同济第六版《高等数学》教案WORD版-第03章-中值定理与导数的应用.pdf

高等数学教案 3 中值定理与导数的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 第三章第三章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用教学目的：教学目的：1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。5、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。6、知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。教学难点：教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。3 1 中值定理中值定理 一、罗尔定理一、罗尔定理 费马引理 设函数 f(x)在点 x0的某邻域 U(x0)内有定义 并且在 x0处可导 如果对任意 xU(x0)有 f(x)f(x0)(或 f(x)f(x0)那么 f(x0)0 罗尔定理罗尔定理 如果函数 yf(x)在闭区间a,b上连续 在开区间(a,b)内可导 且有 f(a)f(b)那么在(a,b)内至少在一点 使得 f()0 简要证明(1)如果 f(x)是常函数 则 f(x)0 定理的结论显然成立 (2)如果 f(x)不是常函数 则f(x)在(a b)内至少有一个最大值点或最小值点 不妨设有一最大值点(a b)于是 0)()(lim)()(xfxfffx 0)()(lim)()(xfxfffx高等数学教案 3 中值定理与导数的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室所以 f(x)=0.罗尔定理的几何意义 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数 f(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 那么在(a b)内至少有一点(ab)使得等式f(b)f(a)f()(ba)成立 拉格朗日中值定理的几何意义 f()abafbf)()(定理的证明 引进辅函数令(x)f(x)f(a)(xa)abafbf)()(容易验证函数 f(x)适合罗尔定理的条件(a)(b)0(x)在闭区间a b 上连续在开区间(a b)内可导 且(x)f(x)abafbf)()(根据罗尔定理 可知在开区间(a b)内至少有一点 使()0 即f()0 abafbf)()(由此得 f()abafbf)()(即 f(b)f(a)f()(ba)定理证毕 f(b)f(a)f()(ba)叫做拉格朗日中值公式 这个公式对于 b0 或x0)或xx x (x0)应用拉格朗日中值公式 得f(xx)f(x)f(xx)x(01)如果记 f(x)为 y 则上式又可写为yf(xx)x(01)试与微分 d yf(x)x 比较 d y f(x)x 是函数增量y 的近似表达式 而 f(xx)x 是函数增量y 的精确表达式 作为拉格朗日中值定理的应用 我们证明如下定理 定理定理 如果函数 f(x)在区间 I 上的导数恒为零 那么 f(x)在区间 I 上是一个常数 证 在区间 I 上任取两点 x1 x2(x1x2)应用拉格朗日中值定理 就得f(x2)f(x1)f()(x2 x1)(x1 x2)由假定 f()0 所以 f(x2)f(x1)0 即高等数学教案 3 中值定理与导数的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室f(x2)f(x1)因为 x1 x2是 I 上任意两点 所以上面的等式表明 f(x)在 I 上的函数值总是相等的 这就是说 f(x)在区间 I 上是一个常数 例例 2 证明当 x0 时 xxxx)1ln(1 证 设 f(x)ln(1x)显然 f(x)在区间0 x上满足拉格朗日中值定理的条件 根据定理 就有 f(x)f(0)f()(x0)0 x。由于 f(0)0 因此上式即为xxf11)(1)1ln(xx又由 0 x 有 xxxx)1ln(1 三、柯西中值定理三、柯西中值定理 设曲线弧 C 由参数方程 (axb)()(xfYxFX表示 其中 x 为参数 如果曲线 C 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线 那么在曲线 C 上必有一点 x 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦 AB 曲线 C 上点 x处的切线的斜率为 )()(FfdXdY弦 AB 的斜率为 )()()()(aFbFafbf于是 )()()()()()(FfaFbFafbf 柯西中值定理柯西中值定理 如果函数 f(x)及 F(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 且 F(x)在(a b)内的每一点处均不为零 那么在(a b)内至少有一点 使等式 )()()()()()(FfaFbFafbf成立 显然 如果取 F(x)x 那么 F(b)F(a)ba F(x)1 因而柯西中值公式就可以写成 f(b)f(a)f()(ba)(ab)这样就变成了拉格朗日中值公式了 高等数学教案 3 