高等数学(下)知识点总结-(1).pdf

完美 WORD 格式 专业 知识分享 高等数学（下）知高等数学（下）知识识点点主要公式主要公式总结总结第八章 空间解析几何与向量代数1、二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax2）椭球面：旋转椭球面：1222222czbyax1222222czayax3）单叶双曲面：双叶双曲面：1222222czbyax1222222czbyax4）椭圆抛物面：双曲抛物面（马鞍面）：zbyax2222zbyax22225）椭圆柱面：双曲柱面：12222byax12222byax6）抛物柱面：ayx 2（二）平面及其方程1、点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA 法向量：，过点),(CBAn r),(000zyx2、一般式方程：0DCzByAx截距式方程：1czbyax3、两平面的夹角：，),(1111CBAn r),(2222CBAn r222222212121212121cosCBACBACCBBAA ；210212121CCBBAA21/212121CCBBAA4、点到平面的距离：),(0000zyxP0DCzByAx222000CBADCzByAxd（三）空间直线及其方程完美 WORD 格式 专业 知识分享 1、一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA2、对称式（点向式）方程：pzznyymxx000 方向向量：，过点),(pnms r),(000zyx3、两直线的夹角：，),(1111pnms r),(2222pnms r222222212121212121cospnmpnmppnnmm ；21LL0212121ppnnmm21/LL212121ppnnmm4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sinpnmCBACpBnAm ；/L0CpBnAmLpCnBmA第九章 多元函数微分法及其应用1、连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx2、偏导数：；xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(00000003、方向导数：其中为的方向角。coscosyfxflf,l4、梯度：，则。),(yxfz jyxfiyxfyxgradfyxrr),(),(),(0000005、全微分：设，则),(yxfz dddzzzxyxy（一）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：完美 WORD 格式 专业 知识分享 偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122342、微分法1）复合函数求导：链式法则 若，则(,),(,),(,)zf u v uu x y vv x y，zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy（二）应用1）求函数的极值 解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点，令),(yxfz 00yxff),(00yx，),(00yxfAxx),(00yxfBxy),(00yxfCyy若，函数有极小值，若，函数有极大值；02 BAC0A02 BAC0A若，函数没有极值；02 BAC若，不定。02 BAC2、几何应用1）曲线的切线与法平面曲线，则上一点（对应参数为）处的)()()(:tzztyytxx),(000zyxM0t切线方程为：)()()(000000tzzztyyytxxx法平面方程为：0)()()(000000zztzyytyxxtx2）曲面的切平面与法线曲面，则上一点处的切平面方程为：0),(:zyxF),(000zyxM完美 WORD 格式 专业 知识分享 0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 法线方程为：),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx第十章 重积分（一）二重积分 ：几何意义：曲顶柱体的体积1、定义：nkkkkDfyxf10),(limd),(2、计算：1）直角坐标，bxaxyxyxD)()(),(2121()()(,)d dd(,)dbxaxDf x yx yxf x yy，dycyxyyxD)()(),(2121()()(,)d dd(,)ddycyDf x yx yyf x yx2）极坐标，)()(),(21D21()()(,)d d(cos,sin)dDf x yx ydf （二）三重积分1、定义：nkkkkkvfvzyxf10),(limd),(2、计算：1）直角坐标 -“先一后二”Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),(ddd),(-“先二后一”ZDbayxzyxfzvzyxfdd),(dd),(2）柱面坐标，zzyxsincos(,)d(cos,sin,)d d df x y zvfzz 3）球面坐标cossinsincossinrzryrx完美 WORD 格式 专业 知识分享 2(,)d(sin