2025届湖北省武汉市青山区数学高二第二学期期末复习检测模拟试题含解析.doc

2025届湖北省武汉市青山区数学高二第二学期期末复习检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在一次期中考试中，数学不及格的人数占，语文不及格占，两门都不及格占，若一名学生语文及格，则该生数学不及格的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A． B． C． D．
3．将函数的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为
A． B． C．0 D．
4．甲、乙两人进行乒乓球比赛，假设每局比赛甲胜的概率是0.6，乙胜的概率是0.4.那么采用5局3胜制还是7局4胜制对乙更有利？（ ）
A．5局3胜制 B．7局4胜制 C．都一样 D．说不清楚
5．二项式展开式中的常数项为（ ）
A． B．
C． D．
6．若样本数据的均值与方差分别为和，则数据的均值与方差分别为（ ）
A．， B． C． D．
7．已知为双曲线：右支上一点，为其左顶点，为其右焦点，满足，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：

根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为的高三男生体重为（ ）
A． B． C． D．
9．设随机变量X服从正态分布，若，则=
A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.85
10．某体育彩票规定: 从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2 个连续的号，从30到36个号中选出1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为( )
A．2000元 B．3200 元 C．1800元 D．2100元
11．已知函数和都是定义在上的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
12．将个不同的小球放入个盒子中，则不同放法种数有（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．用数学归纳法证明时，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是__________．
14．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ．

15．已知抛物线的方程为， 为坐标原点， ， 为抛物线上的点，若为等边三角形，且面积为，则的值为__________．
16．由抛物线y＝x2，直线x＝1，x＝3和x轴所围成的图形的面积是______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在长方体中，，，，是的中点.

（1）求四棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角形函数值表示）.
18．（12分）假设关于某设备的使用年限(年)和所支出的年平均维修费用(万元)(即维修费用之和除以使用年限),有如下的统计资料：

(1)求关于的线性回归方程；
(2)估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是多少?
参考公式：
19．（12分）已知四棱锥的底面是正方形，底面.

（1）求证：直线平面；
（2）当的值为多少时，二面角的大小为？
20．（12分）某技术人员在某基地培育了一种植物,一年后,该技术人员从中随机抽取了部分这种植物的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为)进行统计,绘制了如下频率分布直方图,已知抽取的样本植物高度在内的植物有8株,在内的植物有2株.

(Ⅰ)求样本容量和频率分布直方图中的,的值;
(Ⅱ)在选取的样本中,从高度在内的植物中随机抽取3株,设随机变量表示所抽取的3株高度在内的株数,求随机变量的分布列及数学期望;
(Ⅲ)据市场调研,高度在内的该植物最受市场追捧.老王准备前往该基地随机购买该植物50株.现有两种购买方案,方案一:按照该植物的不同高度来付费,其中高度在内的每株10元,其余高度每株5元;方案二:按照该植物的株数来付费,每株6元.请你根据该基地该植物样本的统计分析结果为决策依据,预测老王采取哪种付费方式更便宜?
21．（12分）市某机构为了调查该市市民对我国申办年足球世界杯的态度，随机选取了位市民进行调查，调查结果统计如下：

支持
不支持
合计
男性市民

女性市民

合计

（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；
（2）利用（1）完成的表格数据回答下列问题：
（i）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关；
（ii）已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有位退休老人，其中位是教师，现从这位退休老人中随机抽取人，求至多有位老师的概率.
附：，其中.

