2025届内蒙集宁二中高二下数学期末学业水平测试试题含解析.doc

2025届内蒙集宁二中高二下数学期末学业水平测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．若、、，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3． “”是双曲线的离心率为（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．即不充分也不必要条件 D．充分不必要条件
4．某地区空气质量检测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.9，连续两天为优良的概率是0.75，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量也为优良的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是( )

A． B． C． D．
6．下列说法正确的是( )
A．若命题均为真命题，则命题为真命题
B．“若，则”的否命题是“若”
C．在，“”是“”的充要条件
D．命题“”的否定为“”
7．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
8．既是偶函数又在区间上单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
9．.已知为等比数列，，则．若为等差数列，，
则的类似结论为（　）
A． B．
C． D．
10．函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示．则函数在内有几个极小值点（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知集合，，那么集合=
A． B． C． D．
12．已知函数存在零点,则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的最小正周期是__________．
14．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________.
15．对于大于1的自然数n的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：，，，…，仿此，若的“分裂数”中有一个是49，则n的值为________.
16．已知，且，则的最小值是______________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）栀子原产于中国，喜温暖湿润、阳光充足的环境，较耐寒.叶，四季常绿；花，芳香素雅.绿叶白花，格外清丽.某地区引种了一批栀子作为绿化景观植物，一段时间后，从该批栀子中随机抽取棵测量植株高度，并以此测量数据作为样本，得到该样本的频率分布直方图（单位：），其中不大于（单位：）的植株高度茎叶图如图所示.

(1)求植株高度频率分布直方图中的值；
(2)在植株高度频率分布直方图中，同一组中的数据用该区间的中点值代表，植株高度落入该区间的频率作为植株高度取该区间中点值的频率，估计这批栀子植株高度的平均值.
18．（12分）某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近个月广告投入量（单位：万元）和收益（单位：万元）的数据如下表：
月份

广告投入量

收益

他们分别用两种模型①，②分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：

（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
（Ⅱ）残差绝对值大于的数据被认为是异常数据，需要剔除：
（ⅰ）剔除异常数据后求出（Ⅰ）中所选模型的回归方程；
（ⅱ）若广告投入量时，该模型收益的预报值是多少？
附：对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
å，.
19．（12分）如图，一张坐标纸上已作出圆及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；
（2）若直线与轨迹交于、两点,且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围．
20．（12分）在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：
（1）圆C的直角坐标方程；
（2）圆C的极坐标方程．
21．（12分）若集合具有以下性质：（1）且；（2）若，，则，且当时，，则称集合为“闭集”.
（1）试判断集合是否为“闭集”，请说明理由；
（2）设集合是“闭集”，求证：若，，则；
（3）若集合是一个“闭集”，试判断命题“若，，则”的真假，并说明理由.
22．（10分）已知复数，为虚数单位，且复数为实数．
（1）求复数；
（2）在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
令分离常数，构造函数，利用导数研究的单调性和极值，结合与有三个交点，求得的取值范围.
【详解】
方程可化为，令，有，
令可知函数的增区间为，减区间为、，
则，，
当时，，则若函数有3个零点，实数的取值范围为．故选A.
本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
2、D
【解析】
对，利用分析法证明；对，不式等两边同时乘以一个正数，不等式的方向不变，乘以0再根据不等式是否取等进行考虑；对，考虑的情况；对，利用同向不等式的可乘性.
【详解】
对，，因为大小无法确定，故不一定成立；
对，当时，才能成立，故也不一定成立；
对，当时不成立，故也不一定成立；
对，，故一定成立.
故选：D.
本题考查不等式性质的运用，考查不等式在特殊情况下能否成立的问题，考查思维的严谨性.
3、D
【解析】
将双曲线标准化为,由于离心率为可得,在根据充分、必要条件的判定方法,即可得到结论.
【详解】
将双曲线标准化则根据离心率的定义可知本题中应有,则可解得,因为可以推出;反之成立不能得出.
故选:.
本题考查双曲的离心率公式,考查充分不必要条件的判断,双曲线方程的标准化后离心率公式的正确使用是解答本题的关键,难度一般.
4、A
【解析】
设“某天的空气质量为优良”是事件，“随后一天的空气质量为优良”是事件，根据条件概率的计算公式，即可得出结果.
【详解】
设“某天的空气质量为优良”是事件，“随后一天的空气质量为优良”是事件，
由题意可得，，
所以某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量也为优良的概率为.
故选A
本题主要考查条件概率，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型.
5、B
【解析】
分析程序中两个变量和流程图可知，该算法为先计算后判断的直到型循环，模拟执行程序，即可得到答案.
【详解】
程序执行如下