cos,sin sin,cos)sin d d df x y zvf rrrrr（三）应用曲面的面积：DyxyxfzS),(,),(:yxyzxzADdd)()(122第十一章 曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分1、定义：01(,)dlim(,)niiiLif x ysfs 2、计算：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在),(yxfLL)(),(),(ttytx)(),(tt上具有一阶连续导数，且，则,0)()(22tt22(,)d(),()()()d ,()Lf x ysfttttt（二）对坐标的曲线积分1、定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义xoy),(yxP),(yxQ，.nkkkkLxPxyxP10),(limd),(nkkkkLyQyyxQ10),(limd),(向量形式：LLyyxQxyxPrFd),(d),(dr2、计算：设在有向光滑弧上有定义且连续,的参数方程为),(,),(yxQyxPLL，其中在上具有一阶连续导数，且，则):(),(),(ttytx)(),(tt,0)()(22tt(,)d(,)d (),()()(),()()d LP x yxQ x yyPtttQtttt3、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，)()(tytxL为 为L),(yx,，)()()(cos22ttt)()()(cos22ttt则.dd(coscos)dLLP xQ yPQs完美 WORD 格式 专业 知识分享 （三）格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在D 上具有连续一阶偏导数,),(,),(yxQyxP则有LDyQxPyxyPxQdddd2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，G),(,),(yxQyxPG则 曲线积分 在内与路径无关yPxQddLP xQ yG（四）对面积的曲面积分1、定义：设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，),(zyxf定义 iiiiniSfSzyxf),(limd),(102、计算：“一单二投三代入”，则),(:yxzz xyDyx),(yxyxzyxzyxzyxfSzyxfyxDyxdd),(),(1),(,d),(22（五）对坐标的曲面积分1、定义：设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义),(),(),(zyxRzyxQzyxP 同理，01(,)d dlim(,)()niiiixyiR x y zx yRS ；01(,)d dlim(,)()niiiiyziP x y zy zPS 01(,)d dlim(,)()niiiizxiQ x y zz xRS 2、性质：1），则2112d dd dd dd dd dd dd dd dd dP y zQ z xR x yP y zQ z xR x yP y zQ z xR x y计算：“一投二代三定号”，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则),(:yxzz xyDyx),(),(yxzz xyD),(zyxR,为上侧取“+”，为下侧取“-”.(,)d d,(,)d dx yDR x y zx yR x y z x yx y 完美 WORD 格式 专业 知识分享 3、两类曲面积分之间的关系：SRQPyxRxzQzyPdcoscoscosdddddd其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。,),(zyx（六）高斯公式1、高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成,的方向取外侧,函数在上有连续的一阶偏导数,则,P Q R有yxRxzQzyPzyxzRyQxPdddddd ddd或SRQPzyxzRyQxPdcoscoscos ddd2、通量与散度通量：向量场通过曲面指定侧的通量为：),(RQPAryxRxzQzyPdddddd散度：zRyQxPAdivr（七）斯托克斯公式1、斯托克斯公式：设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,的侧与 的正向符合右手法则,在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有),(),(),(zyxRzyxQzyxPzRyQxPyxyPxQxzxRzPzyzQyRddd dddddd为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:zRyQxPRQPzyxyxxzzyddddddddd2、环流量与旋度环流量：向量场沿着有向闭曲线 的环流量为),(RQPArzRyQxPddd旋度：yPxQxRzPzQyRArot ,r第十二章 无穷级数（一）常数项级数1、定义：1）无穷级数：LLnnnuuuuu3211完美 WORD 格式 专业 知识分享 部分和：，nnkknuuuuuSL3211正项级数：，1nnu0nu交错级数：，1)1(nnnu0nu2）级数收敛：若存在，则称级数收敛，否则称级数发散SSnnlim1nnu1nnu3）条件收敛：收敛，而发散；1nnu1nnu绝对收敛：收敛。