解：根据数学归纳法的证明步骤，注意n为奇数，所以第二步归纳假设应写成：假设n=2k-1（k∈N*）正确，再推n=2k+1正确；故选D．
本题是基础题，不仅注意第二步的假设，还要使n=2k-1能取到1，是解好本题的关键．
3、C
【解析】
图象不经过第二象限，，随机变量服从正态分布，且，函数图象不经过第二象限的概率为，故选C.
4、B
【解析】
由题意可知，以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法求角即可.
【详解】
∵
∴，
以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
∴，
设，则，
∵，
∴，解得
∴
∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为
故选B
本题考查了异面直线所成角的余弦值求法问题，也考查了推理论证能力和运算求解能力，是中档题．
5、D
【解析】
利用弧长公式列出方程直接求解，即可得到答案．
【详解】
由题意，弧长的弧所对的圆心角为2弧度，则，解得，故选D．
本题主要考查了圆的半径的求法，考查弧长公式等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．
6、A
【解析】
设，，，，代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得，，利用斜率计算公式可得．于是得到，化为，再利用，即可解得，．进而得到椭圆的方程．
【详解】
解：设，，，，
代入椭圆方程得，
相减得，
．
，，．
，
化为，又，解得，．
椭圆的方程为．
故选：．
熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．
7、D
【解析】
利用可得边之间的关系，结合余弦定理可得cos∠ABD的表达式，然后可得范围.
【详解】
因为，所以；
不妨设，则，
把两边同时平方可得，即；
在中，，所以；
；
令，，则，
易知，为增函数，所以.
故选：D.
本题主要考查平面向量的运算及解三角形，构造目标表达式是求解的关键，涉及最值问题经常使用函数的单调性或基本不等式来求解.
8、B
【解析】
分别将两个不等式解出来即可
【详解】
由得
由得
所以“”是“”的必要不充分条件
故选：B
设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，若AÜB,则p是q的充分不必要条件，若AÝB，则p是q的必要不充分条件，若A=B，则p是q的充要条件.
9、C
【解析】
分析：根据空间四边形在正方体前后面、上下面和左右面上的正投影，即可得到正确的选项.
详解：空间四边形在正方体前后面上的正投影是A选项；
空间四边形在正方体前上下上的正投影是B选项；
空间四边形在正方体左右面上的正投影是D选项，故选C.
点睛：本题主要考查了平行投影和平行投影的作法的应用问题，主要同一图形在不同面上的投影不一定相同，属于基础题，着重考查了空间推理能力.
10、C
【解析】
分析：根据四种命题的关系进行判断A、B，根据或命题的真值表进行判断C，由全称命题为真的条件求D中参数的值．
详解：命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，A正确；若命题，则，B正确； 若为真命题，则，只要有一个为真，C错误；若命题为真命题，则，，D正确．
故选C．
点睛：判断命题真假只能对每一个命题进行判断，直到选出需要的结论为止．命题考查四种命题的关系，考查含逻辑连接词的命题的真假以及全称命题为真时求参数的取值范围，掌握相应的概念是解题基础．
11、A
【解析】
先根据左加右减的性质进行平移，再根据横坐标伸长到原来的2倍时的值变为原来的倍，得到答案．
【详解】
解：向左平移个单位，即以代，得到函数，
再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以代，得到函数：．
故选：A．
本题主要考查三角函数的变换，属于基础题．
12、D
【解析】
令则t>0,且，
∵，∵，故选D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
由题意，得x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax(a＞)有最大值－1，f′(x)＝－a，由f′(x)＝0得x＝∈(0,2)，且x∈(0，)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，x∈(，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，则f(x)max＝f()＝ln－1＝－1，解得a＝1.
14、
【解析】
试题分析：,.

