高二数学知识点总结.pdf

第 1 页 共 17 页新泰市新汶中学新泰市新汶中学 2011-20122011-2012 学年度期末考试学年度期末考试 高二数学知识点及方法总结高二数学知识点及方法总结 2012-1-32012-1-3必修必修 5 5 知识点及方法知识点及方法第一章：解三角形第一章：解三角形1、正弦定理：在中，、分别为角、的对边，为CAabcACR的外接圆的半径，则有CA2sinsinsinabcRCA2、正弦定理的变形公式：，；2 sinaRA2 sinbR2 sincRC，；（正弦定理的变形经常用在有三角函sin2aRA sin2bR sin2cCR数的等式中）；:sin:sin:sina b cCAsinsinsinsinsinsinabcabcCCAA3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCacAA 4、余 定理：在中，有，CA2222cosabcbcA2222cosbacac2222coscababC5、余弦定理的推论：，222cos2bcabcA 222cos2acbac 222cos2abcCab6、设、是的角、的对边，则：若，则abcCAAC222abc为直角三角形；90C o若，则为锐角三角形；若，则为钝角222abc90C o222abc90C o三角形第二章：数列第二章：数列1、数列：按照一定顺序排列着的一列数 2、数列的项：数列中的每一个数第 2 页 共 17 页3、有穷数列：项数有限的数列4、无穷数列：项数无限的数列5、递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列6、递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列7、常数列：各项相等的数列8、摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列9、数列的通项公式：表示数列的第 项与序号 之间的关系的公式 nann10、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系na1na的公式11、如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差12、由三个数，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称aAbA为 与 的等差中项若，则称 为 与 的等差中项ab2acbbac13、若等差数列的首项是，公差是，则 na1ad11naand 通项公式的变形：；nmaanm d11naand11naadn11naandnmaadnm14、若是等差数列，且（、），则 namnpqmnp*q；若是等差数列，且（、），则mnpqaaaa na2npqnp*q；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连续 m 项和构成的2npqaaa数列成等差数列。15、等差数列的前 项和的公式：；n12nnn aaS112nn nSnad16、等差数列的前 项和的性质：若项数为，则，n*2n n21nnnSn aa第 3 页 共 17 页且，若项数为，则，SSnd偶奇1nnSaSa奇偶*21nn2121nnSna且，（其中，）nSSa奇偶1SnSn奇偶nSna奇1nSna偶17、如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，2则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比18、在 与 中间插入一个数，使，成等比数列，则称为 与 的abGaGbGab等比中项若，则称为 与 的等比中项2GabGab19、若等比数列的首项是，公比是，则 na1aq11nnaa q20、通项公式的变形：；n mnmaa q11nnaa q11nnaqan mnmaqa21、若是等比数列，且（、），则；namnpqmnp*qmnpqaaaa若是等比数列，且（、），则；下角标 na2npqnp*q2npqaaa成等差数列的项仍是等比数列；连续 m 项和构成的数列成等比数列。22、等比数列的前 项和的公式：nan11111111nnnna qSaqaa qqqq 时，即常数项与项系数互为相反数。1q 1111nnaaSqqqnq23、等比数列的前 项和的性质：若项数为，则n*2n nSqS偶奇 ，成等比数列nn mnmSSqSnS2nnSS32nnSS24、与的关系：nanS1121nnnSSnaSn一些方法：一些方法：一、求通项公式的方法一、求通项公式的方法：第 4 页 共 17 页1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法若相邻两项相减后为同一个常数设为，列两个方程求解；bknan若相邻两项相减两次后为同一个常数设为，列三个方程cbnanan2求解；若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为，q 为相除后的baqann常数，列两个方程求解；2、由递推公式求通项公式：若化简后为形式，可用等差数列的通项公式代入求解；daann1若化简后为形式，可用叠加法求解；),(1nfaann若化简后为形式，可用等比数列的通项公式代入求解；qaann1若化简后为形式，则可化为，从而新数列bkaann1)()(1xakxann是等比数列，用等比数列求解的通项公式，再反过来求原来xanxan那个。（其中 是用待定系数法来求得）x3、由求和公式求通项公式：检验，若满足则为，不满11Sa 1nnnSSanaa 是否满足1na足用分段函数写。4、其他 （1）形式，便于求和，方法：迭加；1nnaaf n f n例如：11nnaan有：11nnaan2132111341413412nnnaaaaaannnaana LL各式相加得（2）形式，同除以，构造倒数为等差数列；11nnnnaaa a1nna a第 5 页 共 17 页例如：，则，即为以-2 为公差的等112nnnnaaa a111112nnnnnnaaa aaa1na差数列。