2025届安徽省东至县第三中学三年数学高二第二学期期末调研模拟试题含解析.doc

2025届安徽省东至县第三中学三年数学高二第二学期期末调研模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积,求其直径的一个近似公式,人们还用过一些类似的近似公式,根据判断,下列近似公式中最精确的一个是（ ）
A． B． C． D．
2．在一次试验中，测得的四组值分别是，，，，则与之间的线性回归方程为( )
A． B． C． D．
3．四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（ ）
A． B． C． D．
4．由2，3，5，0组成的没有重复数字的四位偶数的个数是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．14
5．设p、q是两个命题，若是真命题，那么（ ）
A．p是真命题且q是假命题 B．p是真命题且q是真命题
C．p是假命题且q是真命题 D．p是假命题且q是假命题
6．已知，，，，且满足，，，对于，，，四个数的判断，给出下列四个命题：①至少有一个数大于1；②至多有一个数大于1；③至少有一个数小于0；④至多有一个数小于0.其中真命题的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
7．已知，，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A． B． C． D．
9．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下
零件数（个）
2
3
4
5
加工时间（分钟）
26

49
54
根据上表可得回归方程，则实数的值为（ ）
A．37.3 B．38 C．39 D．39.5
10．现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为（）
A． B． C． D．
11．设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=
A．(-∞，1) B．(-2，1)
C．(-3，-1) D．(3，+∞)
12．在用数学归纳法证明:“凸多边形内角和为”时，第一步验证的等于（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，正方体中，E为线段的中点，则AE与所成角的余弦值为____．

14．已知，，，则向量与向量的夹角为_______________.
15．对于大于1的自然数n的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：，，，…，仿此，若的“分裂数”中有一个是49，则n的值为________.
16．将一颗骰子抛掷两次，用表示向上点数之和，则的概率为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若存在两个极值点,,证明:.
18．（12分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，∥，⊥，，⊿是正三角形。

（1）试在棱上找一点，使得∥平面；
（2）若平面⊥，在（1）的条件下试求二面角的正弦值。
19．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率。
（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.
20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，单位圆上存在两点，满足均与轴垂直，设与的面积之和记为．

若，求的值；
若对任意的，存在，使得成立，且实数使得数列为递增数列，其中求实数的取值范围．
21．（12分）某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，箱内有一个“”号球，两个“”号球，三个“”号球、四个无号球，箱内有五个“”号球，五个“”号球，每次摸奖后放回，每位顾客消费额满元有一次箱内摸奖机会，消费额满元有一次箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“”号球奖元，“”号球奖元，“”号球奖元，摸得无号球则没有奖金．
（1）经统计，顾客消费额服从正态分布，某天有位顾客，请估计消费额（单位：元）在区间内并中奖的人数.（结果四舍五入取整数）
附：若，则，.
（2）某三位顾客各有一次箱内摸奖机会，求其中中奖人数的分布列.
（3）某顾客消费额为元，有两种摸奖方法，
方法一：三次箱内摸奖机会；
方法二：一次箱内摸奖机会.
请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.
22．（10分）已知矩阵，向量.
（1）求的特征值、和特征向量、；
（2）求的值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
利用球体的体积公式得，得出的表达式，再将的近似值代入可得出的最精确的表达式.
【详解】
由球体的体积公式得，，，
，，，与最为接近，故选C.
本题考查球体的体积公式，解题的关键在于理解题中定义，考查分析问题和理解问题的能力，属于中等题．
2、D
【解析】
根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程．
【详解】