中值定理与导数的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 3.3 泰勒公式泰勒公式 对于一些较复杂的函数 为了便于研究 往往希望用一些简单的函数来近似表达 由于用多项式表示的函数 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算 便能求出它的函数值 因此我们经常用多项式来近似表达函数 在微分的应用中已经知道 当|x|很小时 有如下的近似等式 e x 1x ln(1x)x 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子 但是这种近似表达式还存在着不足之处 首先是精确度不高 这所产生的误差仅是关于 x 的高阶无穷小 其次是用它来作近似计算时 不能具体估算出误差大小 因此 对于精确度要求较高且需要估计误差时候 就必须用高次多项式来近似表达函数 同时给出误差公式 设函数 f(x)在含有 x0的开区间内具有直到(n1)阶导数 现在我们希望做的是 找出一个关于(xx0)的 n 次多项式 p n(x)a 0a 1(xx0)a 2(xx0)2 a n(xx0)n来近似表达 f(x)要求 p n(x)与 f(x)之差是比(xx0)n高阶的无穷小 并给出误差|f(x)p n(x)|的具体表达式 我们自然希望 p n(x)与 f(x)在 x0 的各阶导数(直到(n1)阶导数)相等 这样就有 p n(x)a 0a 1(xx0)a 2(xx0)2 a n(xx0)n p n(x)a 12 a 2(xx0)na n(xx0)n1 p n(x)2 a 2 32a 3(xx0)n(n1)a n(xx0)n2 p n(x)3!a 3 432a 4(xx0)n(n1)(n2)a n(xx0)n3 p n(n)(x)n!a n 于是 pn(x0)a 0 p n(x0)a 1 p n(x0)2!a 2 p n(x)3!a 3 p n(n)(x)n!a n 按要求有 f(x0)p n(x0)a0 f(x0)p n(x0)a 1 f(x0)p n(x0)2!a 2 f(x0)p n(x0)3!a 3 f(n)(x0)p n(n)(x0)n!a n 从而有 a 0f(x0)a 1f(x0)(!2102xfa)(!3103xfa )(!10)(xfnann(k0 1 2 n)(!10)(xfkakk高等数学教案 3 中值定理与导数的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室于是就有 pn(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)2 (xx0)n )(!210 xf )(!10)(xfnn 泰勒中值定理泰勒中值定理 如果函数 f(x)在含有 x0的某个开区间(a b)内具有直到(n1)的阶导数 则当x 在(a b)内时 f(x)可以表示为(xx0)的一个 n 次多项式与一个余项 R n(x)之和 )()(!1 )(!21)()()(00)(200000 xRxxxfnxxxfxxxfxfxfnnn 其中(介于 x0与 x 之间)10)1()()!1()()(nnnxxnfxR这里 多项式 nnnxxxfnxxxfxxxfxfxp)(!1 )(!21)()()(00)(200000 称为函数 f(x)按(xx0)的幂展开的 n 次近似多项式 公式 200000)(!21)()()(xxxfxxxfxfxf)()(!100)(xRxxxfnnnn称为 f(x)按(xx0)的幂展开的 n 阶泰勒公式 而 R n(x)的表达式其中(介于 x 与 x0之间)10)1()()!1()()(nnnxxnfxR称为拉格朗日型余项 当 n0 时 泰勒公式变成拉格朗日中值公式 f(x)f(x0)f()(xx0)(在 x0 与 x 之间)因此 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广 如果对于某个固定的 n 当 x 在区间(a b)内变动时|f(n1)(x)|总不超过一个常数 M 则有估计式 1010)1(|)!1(|)()!1()(|)(|nnnnxxnMxxnfxR及 0)(lim0)(0nxnxxxxR可见 妆 x x0时 误差|R n(x)|是比(xx0)n高阶的无穷小 即 R n(x)o(xx0)n 在不需要余项的精确表达式时 n 阶泰勒公式也可写成 200000)(!21)()()(xxxfxxxfxfxf)()(!1000)(nnnxxoxxxfn当 x0 0 时的泰勒公式称为麦克劳林公式 就是高等数学教案 3 中值定理与导数的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 )(!)0(!2)0()0()0()()(2xRxnfxfxffxfnnn 或 )(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf 其中1)1()!1()()(nnnxnfxR由此得近似公式 nnxnfxfxffxf!)0(!2)0()0()0()()(2 误差估计式变为 1|)!1(|)(|nnxnMxR 例 1写出函数 f(x)e x 的 n 阶麦克劳林公式 解 因为 f(x)f(x)f(x)f(n)(x)e x 所以 f(0)f(0)f(0)f(n)(0)1 于是 (0)12)!1(!1 !211 nxnxxnexnxxe并有 nxxnxxe!1 !2112 这时所产性的误差为|R n(x)|x n1|x|n1)!1(nex)!1(|nex 当 x1 时 可得 e 的近似式 !1 !2111nex 其误差为|R n|0 则 f(x)在a b上的图形是凹的 (2)若在(a b)内 f(x)0 则 f(x)在a b上的图形是凸的 简要证明 只证(1)设x1 x2a b 且 x1x2 记21,xx2210 xxx 由拉格朗日中值公式 得 2)()()()(21101101xxfxxfxfxf011xx 2)()()()(12202202xxfxxfxfxf220 xx两式相加并应用拉格朗日中值公式得 2)()()(2)()(1212021xxffxfxfxf 02)(1212 xxf21即 所以 f(x)在a b上的图形是凹的)2(2)()(2121xxfxfxf 拐点拐点 连续曲线 yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点 确定曲线确定曲线 y f(x)的凹凸区间和拐点的步骤的凹凸区间和拐点的步骤 (1)确定函数 yf(x)的定义域 (2)求出在二阶导数 f(x)(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点 (4)判断或列表判断 确定出曲线凹凸区间和拐点 注 根据具体情况（1）（3）步有时省略 例 1 判断曲线 yln x 的凹凸性 解解 xy121xy 因为在函数 yln x 的定义域(0)内 y0 所以曲线 yln x 是凸的 高等数学教案 3 中值定理与导数的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 例 2 判断曲线 yx3的凹凸性 解 y3x 2 y6x 由 y0 得 x0 因为当 x0 时 y0 时 y0 所以曲线在0)内为凹的 例 3 求曲线 y2x 33x 22x14 的拐点 解 y6x 26x12 )21(12612 xxy 令 y0 得21x 因为当时 y0 当时 y0所以点()是曲线的拐点 21x21x212120 例 4 求曲线 y3x 44x 31 的拐点及凹、凸的区间 解(1)函数 y3x 44x 31 的定义域为()(2)231212xxy)32(3624362 xxxxy (3)解方程 y0 得 01x322x (4)列表判断 在区间(0和2/3)上曲线是凹的 在区间0 2/3上曲线是凸的 点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点 例 5 问曲线 yx 4是否有拐点？解 y4x 3 y12x 2 当 x 0 时 y0 在区间()内曲线是凹的 因此曲线无拐点 例 6 求曲线的拐点 3xy 解 (1)函数的定义域为()(2)32 31xy 32 92xxy (3)无二阶导数为零的点 二阶导数不存在的点为 x0 (4)判断 当 x0 当 x0 时 y0 因此 点(0 0)曲线的拐点 (0)0 (0 2/3)2/3 (2/3)f(x)0 0 f(x)1 11/27 高等数学教案 3 中值定理与导数的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 3 5 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值 一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法 极值的定义极值的定义 定义定义 设函数 f(x)在区间(a,b)内有定义 x0(a,b)如果在 x0的某一去心邻域内有 f(x)f(x0)则称 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值 如果在 x0的某一去心邻域内有 f(x)f(x0)则称 f(x0)是函数f(x)的一个极小值 设函数 f(x)在点 x0的某邻域 U(x0)内有定义 如果在去心邻域 U(x0)内有 f(x)f(x0)(或 f(x)f(x0)则称 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值(或极小值)函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点 函数的极大值和极小值概念是局部性的 如果 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值 那只是就 x0 附近的一个局部范围来说 f(x0)是 f(x)的一个最大值 如果就 f(x)的整个定义域来说 f(x0)不一定是最大值 关于极小值也类似 极值与水平切线的关系极值与水平切线的关系 在函数取得极值处 曲线上的切线是水平的 但曲线上有水平切线的地方 函数不一定取得极值 定理定理 1(必要条件必要条件)设函数 f(x)在点 x0 处可导 且在 x0 处取得极值 那么这函数在 x0 处的导数为零 即 f(x0)0 证 为确定起见 假定 f(x0)是极大值(极小值的情形可类似地证明)根据极大值的定义 在x0 的某个去心邻域内 对于任何点 x f(x)f(x0)均成立 于是 当 x x0 时 0)()(00 xxxfxf因此 f(x0)0)()(lim000 xxxfxfxx 当 x x0 时 0)()(00 xxxfxf因此 0)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx从而得到 