（3）形式，方法：构造：为等比数列；1nnaqam1q 1nnaxq ax例如：，通过待定系数法求得：，即等122nnaa1222nnaa2na 比，公比为 2。（4）形式：构造：为等比数列；1nnaqapnr11nnaxnyq ax ny（5）形式，同除，转化为上面的几种情况进行构造；1nnnaqapnp因为，则，若转化为（1）的方法，若不为1nnnaqap111nnnnaaqpp p1qp1，转化为（3）的方法二、等差数列的求和最值问题二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）若，则有最大值，当 n=k 时取到的最大值 k 满足001danS001kkaa若，则有最小值，当 n=k 时取到的最大值 k 满足001danS001kkaa三、数列求和的方法三、数列求和的方法：叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：；213nnan分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：，11111nan nnn等；111121212 2121nannnn一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：等；21nnan四、综合性问题中四、综合性问题中第 6 页 共 17 页等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为类型，这样可以dada 和相加约掉，相乘为平方差；等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为类型，这样可以相qaaq和乘约掉。第三章：不等式第三章：不等式1、；0abab0abab0abab比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。2、不等式的性质：；abba,ab bcacabacbc，；,0ab cacbc,0ab cacbc,ab cdacbd；0,0abcdacbd0,1nnababnn0,1nnabab nn3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的不等2式4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24bac 0 0 0 第 7 页 共 17 页二次函数2yaxbxc的图象0a 一元二次方程20axbxc的根0a 有两个相异实数根 1,22bxa 12xx有两个相等实数根122bxxa 没有实数根20axbxc0a 12x xxxx或2bx xa R一元二次不等式的解集20axbxc0a 12x xxx5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是 的不等式16、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的 和 的取xy值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合,x y,x y8、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点0 xyCA 00,xy若，则点在直线的上方0 000 xyCA00,xy0 xyCA 若，则点在直线的下方0 000 xyCA00,xy0 xyCA 9、在平面直角坐标系中，已知直线0 xyCA 若，则表示直线上方的区域；0 0 xyCA 0 xyCA 表示直线下方的区域0 xyCA 0 xyCA 若，则表示直线下方的区域；0 0 xyCA 0 xyCA 表示直线上方的区域0 xyCA 0 xyCA 10、线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，xyx第 8 页 共 17 页的线性约束条件y目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式xy线性目标函数：目标函数为，的一次解析式xy线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解,x y可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解11、设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正ab2ababab数、的几何平均数ab12、均值不等式定理：若，则，即0a 0b 2abab2abab13、常用的基本不等式：；222,abab a bR；22,2ababa bR；20,02ababab222,22ababa bR14、极值定理：设、都为正数，则有xy若（和为定值），则当时，积取得最大值xysxyxy24s若（积为定值），则当时，和取得最小值xypxyxy2p选修选修 2 21 1 知识点及方法知识点及方法1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命第 9 页 共 17 页题的逆命题.