∴这组数据的样本中心点是
把样本中心点代入四个选项中，只有成立，
故选D ．
本题考查求线性回归方程，一般情况下是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，但是对于一个选择题，还有它特殊的加法．
3、A
【解析】
通过分析每人有4种借阅可能，即可得到答案.
【详解】
对于甲来说，有4种借阅可能，同理每人都有4种借阅可能，根据乘法原理，故共
有种可能，答案为A.
本题主要考查乘法分步原理，难度不大.
4、B
【解析】
根据个位是和分成两种情况进行分类讨论，由此计算出所有可能的没有重复数字的四位偶数的个数.
【详解】
当0在个位数上时，有个；当2在个位数上时，首位从5，3中选1，有两种选择，剩余两个数在中间排列有2种方式，所以有个所以共有10个．
故选：B
本小题主要考查简单排列组合的计算，属于基础题.
5、C
【解析】
先判断出是假命题，从而判断出p,q的真假即可.
【详解】
若是真命题，则是假命题，
则p,q均为假命题，故选D.
该题考查的是有关复合命题的真值表的问题，在解题的过程中，首先需要利用是真命题，得到是假命题，根据“或”形式的复合命题真值表求得结果.
6、A
【解析】
根据对，，，取特殊值，可得②，④不对，以及使用反证法，可得结果.
【详解】
当，时，
满足条件，故②，④为假命题；
假设，
由，，得，
则，
由，所以矛盾，
故①为真命题，同理③为真命题．
故选：A
本题主要考查反证法，正所谓“正难则反”，熟练掌握反证法的证明方法，属基础题.
7、C
【解析】
由两角和的正切公式得出，结合平方关系求出，即可得出的值.
【详解】

，即
由平方关系得出，解得：

故选：C
本题主要考查了两角和的正切公式，平方关系，属于中档题.
8、A
【解析】
根据三视图可知几何体为三棱锥，根据棱锥体积公式求得结果.
【详解】
由三视图可知，几何体为三棱锥
三棱锥体积为：
本题正确选项：
本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图确定几何体为三棱锥，且通过三视图确定三棱锥的底面和高.
9、C
【解析】
求出，代入回归方程，即可得到实数的值。
【详解】
根据题意可得：,，
根据回归方程过中心点可得：，解得：；
故答案选C
本题主要考查线性回归方程中参数的求法，熟练掌握回归方程过中心点是关键，属于基础题。
10、C
【解析】
先排剩下5人，再从产生的6个空格中选3个位置排甲、乙、丙三人，即，选C.
11、A
【解析】
先求出集合A，再求出交集．
【详解】
由题意得，，则．故选A．
本题考点为集合的运算，为基础题目．
12、B
【解析】
多边形的边数最少是，即三角形，即可得解；
【详解】
解：依题意，因为多边形的边数最少是，即三角形，
用数学归纳法证明:“凸多边形内角和为”时，第一步验证的等于时，是否成立，
故选：
本题主要考查数学归纳法的基本原理，属于简单题. 用数学归纳法证明结论成立时，需要验证 时成立，然后假设假设时命题成立，证明时命题也成立即可，对于第一步，要确定，其实就是确定是结论成立的最小的.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、；
【解析】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE与CD1所成角的余弦值．
【详解】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则A（2，0，0），E（2，2，1），C（0，2，0），D1（0，0，2），
（0，2，1），（0，﹣2，2），
设AE与CD1所成角为θ，
则cosθ，
∴AE与CD1所成角的余弦值为．
故答案为．

本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
14、
【解析】
由条件利用两个向量垂直的性质,两个向量的数量积的定义，求得向量与向量的夹角的余弦值,可得向量与向量的夹角的值.
【详解】
由题意可得，即,
为向量与向量的夹角），
求得，故答案为.
本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
15、7
【解析】
n每增加1，则分裂的个数也增加1个，易得是从3开始的第24个奇数，利用等差数列求和公式即可得到.
【详解】
从到共用去奇数个数为，而是从3开始的第24个奇
数，当时，从到共用去奇数个数为个，当时，从到共用去奇数个
数为个，所以.
故答案为：7
本题考查新定义问题，归纳推理，等差数列的求和公式，考查学生的归纳推理能力，是一道中档题.
16、
【解析】
分析：利用列举法求出事件“”包含的基本事件个数，由此能出事件“”的概率．
详解：将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，用表示向上点数之和，则基本数值总数，
事件“”包含的基本事件有：
共6个，
∴事件“”的概率．
即答案为.
点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (Ⅰ)切线方程为y=0；(Ⅱ)证明见解析
【解析】
（Ⅰ）求出当k=2时的函数的导数，求得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程，可得切线方程；
（Ⅱ）由题意存在两个极值点,,求导令导函数得0可得,，将之代入转化成证明，再由函数的单调性即可证明.
【详解】
(Ⅰ)当k=2时,,即有f(1)=0，
所以,f′(1)=0.
所以切线方程为y=0；
(Ⅱ)因为，
存在两个极值点,,
所以,是的根，
设>，,
所以,，
，解得，
因为

