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利用 “几何画板”辅助圆锥曲线的教学
沈卫忠 李 莉（江苏省锡山高级中学）
苏教版高中数学选修2-1圆锥曲线的情境很丰富，除了原人教版的平面截圆锥面、拉线得椭圆、拉链得双曲线等外，新增了章头图行星运动轨道及Dandlin双球发现椭圆，还有操作题和“几何画板”辅助圆锥曲线的教学.
一、用折纸折出圆锥曲线
例1.(选修2-1P.29第7题)准备一张圆形纸片(半径为R)，在圆内任取不同于圆心的一点F，将纸片折起，使圆周过点F，然后将纸展开，就得到一条折痕L(为了看清楚，可以把直线L画出来)，这样继续折下去，得到若干折痕.这些折痕的轮廓形成什么曲线？如何证明？
图1
【解析】折痕L画得多一点，效果还是很好的，学生会惊喜地发现，众多折痕就是一个椭圆的轮廓.
如图1，将圆周过点F的点记为F'，连结OF' 、FF'，设折痕所在直线L与OF'的交点为P，
PF'=PF，又PF'=R，且OF<R,
OP+OF=R>OF.
点P是以O、F为焦点，R为长轴的椭圆.
链接折出椭圆观察发现：直线L与椭圆只有一个交点P，联想直线与圆只有一个交点，称该直线L是圆的切线.若圆方程为，则切点为的切线方程为.若椭圆方程为，点可以证明切线L的方程为．
图2
例2.(选修2-1P.39第8题)在纸上画一个圆O(半径为R)，在圆外任取一个定点F，将纸片折起，使圆周过点F，然后将纸展开，就得到一条折痕L，这样继续折下去，得到若干折痕.这些折痕的轮廓形成什么曲线？如何证明？
【解析】同例1，折痕的轮廓形成双曲线(如图2)，
PF'=PF，|PF'-OF|=R，
|PF-OF|=R，又OF>R,
点P是以O、F为焦点，R为实轴的双曲线.
链接折出双曲线，直线L都与双曲线相切，若双曲线方程为，点可以证明切线L方程为．
例3.(选修2-1P.50第11题)将长方形纸片ABCD的一只角斜折，将纸片折起，使点A总是落在对边CD上，然后将纸展开，就得到一条折痕L，这样继续折下去，得到若干折痕.这些折痕的轮廓形成什么曲线？如何证明？
图3
【解析】同例1，折痕的轮廓形成抛物线(如图3)，过作，交直线L于P，连结AP，
AP=A'P,
点P是以A为焦点，DC为准线的抛物线.
链接折出抛物线，直线L都与形成的抛物线相切，若抛物线方程为，点可以证明切线L方程为．
二、用统一定义画圆锥曲线
例4.选修2-1P.51利用“几何画板”探究到定点与定直线距离比分别为0.5和2的轨迹是什么曲线，按下列简单画法，利用“几何画板”，可作出任意离心率的圆锥曲线.
图4
【画法】
1.如图4，圆锥曲线的轴直线H'A；
2.过H'作圆锥曲线的准线L；
3.H'A上取一个点F(圆锥曲线的焦点)；
4.滑块e(圆锥曲线的离心率)；
5.在直线H'A上任取点P'，度量P'H'记作d，并过P'作准线L的平行线L'；
6.计算ed并以F为圆心，d长为半径画圆，与直线L'交点为P和P"；
7.过P作准线的垂线，垂足为H，追踪点P、P"，隐藏辅助线，拉动点P'(构造点P'的动画)，则动点P到定点F的距离与定直线L的距离为常数e；
8.根据需要调整离心率e的取值，可任意作出圆锥曲线示意图；再调整焦点到准线的距离H'F，可精确作出任意给定条件的圆锥曲线图象(按Ctrl+B可擦除刚刚生成的轨迹).
图5
三、用“几何画板”探究动点轨迹
例5.设B是半径为R的定圆A内的一个定点，D是圆上的动点，过线段BD的中点E作BD的垂线与半径AD交于点P，求点P的轨迹．
【解析】由PE是BD的垂直平分线，所以BP=DP，又AD是圆的半径R，即AP+BP=R>AB，即点P是以A、B为焦点R为长轴的椭圆.
【探究1】点E的轨迹？与点P轨迹的关系？
点E的轨迹有的学生猜想是一个椭圆，经过讨论，多数学生认为是一个圆.从画板上作出图5的轨迹，可发现OE=AD/2，即点E的轨迹是以O圆心，R/2为半径的圆且是椭圆的外切圆.
图6
【探究2】如果将点B放在圆外，点P与点E的轨迹各是什么？两者的关系又如何？
运动点D可得图6，PB=PD，PD-PA=PB-PA 所以|PB-PA|=R<AB，所以点P轨迹是以A、B为焦点，R为实轴的双曲线；OE=AD/2，即点E的轨迹是以O为圆心，R/2为半径的圆且与双曲线相切.
利用“几何画板”使椭圆、双曲线、抛物线和谐地统一，使手工粗糙画的圆锥曲线得到优美的展现，使未知的曲线得以直观的呈现.
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