若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q，则p”.6、四种命题的真假性：四种命题的真假性之间的关系：1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系7、若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件若pq，则p是q的充要条件8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq当p、q都是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假第 10 页 共 17 页用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，pq是假命题 对一个命题对一个命题p全盘否定（否定结论）全盘否定（否定结论），得，得到一个新命题，记作到一个新命题，记作p若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示含有全称量词的命题称为全称命题全称命题“对中任意一个x，有 p x成立”，记作“x，p x”短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示含有存在量词的命题称为特称命题特称命题“存在中的一个x，使 p x成立”，记作“x，p x”10、全称命题p：x，p x，它的否定p：x，p x全称命题的否定是特称命题11、平面内与两个定点1F，2F的距离之和等于常数（大于12F F）的点的轨迹称为椭圆这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距12、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210 xyabab222210yxabab范围axa 且byb bxb 且aya 第 11 页 共 17 页顶点1,0aA、2,0aA10,b、20,b10,aA、20,aA1,0b、2,0b轴长短轴的长2b 长轴的长2a焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122FFc cab对称性关于x轴、y轴、原点对称离心率22101cbeeaa准线方程2axc 2ayc 13、设是椭圆上任一点，点到1F对应准线的距离为1d，点到2F对应准线的距离为2d，则1212FFedd14、平面内与两个定点1F，2F的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F）的点的轨迹称为双曲线这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距15、双曲线的几何性质：（类比椭圆写出双曲线的性质，并参看课本）（类比椭圆写出双曲线的性质，并参看课本）16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线17、设是双曲线上任一点，点到1F对应准线的距离为1d，点到2F对应准线的距离为2d，则1212FFedd18、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A、两点的线段A，称为抛物线的“通径”，即2pA 第 12 页 共 17 页20、焦半径公式：若点00,xy在抛物线220ypx p上，焦点为F，则02pFx；若点00,xy在抛物线220ypx p 上，焦点为F，则02pFx；若点00,xy在抛物线220 xpy p上，焦点为F，则02pFy；若点00,xy在抛物线220 xpy p 上，焦点为F，则02pFy 21、抛物线的几何性质：标准方程22ypx0p 22ypx 0p 22xpy0p 22xpy 0p 图形顶点0,0对称轴x轴y轴焦点,02pF,02pF0,2pF0,2pF准线方程2px 2px 2py 2py 离心率1e 范围0 x 0 x 0y 0y 第 13 页 共 17 页22、空间向量的概念：1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量 2向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向 3向量Auuu r的大小称为向量的模（或长度），记作Auuu r 4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量 5与向量ar长度相等且方向相反的向量称为ar的相反向量，记作ar 6方向相同且模相等的向量称为相等向量23、空间向量的加法和减法：1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则即：在空间以同一点为起点的两个已知向量ar、br为邻边作平行四边形CA，则以起点的对角线Cuuu r就是ar与br的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则 2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则即：在空间任取一点，作aA uuu rr，b uuu rr，则abA uuu rrr24、实数与空间向量ar的乘积ar是一个向量，称为向量的数乘运算当0时，ar与ar方向相同；当0时，ar与ar方向相反；当0时，ar为零向量，记为0rar的长度是ar的长度的倍25、设，为实数，ar，br是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律分配律：ababrrrr；结合律：aa rr26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为第 14 页 共 17 页共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量ar，0b b r r，/abrr的充要条件是存在实数，使abrr28、平行于同一个平面的向量称为共面向量29、向量共面定理：空间一点位于平面CA内的充要条件是存在有序实数对x，y，使xy CA A Auuu ruuu ruuu r；或对空间任一定点，有xy C A A Auu u ruuu ruuu ruuu r；或若四点，A，C共面，则1xyz C xyz A uu u ruuu ruuu ruuu r30、已知两个非零向量ar和br，在空间任取一点，作aA