终止条件判断

否

否

否

否

否

否

是
故当时，程序终止，所以判断框内应填入的条件应为.
故选：B.
本题考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的类型和终止循环的条件是解题关键
6、D
【解析】
利用复合命题的真假四种命题的逆否关系以及命题的否定，充要条件判断选项的正误即可．
【详解】
对于A：若命题p，￢q均为真命题，则q是假命题，所以命题p∧q为假命题，所以A不正确；
对于B：“若，则”的否命题是“若，则”，所以B不正确；
对于C：在△ABC中， “”⇔“A+B=”⇔“A=-B”⇒sinA=cosB，
反之sinA=cosB，A+B=，或A=+B，“C=”不一定成立，
∴C=是sinA=cosB成立的充分不必要条件，所以C不正确；
对于D：命题p：“∃x0∈R，x02-x0-5＞0”的否定为￢p：“∀x∈R，x2-x-5≤0”，所以D正确．
故选D．
本题考查命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，四种命题的逆否关系，命题的否定等知识，是基本知识的考查．
7、B
【解析】
由分步计数原理得，可选方式有2×3＝6种．故选B．
考点：分步乘法计数原理．
8、D
【解析】
试题分析：根据函数和都是奇函数，故排除A，C；由于函数是偶函数，周期为，在上是减函数，在上是增函数，故不满足题意条件，即B不正确；由于函数是偶函数，周期为，且在上是减函数，故满足题意，故选D.
考点：余弦函数的奇偶性；余弦函数的单调性.
9、D
【解析】
根据等差数列中等差中项性质推导可得.
【详解】
由等差数列性质，有＝＝…＝2.易知选项D正确．
等差中项和等比中项的性质是出题的热点,经常与其它知识点综合出题.
10、A
【解析】
直接利用极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，再结合图像即可得出结论.
【详解】
因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，
由图得：导函数值先负后正的点只有一个，
故函数在内极小值点的个数是1.
故选：A
本题考查了极小值点的概念，需熟记极小值点的定义，属于基础题.
11、B
【解析】
直接进行交集的运算即可．
【详解】
∵M＝{0，1，2}，N＝{x|0≤x＜2}；
∴M∩N＝{0，1}．
故选：B．
本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，属于基础题．
12、D
【解析】
函数的零点就是方程的根，根据存在零点与方程根的关系，转化为两个函数交点问题，数形结合得到不等式，解得即可．
【详解】
函数存在零点，
等价于方程有解，
即有解，
令，则，
方程等价于与有交点，
函数恒过定点（0,0），
当时，与图象恒有交点，排除A，B ，C选项；
又当时，恰好满足时，
，此时与图象恒有交点，符合题意；
故选：D.
本题考查函数的零点与方程根的关系，此类问题通常将零点问题转化成函数交点问题，利用数形结合思想、分类讨论思想，求参数的范围，属于较难题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
直接利用余弦函数的周期公式求解即可．
【详解】
函数的最小正周期是：1．
故答案为1．
本题考查三角函数的周期的求法，是基本知识的考查．
14、
【解析】
试题分析：正四棱柱的高是4，体积是16，则底面边长为2，底面正方形的对角线长度为，所以正四棱柱体对角线的长度为，四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为．
考点：正四棱柱外接球表面积．
15、7
【解析】
n每增加1，则分裂的个数也增加1个，易得是从3开始的第24个奇数，利用等差数列求和公式即可得到.
【详解】
从到共用去奇数个数为，而是从3开始的第24个奇
数，当时，从到共用去奇数个数为个，当时，从到共用去奇数个
数为个，所以.
故答案为：7
本题考查新定义问题，归纳推理，等差数列的求和公式，考查学生的归纳推理能力，是一道中档题.
16、
【解析】
有错，可以接着利用基本不等式解得最小值.
【详解】
∵，∴，
，当且仅当时不等式取等号，
∴，故的最小值是．
本题主要考查利用基本不等式求最值的问题，巧用“”，是解决本题的关键.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）1.60.
【解析】
（1）根据茎叶图可得频率，从而可计算.
（2）利用组中值可计算植株高度的平均值.
【详解】
（1）由茎叶图知，.
由频率分布直方图知
，
所以.
（2）这批栀子植株高度的平均值的估计值
.
本题考查频率的计算及频率分布直方图的应用，属于基础题.
18、（1）应该选择模型①，理由见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）
【解析】
（1）结合题意可知模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，即可。（2）（i）利用回归直线参数计算方法，分别得到，建立方程，即可。（ii）把代入回归方程，计算结果，即可。
【详解】
（Ⅰ）应该选择模型①，因为模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明模
型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.
（Ⅱ）（ⅰ）剔除异常数据，即月份为的数据后，得
；
.
；
.
；
，
所以关于的线性回归方程为：.
（ⅱ）把代入回归方程得：，
故预报值约为万元.
本道题考查了回归方程的计算方法，难度中等。
19、（1）；（2）
【解析】
分析：（1）根据垂直平分线的性质可得的轨迹是以为焦点的椭圆，且，可得，的轨迹的方程为；（2）与以为直径的圆相切，则到的距离：，即， 由，消去，得，由平面向量数量积公式可得，由三角形面积公式可得，换元后，利用单调性可得结果.
详解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为，
∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=＞|EP|，
∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且，
∴，∴M的轨迹C的方程为．
（2）与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到的距离：
，即，
由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，
∵直线与椭圆交于两个不同点，
∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，
又，∴，∴，