f(x0)0 简要证明简要证明 假定 f(x0)是极大值 根据极大值的定义 在 x0的某个去心邻域内有 f(x)f(x0)于是 0)()(lim)()(00000 xxxfxfxfxfxx同时 0)()(lim)()(00000 xxxfxfxfxfxx从而得到 f(x0)0 高等数学教案 3 中值定理与导数的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 驻点 使导数为零的点(即方程 f(x)0 的实根)叫函数 f(x)的驻点 定理就是说 可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点 但的过来 函数 f(x)的驻点却不一定是极值点 考察函数 f(x)x3在 x0 处的情况 定理定理(第一种充分条件第一种充分条件)设函数 f(x)在点 x0的一个邻域内连续 在 x0的左右邻域内可导 (1)如果在 x0的某一左邻域内 f(x)0 在 x0的某一右邻域内 f(x)0 那么函数 f(x)在 x0处取得极大值 (2)如果在 x0的某一左邻域内 f(x)0 在 x0的某一右邻域内 f(x)0 那么函数 f(x)在 x0处取得极小值 (3)如果在 x0的某一邻域内 f(x)不改变符号 那么函数 f(x)在 x0处没有极值 定理定理(第一种充分条件第一种充分条件)设函数 f(x)在含 x0的区间(a,b)内连续 在(a,x0)及(x0,b)内可导 (1)如果在(a,x0)内 f(x)0 在(x0,b)内 f(x)0 那么函数 f(x)在 x0处取得极大值 (2)如果在(a,x0)内 f(x)0 在(x0,b)内 f(x)0 那么函数 f(x)在 x0处取得极小值 (3)如果在(a,x0)及(x0,b)内 f(x)的符号相同 那么函数 f(x)在 x0处没有极值 定理定理 2(第一充分条件)设函数 f(x)在 x0连续 且在 x0的某去心邻域(x0 x0)(x0 x0)内可导 (1)如果在(x0 x0)内 f(x)0 在(x0 x0)内 f(x)0 那么函数 f(x)在 x0处取得极大值 (2)如果在(x0 x0)内 f(x)0 在(x0 x0)内 f(x)0 那么函数 f(x)在 x0处取得极小值 (3)如果在(x0 x0)及(x0 x0)内 f(x)的符号相同 那么函数 f(x)在 x0处没有极值 定理 2 也可简单地这样说 当 x 在 x0的邻近渐增地经过 x0时 如果 f(x)的符号由负变正 那么 f(x)在 x0处取得极大值 如果 f(x)的符号由正变负 那么 f(x)在 x0处取得极小值 如果 f(x)的符号并不改变 那么 f(x)在 x0处没有极值(注 定理的叙述与教材有所不同)确定极值点和极值的步骤确定极值点和极值的步骤 (1)求出导数 f(x)(2)求出 f(x)的全部驻点和不可导点 (3)列表判断(考察 f(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况 以便确定该点是否是极值点 如果是极值点 还要按定理 2 确定对应的函数值是极大值还是极小值)(4)确定出函数的所有极值点和极值 例 1 求函数的极值 32)1()4()(xxxf 解(1)f(x)在()内连续 除 x1 外处处可导 且 313)1(5)(xxxf (2)令 f(x)0 得驻点 x1 x1 为 f(x)的不可导点 (3)列表判断 x(1)1(1 1)1(1)f(x)不可导0高等数学教案 3 中值定理与导数的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室f(x)0343 (4)极大值为 f(1)0 极小值为 343)1(f 定理定理 3(第二种充分条件第二种充分条件)设函数 f(x)在点 x0处具有二阶导数且 f(x0)0 f(x0)0 那么 (1)当 f(x0)0 时 函数 f(x)在 x0处取得极大值 (1)当 f(x0)0 时 函数 f(x)在 x0处取得极小值 证明 在情形(1)由于 f(x0)0按二阶导数的定义有 0)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx根据函数极限的局部保号性 当 x 在 x0的足够小的去心邻域内时 0)()(00 xxxfxf但 f(x0)0 所以上式即 0)(0 xxxf从而知道 对于这去心邻域内的 x 来说 f(x)与 xx0符号相反 因此 当 xx00 即 xx0时 f(x)0 当 xx00 即 xx0时 f(x)0 根据定理 2 f(x)在点 x0处取得极大值 类似地可以证明情形(2)简要证明 在情形(1)由于 f(x0)0 f(x0)0按二阶导数的定义有 0)(lim)()(lim)(000000 xxxfxxxfxfxfxxxx根据函数极限的局部保号性 在 x0的某一去心邻域内有 0)(0 xxxf从而在该邻域内 当 xx0时 f(x)0 当 xx0时 f(x)0 根据定理 2 f(x)在点 x0处取得极大值 定理 3 表明 如果函数 f(x)在驻点 x0处的二导数 f(x0)0 那么该点 x0一定是极值点 并且可以按二阶导数 f(x0)的符来判定 f(x0)是极大值还是极小值 但如果 f(x0)0 定理 3 就不能应用 讨论 函数 f(x)x4 g(x)x3在点 x0 是否有极值？