考点：分段函数求值．
15、
【解析】
由在抛物线C上,结合抛物线的定义,即可求抛物线C的方程.
【详解】
当时, ,解得,则抛物线C的方程为: ;
当时, ,解得,则抛物线C的方程为: ;
故答案为: .
本题考查利用抛物线的定义求抛物线的标准方程,难度较易.
16、
【解析】
试题分析：口袋中五个球分别记为从中摸出两球的方法有：共种，其中颜色相同的有共四种，有古典概率的求法可知．
考点：古典概率的求法．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】
（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝60°，BB1＝3，AB＝1，BC＝1．能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．
（2）点M是棱AC的中点，B1M在平面ABC的射影为直线MB，则∠B1MB就是直线B1M与平面ABC所成的角的大小，由此能求出直线B1M与平面ABC所成的角的大小．
【详解】
（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
∠ABC＝60°，BB1＝3，AB＝1，BC＝1．
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：
V12．
（2）点M是棱AC的中点，
B1M在平面ABC的射影为直线MB，
则∠B1MB就是直线B1M与平面ABC所成的角的大小，
tan∠B1MB，
∴∠B1MB＝arctan．
∴直线B1M与平面ABC所成的角的大小为arctan．

本题考查三棱锥的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18、．
【解析】
分析：由列方程求出a和b的值，求得矩阵A,|A|及,由即可求得.
详解：依题意得
所以
所以A＝．
因为|A|＝＝1×(－1)－0×2＝－1，
所以＝．
点睛：本题主要考查矩阵的变换和逆矩阵的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.
19、（1）直线的参数方程为（为参数），圆的标准方程为：.（2）或.
【解析】
（1）根据直线参数方程的几何意义得出参数方程，根据极坐标与直角坐标的关系化简得出圆的标准方程；（2）把直线l的参数方程代入圆的标准方程，根据参数的几何意义及根与系数的关系得出α．
【详解】
（1）因为直线过点，且倾斜角为，
所以直线的参数方程为（为参数），
因为圆的极坐标方程为，
所以，
所以圆的普通方程为：，
圆的标准方程为：.
（2）直线的参数方程为，代入圆的标准方程得，
整理得，
设、两点对应的参数分别为、，则恒成立， ，=-4<0
所以，.
因为，所以或.
本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
20、 (1) (2)
【解析】
(1)可先将写成分段函数的形式，从而求得解集；
（2）等价于，令，故即可，从而求得答案.
【详解】
（1）根据题意可知：，当时，即，
解得；当时，即，解得；当时，即
，解得.综上，不等式的解集为；
（2）等价于，令，故
即可，①当时，，此时；②当
时，，此时；当时，，
此时；综上所述，，故，即实数的取值范
围是.
本题主要考查绝对值不等式的求解，含参恒成立问题，意在考查学生的分析能力，计算能力及分类讨论能力，难度中等.
21、（1）；（2）.
【解析】
分析：（1）先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，再做出的值，得到线性回归方程．
（3）把所给的的值代入线性回归方程，求出的值，这里的的值是一个预报值，或者说是一个估计值．
详解：
（1）由题目条件可计算出，，
，
，
故y关于x的线性回归方程为.
（2）当时，，
据此估计广告费用支出为10万元时销售收入为万元.
点睛：本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是看出这组变量是线性相关的，进而正确运算求出线性回归方程的系数，属基础题．
22、（1）；（2）存在，.
【解析】
（1）根据双曲线为等轴双曲线，可求出渐近线方程，再根据点为过作一条渐近线的垂线的垂足，以及，可求出双曲线中的值，借助双曲线中，，的关系，得到双曲线方程．根据直线的方向向量以及点的坐标，可得直线的方程，与双曲线方程联立，解出，的值，代入中，即可求出的值．
（2）先假设存在定点，使得为常数，设出直线的方程，与双曲线方程联立，解，，用含的式子表示，再代入中，若为常数，则结果与无关，求此时的值即可．
【详解】
（1）设右焦点坐标为，，
双曲线为等轴双曲线，则渐近线为，
由对称性可知，右焦点到两条渐近线距离相等，且．
为等腰直角三角形，则由
又等轴双曲线中，
等轴双曲线的方程为：.
设，，，为双曲线与直线的两个交点，
，直线的方向向量为，
直线的方程为，即
代入双曲线的方程，可得，
，，
而
（2）假设存在定点，使得为常数，
其中，，，，为双曲线与直线的两个交点的坐标，
①当直线与轴不垂直是，设直线的方程为，
代入双曲线的方程，可得，
由题意可知，，则有，，

要使是与无关的常数，当且仅当，此时，.
②当直线与轴垂直时，可得点，，
若，亦为常数.
综上可知，在轴上是否存在定点，使得为常数．
本题考查等轴双曲线的方程、直线与双曲线位置关系中定点、定值问题，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的综合应用，对运算求解能力的要求较高．