设μ=k4+k2，则，∴，…10分∵S△AOB关于单调递增，∴，
∴△AOB的面积的取值范围是
点睛：本题主要考查利用定义求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.
20、（1）．（2）．
【解析】
试题分析：利用消去参数可得圆的直角坐标方程，再利用公式可把直角坐标方程化为极坐标方程.
试题解析：（1）圆的直角坐标方程为． 5分
（2）把代入上述方程，得圆的极坐标方程为． 10分
考点：参数方程与普通方程的互化，普通方程与极坐标方程的互化.
21、（1）否，理由见详解；（2）证明见详解；（3）真命题，理由见详解
【解析】
（1）利用闭集的定义判断；
（2）利用闭集的定义证明；
（3）利用闭集的定义，先说明中均不含0，1时，，再说明，进而得出，，从而有，可得到，，即得出.
【详解】
解：（1），
∴集合不是“闭集”，
（2）证明：∵集合是“闭集”，
，
故；
（3）若集合是一个“闭集”，任取，
若中有0或1时，显然；
若中均不含0，1，由定义可知：，
，

由（2）知，，即．同理可得，
若或，则显然，
若且，则，
，
，
，
故命题为真命题．
本题考查了集合的化简与运算的定义及学生对新定义的接受能力，属于中档题．
22、（1）；（2）.
【解析】
（1）将代入，利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，由复数的虚部为零求出实数的值，可得出复数；
（2）将复数代入复数，并利用复数的乘方法则将该复数表示为一般形式，由题意得出实部与虚部均为正数，于此列不等式组解出实数的取值范围.
【详解】
（1），，
由于复数为实数，所以，，解得，因此，；
（2）由题意，
由于复数对应的点在第一象限，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
本题考查复数的基本概念，以及复数的几何意义，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部，并利用实部与虚部来求解，考查运算求解能力，属于中等题.