22．（10分）已知函数，且函数在和处都取得极值．
（1）求，的值；
（2）求函数的单调递增区间．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
记“一名学生语文及格”为事件A，“该生数学不及格”为事件B，所求即为，根据条件概率的计算公式，和题设数据，即得解.
【详解】
记“一名学生语文及格”为事件A，“该生数学不及格”为事件B，所求即为：

故选：A
本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，实际应用，数学运算的能力，属于基础题.
2、A
【解析】
由题意可得： ，
由二项式系数的性质可得：奇数项的二项式系数和为 .
本题选择A选项.
点睛：1．二项展开式的通项是展开式的第k＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制．
2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．
3．二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系．
3、B
【解析】
将函数的图象沿轴向右平移个单位后，
得到函数的图象对应的函数解析式为
再根据所得函数为偶函数，可得
故的一个可能取值为：
故选B．
4、A
【解析】
分别计算出乙在5局3胜制和7局4胜制情形下对应的概率，然后进行比较即可得出答案.
【详解】
当采用5局3胜制时，乙可以3:0，3:1，3:2战胜甲，故乙获胜的概率为：;当采用7局4胜制时，乙可以4:0，4:1，4:2，4:3战胜甲，故乙获胜的概率为：，显然采用5局3胜制对乙更有利，故选A.
本题主要考查相互独立事件同时发生的概率，意在考查学生的计算能力和分析能力，难度中等.
5、B
【解析】
求出二项展开式的通项，使得的指数为，即可得出常数项.
【详解】
通项为

常数项为
故选：B
本题主要考查了利用二项式定理求常数项，属于基础题.
6、D
【解析】
直接根据均值和方差的定义求解即可．
【详解】
解：由题意有，，
则，
∴新数据的方差是，
故选：D．
本题主要考查均值和方差的求法，属于基础题．
7、D
【解析】
由题意可得为等边三角形，求出点的坐标，然后代入双曲线中化简，然后求出即可
【详解】
由题意可得，
由，可得为等边三角形
所以有，代入双曲线方程可得
结合化简可得，可解得
因为，所以
所以点到直线的距离为
故选：D
本题考查的是等边三角形的性质，双曲线的方程及化简运算能力，属于中档题.
8、B
【解析】
试题分析：由上表知，，所以，当时，
，所以男生体重约为，故选B．
考点：线性回归方程．
9、A
【解析】
先计算，再根据正态分布的对称性得到
【详解】
随机变量X服从正态分布

故答案选A
本题考查了正态分布的概率计算，正确利用正态分布的对称性是解题的关键，属于常考题型.
10、D
【解析】
第步从到中选个连续号有种选法；第步从到中选个连续号有种选法；第步从到中选个号有种选法.由分步计数原理可知：满足要求的注数共有注,故至少要花,故选D.
11、B
【解析】
由和都是定义在上的偶函数，可推导出周期为4，而，即可计算.
【详解】
因为都是定义在上的偶函数，所以，即，又为偶函数，所以，所以函数周期，
所以，故选B.
本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，利用周期求函数值，属于中档题.
12、B
【解析】
试题分析：采用分步计数原理来求解：分3步，每一步4种方法， 不同方法种数有种
考点：分步计数原理

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
分析：根据等式左边的特点，各项数字先递增再递减，分别写出与的结论，即可得到答案.
详解：根据等式左边的特点，各项数字先递增再递减，得
时，左边
时，左边
比较两式，等式左边应添加的式子是
故答案为
点睛：本题主要考查数学归纳法，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子.
14、．
【解析】
试题分析：由三视图可得几何体为正方体挖去一个圆锥：则：
，．
得体积为：
考点：三视图与几何体的体积．
15、2
【解析】
设，，
∵，
∴．
又，，
∴，即．
又、与同号，
∴．
∴，即．
根据抛物线对称性可知点，关于轴对称，
由为等边三角形，不妨设直线的方程为，
由，解得，
∴．
∵的面积为，
∴，
解得，∴．
答案：2
点睛：本题考查抛物线性质的运用，解题的关键是根据条件先判断得到点A,B关于x轴对称，然后在此基础上得到直线直线（或）的方程，通过解方程组得到点（或A）的坐标，求得等边三角形的边长后，根据面积可得．
16、
【解析】
由题意，作出图形，确定定积分，即可求解所围成的图形的面积．
【详解】
解析：如图所示，S＝x2dx＝1＝ (33－13)＝.