提示 f(x)4x 3 f(0)0 f(x)12x2 f(0)0 但当 x0 时 f(x)0 当 x0 时 f(x)0 所以f(0)为极小值 g(x)3x2 g(0)0 g(x)6x g(0)0 但 g(0)不是极值 例 2 求函数 f(x)(x21)31 的极值 解 (1)f(x)6x(x21)2 (2)令 f(x)0 求得驻点 x11 x20 x31 (3)f(x)6(x21)(5x21)高等数学教案 3 中值定理与导数的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 (4)因 f(0)60 所以 f(x)在 x0 处取得极小值 极小值为 f(0)0 (5)因 f(1)f(1)0 用定理 3 无法判别 因为在1 的左右邻域内 f(x)0 所以 f(x)在1处没有极值 同理 f(x)在 1 处也没有极值 二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题 在工农业生产、工程技术及科学实验中 常常会遇到这样一类问题 在一定条件下 怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题 这类问题在数学上有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题 极值与最值的关系极值与最值的关系 设函数 f(x)在闭区间a b上连续 则函数的最大值和最小值一定存在 函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得 如果最大值不在区间的端点取得 则必在开区间(a b)内取得 在这种情况下 最大值一定是函数的极大值 因此 函数在闭区间a b上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者 同理 函数在闭区间a b上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者 最大值和最小值的求法最大值和最小值的求法 设 f(x)在(a b)内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为 x1 x2 xn 则比较 f(a)f(x 1)f(x n)f(b)的大小 其中最大的便是函数 f(x)在a b上的最大值 最小的便是函数 f(x)在a b上的最小值 例 3 求函数 f(x)|x23x2|在3 4上的最大值与最小值 解)2 ,1(23 4 ,2 1 ,3 23)(22xxxxxxxf )2 ,1(32)4 ,2()1 ,3(32)(xxxxxf在(3 4)内 f(x)的驻点为 不可导点为 x1 和 x2 23x 由于 f(3)20 f(1)0 f(2)0 f(4)6 比较可得 f(x)在 x3 处取得它在3 4上的最41)23(f大值 20 在 x1 和 x2 处取它在3 4上的最小值 0 例 4 工厂铁路线上 AB 段的距离为 100km 工厂 C 距 A 处为 20km AC 垂直于 AB 为了运输需要 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修筑一条公路 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比 3:5 为了使货物从供应站 B 运到工厂 C 的运费最省 问 D 点应选在何处？DC20kmAB100kmDC20kmAB100km高等数学教案 3 中值定理与导数的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 解 设 ADx(km)则 DB100 x 2220 xCD2400 x 设从 B 点到 C 点需要的总运费为 y 那么 y5kCD3kDB(k 是某个正数)即 3k(100 x)(0 x100)24005xky 现在 问题就归结为 x 在0 100内取何值时目标函数 y 的值最小 先求 y 对 x 的导数 2400 xCD)34005(2xxky解方程 y0 得 x15(km)由于 y|x0400k y|x15380k 其中以 y|x15380k 为最小 因此当2100511500|kyxADx15km 时 总运费为最省 例 2 工厂 C 与铁路线的垂直距离 AC 为 20km,A 点到火车站 B 的距离为 100km.欲修一条从工厂到铁路的公路 CD.已知铁路与公路每公里运费之比为 3:5.为了使火车站 B 与工厂 C间的运费最省,问 D 点应选在何处？解 设 ADx(km)B 与 C 间的运费为 y则 y5kCD3kDB(0 x100)100(340052xkxk其中 k 是某一正数 由0 得 x15)34005(2xxky 由于 y|x0400k y|x15380k 其中以 y|x15380k 为最小 因此当2100511500|kyxADx15km 时 总运费为最省 注意 f(x)在一个区间(有限或无限 开或闭)内可导且只有一个驻点 x0 并且这个驻点 x0 是函数 f(x)的极值点 那么 当 f(x0)是极大值时 f(x0)就是 f(x)在该区间上的最大值 当 f(x0)是极小值时 f(x0)就是 f(x)在该区间上的最小值 f(x 0)Oa x 0 b x yf(x)y f(x 0)Oa x 0 b x yf(x)y高等数学教案 3 中值定理与导数的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 应当指出 实际问题中 往往根据问题的性质就可以断定函数 f(x)确有最大值或最小值 而且一定在定义区间内部取得 这时如果 f(x)在定义区间内部只有一个驻点 x0 那么不必讨论 f(x0)是否是极值 就可以断定 f(x0)是最大值或最小值 例 6 把一根直径为 d 的圆木锯成截面为矩形的梁 问矩形截面的高 h 和宽 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量 W()最大?261bhW 解 b 与 h 有下面的关系 h 2d 2b 2 因而 (0bd)(6122bdbW这样 W 就是自变量 b 的函数 b 的变化范围是(0 d)现在 问题化为 b 等于多少时目标函数 W 取最大值？