uuu rr，b uuu rr，则A称为向量ar，br的夹角，记作,a brr两个向量夹角的取值范围是：,0,a brr31、对于两个非零向量ar和br，若,2a b rr，则向量ar，br互相垂直，记作abrr32、已知两个非零向量ar和br，则cos,a ba brrrr称为ar，br的数量积，记作a brr即cos,a ba ba brrrrrr零向量与任何向量的数量积为033、a brr等于ar的长度ar与br在ar的方向上的投影cos,ba brrr的乘积34、若ar，br为非零向量，er为单位向量，则有 1cos,e aa eaa er rr rrr r；20aba brrrr；3a b aba ba b abrrrrrrrrrr与同向与反向，2a aar rr，aa arr r；4cos,a ba ba b rrrrrr；5a ba brrrr35、向量数乘积的运算律：1a bb arrrr；2 aba babrrrrrr；3abca cb c rrrrr rr36、若ir，jr，kr是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量pr，存在有第 15 页 共 17 页序实数组,x y z，使得pxiyjzkrrrr，称xir，yjr，zkr为向量pr在ir，jr，kr上的分量37、空间向量基本定理：若三个向量ar，br，cr不共面，则对空间任一向量pr，存在实数组,x y z，使得pxaybzcrrrr38、若三个向量ar，br，cr不共面，则所有空间向量组成的集合是,p pxaybzc x y zRrr rrr这个集合可看作是由向量ar，br，cr生成的，,a b crrr称为空间的一个基底，ar，br，cr称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底39、设1eu r，2eu u r，3eu r为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1eu r，2eu u r，3eu r的公共起点为原点，分别以1eu r，2eu u r，3eu r的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系xyz则对于空间任意一个向量pr，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量p uu u rr存在有序实数组,x y z，使得123pxeyezeu ru u ru rr把x，y，z称作向量pr在单位正交基底1eu r，2eu u r，3eu r下的坐标，记作,px y zr此时，向量pr的坐标是点在空间直角坐标系xyz中的坐标,x y z40、设111,ax y zr，222,bxyzr，则 1121212,abxxyyzzrr 2121212,abxxyyzzrr 3111,axyzr 412121 2a bx xy yz zrr 5若ar、br为非零向量，则12121 200aba bx xy yz zrrrr 6若0b rr，则121212/,ababxxyyzzrrrr 7222111aa axyzrr r第 16 页 共 17 页 812121 2222222111222cos,x xy yz za ba ba bxyzxyz rrrrrr 9111,x y zA，222,xyz，则222212121dxxyyzzA A uuu r41、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量uu u r来表示向量uu u r称为点的位置向量42、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定点A是直线l上一点，向量ar表示直线l的方向向量，则对于直线l上的任意一点，有taA uuu rr，这样点A和向量ar不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点43、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为ar，br为平面上任意一点，存在有序实数对,x y，使得xayb uu u rrr，这样点与向量ar，br就确定了平面的位置44、直线l垂直，取直线l的方向向量ar，则向量ar称为平面的法向量45、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为ar，br，则/ababrrabRrr，0ababa brrrr46、若直线a的方向向量为ar，平面的法向量为nr，且a，则/aar0ana nrrr r，/aaananrrrrr47、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为ar，br，则/abrrabrr，0aba brrrr48、设异面直线a，b的夹角为，方向向量为ar，br，其夹角为，则有coscosa ba brrrr49、设直线l的方向向量为lr，平面的法向量为nr，l与所成的角为，lr与第 17 页 共 17 页nr的夹角为，则有sincosl nl nrrrr50、设1nu r，2nu u r是二面角l 的两个面，的法向量，则向量1nu r，2nu u r的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小若二面角l 的平面角为，则1212cosn nn nu r u u ru r u u r51、点A与点之间的距离可以转化为两点对应向量Auuu r的模Auuu r计算52、在直线l上找一点，过定点A且垂直于直线l的向量为nr，则定点A到直线l的距离为cos,ndnnA AA uu u rruu u ruu u rrr53、点是平面外一点，A是平面内的一定点，nr为平面的一个法向量，则点到平面的距离为cos,ndnnA AA uu u rruu u ruu u rrr