本题主要考查了定积分的应用，其中根据题设条件，作出图形，确定定积分求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）先求出,由此能求出四棱锥的体积。
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的大小。
【详解】
（1）
在长方体中，，，，是的中点.
，
四棱锥的体积
（2）
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则
，，，，
，，设异面直线与所成角为，
则，

异面直线与所成角为
本题考查了棱锥的体积公式，解题的关键是熟记棱锥体积公式，同时也考查了用空间直角坐标系求立体几何中异面直线所成的角，此题需要一定的计算能力，属于中档题。
18、（1）；（2）万元
【解析】
（1）先求出样本中心点及代入公式求得，再将代入回归直线求得的值，可得线性回归方程；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝10，求得y值得答案．
【详解】
（1）由题表数据可得，
由公式可得，
即回归方程是.
（2）由（1）可得，当时，；
即，使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是万元.
本题考查线性回归方程，考查计算能力，是基础题．
19、 (1)证明见解析；(2)1.
【解析】
分析：（1）由线面垂直的性质可得，由正方形的性质可得，由线面垂直的判定定理可证平面；（2）设，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，分别利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的法向量与平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式列方程可得结果.
详解：（1）证明：∵平面，平面，∴，
∵四边形是正方形，∴，，∴平面.
（2）解：设，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，为计算方便，不妨设，则，，，，
则，，.
设平面的法向量为，则，
令，则，，∴.
设平面的法向量为，，
令，又，则，∴.
要使二面角的大小为，必有，
∴，∴，∴.
即当时，二面角的大小为.

点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
20、 (Ⅰ),，；(Ⅱ)分布列见解析，；(Ⅲ)方案一付费更便宜.
【解析】
(Ⅰ) 由题目条件及频率分布直方图能求出样本容量n和频率分布直方图中的x，y．
(Ⅱ) 由题意可知，高度在[80，90）内的株数为5，高度在[90，100]内的株数为2，共7株．抽取的3株中高度在[80，90）内的株数X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
(Ⅲ)根据(Ⅰ)所得结论，分别计算按照方案一购买应付费和按照方案二购买应付费，比较结果即可得按照方案一付费更便宜.
【详解】
(Ⅰ) 由题意可知，
样本容量,
，
.
(Ⅱ)由题意可知,高度在[80,90)内的株数为5,高度在[90,100]内的株数为2，
共7株.抽取的3株中高度在[80,90)内的株数X的可能取值为1,2,3,
则，
，
,
∴X的分布列为：
X
1
2
3
P

故.
(Ⅲ)根据(Ⅰ)所得结论，高度在内的概率为，
按照方案一购买应付费元，
按照方案二购买应付费元，
故按照方案一付费更便宜.
本题考查频率分布直方图、分布列和数学期望，考查能否根据频率分布直方图得出每一组的概率以及一组的数据计算总体，求随机变量的分布列的主要步骤：①明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；②求每一个随机变量取值的概率；③列成表格，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中等题.
21、（1）见解析；（2）（i）能，（ii）.
【解析】
（1）根据2×2列联表性质填即可；
（2）求出，与临界值比较，即可得出结论；
（3）根据排列组合的性质，随机抽取3人，即可求出至多有1位老师的概率．
【详解】
（1）

支持
不支持
合计
男性市民

女性市民

合计

（2）（i）因为的观测值 ，
所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关.
（ii）记人分别为，，，，，其中，表示教师，从人中任意取人的情况有种，其中至多有位教师的情况有种，
故所求的概率.
本题主要考查概率统计的相关知识，独立性检验知识的运用，考查概率的计算，属于中档题
22、 (1),；(2).
【解析】
(1)易得和为导函数的两个零点,代入计算即可求得.
(2)求导分析的解集即可.
【详解】
(1)∵.
∴,
∵函数在和处都取得极值,
故和为的两根.
故.
即,
(2)由(1)得
故
当,即时,
即,解得或.
∴函数的单调递增区间为.
本题主要考查了根据极值点求解参数的问题以及求导分析函数单调增区间的问题.需要根据题意求导,根据极值点为导函数的零点以及导函数大于等于0则原函数单调递增求解集即可.属于中档题.