，
因为，，
，
即证，
即证
又，
则转化为，
即证，
由(Ⅰ)可知,当k=2时,,
在（0，+∞）单调递减，
而，
因为，
，
即恒成立，
故得证.
本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数证明不等式恒成立，证明不等式恒成立通常运用转化思想，本题将不等式转化为已知函数求单调性，在利用导数单调性进行证明，属于难题.
18、（1）为边的中点；（2）.
【解析】
(1)由 平面得到∥，在底面中,根据关系确定M为AB中点.
(2)取的中点，的中点，接可证明∠为二面角的平面角，在三角形中利用边关系得到答案.
【详解】
解：(1)因为∥平面,,
平面平面,所以∥由题设可知点为边的中点
（2）平面⊥平面,平面平面,取的中点,连接,在正三角形中为则⊥,由两平面垂直的性质可得⊥平面.取的中点连接可证明∠为二面角的平面角.设，在直角三角形中，所以为所求
本题考查了线面平行，二面角的计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
19、（1） （2）见解析
【解析】
（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，计算即得
(II)由题意知X可取的值为：.利用超几何分布概率计算公式
得X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P

进一步计算X的数学期望.
试题解析：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，则
(II)由题意知X可取的值为：.则

因此X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P

X的数学期望是
=
【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用超几何分布的概率公式.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.
20、（1）或（2）
【解析】
（1）运用三角形的面积公式和三角函数的和差公式，以及特殊角的函数值，可得所求角；
（2）由正弦函数的值域可得的最大值，再由基本不等式可得的最大值，可得的范围，再由数列的单调性，讨论的范围，即可得到的取值范围．
【详解】
依题意，可得

，
由，得，
又，所以．
由得
因为，所以，所以，
当时，，
（当且仅当时，等号成立）
又因为对任意，存在，使得成立，
所以，即，解得，
因为数列为递增数列，且，
所以，从而，
又，所以，
从而，
又，
①当时，，从而，
此时与同号，
又，即，
②当时，由于趋向于正无穷大时，与趋向于相等，从而与趋向于相等，即存在正整数，使，从而，
此时与异号，与数列为递增数列矛盾，
综上，实数的取值范围为．
本题主要考查了三角函数的定义，三角函数的恒等变换，以及不等式恒成立，存在性问题解法和数列的单调性的判断和运用，试题综合性强，属于难题，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力．
21、 (1) 中奖的人数约为人.
(2)分布列见解析.
(3) 这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大.
【解析】
分析：（1）依题意得，，得，消费额在区间内的顾客有一次箱内摸奖机会，中奖率为，人数约，可得其中中奖的人数；（2）三位顾客每人一次箱内摸奖中奖率都为，三人中中奖人数服从二项分布，，，从而可得分布列；（3）利用数学期望的计算公式算出两种方法所得奖金的期望值即可得出结论.
详解：（1）依题意得，，
得，消费额在区间内的顾客有一次箱内摸奖机会，中奖率为
人数约人
其中中奖的人数约为人
（2）三位顾客每人一次箱内摸奖中奖率都为，
三人中中奖人数服从二项分布，，
故的分布列为

（或）
（或）
（或）
（或）
（3）箱摸一次所得奖金的期望为
箱摸一次所得奖金的期望为
方法一所得奖金的期望值为，
方法二所得奖金的期望值为，
所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：
①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；
②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；
③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．
22、 (1) 当时，解得,当时，解得;(2)见解析.
【解析】
分析：（1）先根据特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；
（2）根据矩阵A的特征多项式求出矩阵A的所有特征值为3和-1，然后根据特征向量线性表示出向量，利用矩阵的乘法法则求出，从而即可求出答案.
详解（1）矩阵的特征多项式为，
令，解得，，
当时，解得；
当时，解得.
(2)令，得，求得.
所以
点睛：考查学生会利用二阶矩阵的乘法法则进行运算，会求矩阵的特征值和特征向量.