为此 求 W 对 b 的导数 )3(6122bdW解方程 W 0 得驻点 db31 由于梁的最大抗弯截面模量一定存在 而且在(0 d)内部取得 现在 函数在)(6122bdbW(0 d)内只有一个驻点 所以当时 W 的值最大 这时 db31 2222223231dddbdh即 dh32 1:2:3:bhd 解 把 W 表示成 b 的函数 (0b0 相反时 s0 于是 dsdx 这就是弧微分公式 dxdsdxds21 y21 y 因为当x0 时 s x 又s 与同号 所以MN 202200)(1lim|)()(limlimxyxyxxsdxdsxxx21 y因此 dxyds21这就是弧微分公式 二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式 曲线弯曲程度的直观描述 高等数学教案 3 中值定理与导数的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 设曲线 C 是光滑的 在曲线 C 上选定一点 M 0作为度量弧 s 的基点 设曲线上点 M 对应于弧 s 在点 M 处切线的倾角为 曲线上另外一点 N 对应于弧 ss 在点 N 处切线的倾角为 我们用比值 即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度|sMN 记称为弧段 MN 的平均曲率sKK 记 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率sKs0lim 在存在的条件下 0limssdsddsdK 曲率的计算公式 设曲线的直角坐标方程是 yf(x)且 f(x)具有二阶导数（这时 f(x)连续 从而曲线是光滑的）因为 tan y 所以 sec 2dydx dxyydxydxyd2221tan1sec 又知 dsdx 从而得曲率的计算公式21 y 232)1(|yydsdK 例 1 计算直线 ya xb 上任一点的曲率 例 2 计算半径为 R 的圆上任一点的曲率 讨论讨论 1 计算直线 ya xb 上任一点的曲率 提示:设直线方程为 yax+b,则 ya,y0.于是 K0.2.若曲线的参数方程为 x(t),y(t)给 那么曲率如何计算？提示 2/322)()(|)()()()(|ttttttK 3 计算半径为 R 的圆上任一点的曲率 提示 圆的参数方程为 xR cos t yR sin t 例 1.计算等双曲线 x y 1 在点(1 1)处的曲率 解解 由 得xy1 21xy32xy 因此 y|x11 y|x12 曲线 xy 1 在点(1 1)处的曲率为高等数学教案 3 中值定理与导数的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 232)1(|yyK 232)1(1(22221 例 4 抛物线 ya x 2b xc 上哪一点处的曲率最大？解 由 ya x 2b xc 得 y2a x b y2a 代入曲率公式 得 232)2(1|2|baxaK 显然 当 2axb0 时曲率最大 曲率最大时 x 对应的点为抛物线的顶点 因此 抛物线在顶点处的曲率最大 最大ab2曲率为 K|2a|三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径 设曲线在点 M(x y)处的曲率为 K(K0)在点 M 处的曲线的法线上 在凹的一侧取一点 D 使|DM|K1 以 D 为圆心 为半径作圆 这个圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 曲率圆的圆心D 叫做曲线在点 M 处的曲率中心 曲率圆的半径 叫做曲线在点 M 处的曲率半径 设曲线在点 M 处的曲率为 K(K0)在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于 M 且半径为K1的圆则这个圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 其圆心叫做曲率中心 其半径叫做曲率半径 曲线在点 M 处的曲率 K(K 0)与曲线在点 M 处的曲率半径 有如下关系 K K11 例 3 设工件表面的截线为抛物线 y0.4x 2 现在要用砂轮磨削其内表面 问用直径多大的砂轮才比较合适？解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 y0.8x y0.8 y|x00 y|x00.8 把它们代入曲率公式 得 08 232)1(|yyK 抛物线顶点处的曲率半径为帠K1 125 所以选用砂轮的半径不得超过 1.25 单位长 即直径不得超过 2.50 单位长