1nnu2、性质：1）改变有限项不影响级数的收敛性；2）级数，收敛，则收敛；1nna1nnb1)(nnnba3）级数收敛，则任意加括号后仍然收敛；1nna4）必要条件：级数收敛.（注意：不是充分条件！）1nnu0limnnu3、审敛法正项级数：，1nnu0nu1）定义：存在；SSnnlim2）收敛有界；1nnu nS3）比较审敛法：，为正项级数，且1nnu1nnv),3,2,1(Lnvunn 若收敛，则收敛；若发散，则发散.1nnv1nnu1nnu1nnv4）比较法的推论：，为正项级数，若存在正整数，当时，而收敛，则1nnu1nnvmmn nnkvu 1nnv收敛；若存在正整数，当时，而发散，则发散.1nnummn nnkvu 1nnv1nnu完美 WORD 格式 专业 知识分享 5）比较法的极限形式：，为正项级数，若，而收敛，则收敛；若1nnu1nnv)0(limllvunnn1nnv1nnu或，而发散，则发散.0limnnnvunnnvulim1nnv1nnu6）比值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当1nnuluunnn1lim1l1nnu1l1nnu时，级数可能收敛也可能发散.1l1nnu7）根值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当1nnulunnnlim1l1nnu1l1nnu时，级数可能收敛也可能发散.1l1nnu8）极限审敛法：为正项级数，若或，则级数发散；若存在，使得1nnu0limnnunnnunlim1nnu1p，则级数收敛.)0(limllunnpn1nnu交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：，满足：，且，则级数收敛。1)1(nnnu0nu),3,2,1(1Lnuunn0limnnu1)1(nnnu任意项级数：绝对收敛，则收敛。1nnu1nnu常见典型级数：几何级数：；p-级数：1 1 0qqaqnn为 为为 为为 为为 为为 为为 为1p 1 11为 为为 为为 为为 为为 为为 为pnnp（二）函数项级数1、定义：函数项级数，收敛域，收敛半径，和函数；1)(nnxu2、幂级数：0nnnxa3、收敛半径的求法：，则收敛半径 nnnaa1lim0 ,00 ,1R4、泰勒级数 nnnxxnxfxf)(!)()(000)(0)(!)1()(lim)(lim10)1(nnnnnxxnfxR展开步骤：（直接展开法）完美 WORD 格式 专业 知识分享 1）求出；L,3,2,1 ),()(nxfn2）求出；L,2,1,0 ),(0)(nxfn3）写出；nnnxxnxf)(!)(000)(4）验证是否成立。0)(!)1()(lim)(lim10)1(nnnnnxxnfxR间接展开法：（利用已知函数的展开式）1）；),(,!10 xxnennx2）；),(,!)12(1)1(sin0121xxnxnnn3）；),(,)!2(1)1(cos021xxnxnnn4）；)1 ,1(,110 xxxnn5）)1 ,1(,)1(110 xxxnnn6）1 ,1(,1)1()1ln(01xxnxnnn7）)1 ,1(,)1(11022xxxnnn8）)1 ,1(,!)1()1(1)1(1xxnnmmmxnnmL5、傅里叶级数1）定义：正交系：函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间上积分LLnxnxxxxxcos,sin,2cos,2sin,cos,sin,1 ,为零。傅里叶级数：)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn系数：),3,2,1(dsin)(1),2,1,0(dcos)(1LLnxnxxfbnxnxxfann2）收敛定理：(展开定理)设 f(x)是周期为 2 的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则 f(x)的傅里叶级数收敛,且有完美 WORD 格式 专业 知识分享 为 为为 为为 为为 为为 为为 为为 为为 为xxfxfxxfnxbnxaannn ,2)()(),(sincos2103）傅里叶展开：求出系数：；),3,2,1(dsin)(1),2,1,0(dcos)(1LLnxnxxfbnxnxxfann写出傅里叶级数；)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn根据收敛定理判定收敛性。enjoy the trust of 得到.的信任 have/put trust in 信任 in trust 受托的，代为保管的take.on trust 对.不加考察信以为真 trust on 信赖 give a new turn to 对予以新的看法 turn around/round 转身，转过来，改变意见 turn back 折回，往回走 turn away 赶走，辞退，把打发走，转脸不睬，使转变方向 turn to 转向，（for help）向求助，查阅，变成；着手于 think through 思考直到得出结论，想通 think of 想到，想起，认为，对有看法/想法