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四年级第一学期知识点汇总（数学）四年级第一学期知识点汇总（数学）第一单元第一单元 大数的认识大数的认识1、计数单位：一（个）、十、百、千、万亿等等，都是计数单位计数单位。2、数位：个位、十位、百位、亿位等等，都是数位。数位名称就是在相应的计数单位后添一个“位”字，如 万万位。3、数级：个级、万级、亿级都是数级，一个数级包括四个数位。4、数位顺序表：含有数级、数位和相应的计数单位的表格叫做数位顺序表，如下。数位数位 千亿千亿位位百亿百亿位位十亿十亿位位亿位亿位千万千万位位百万百万位位十万十万位位万位万位千位千位 百位百位十十位位个个位位数级数级 亿级亿级万级万级个级个级计数计数单位单位 千亿千亿 百亿百亿 十亿十亿亿亿 千万千万 百万百万 十万十万 万万千千百百十十个个5、数字表示：某个数位上的数字表示几个这个数位的计数单位。如：12367 中的 2 在千位上，表示 “2 个千”某个数级上的数字表示几个这个数级的计数单位。如：36472845 中的 3647 在万级上，表示 “3647 个万”6、大数的读法：先分级，按照数级从高到低读数，每级读完后加上该级的计数单位。7、大数的写法：找到数级的计数单位（用虚线表示分级），按照数级从高到低写数，没有数字的数级或数位用“0”补足占位。8、写数注意事项：一定要注意“四位一级”，保证每级有四个数位，不够的要用 0补足。9、读写数检验方法：读数和写数可以互相检验，即读数后再写出来和原数比对，而写数后可以自己读出。10、写出所组成的数：把每个部分的数字分别写入，再用 0 补足。如：11、大数的比较：大数的比较方法和以前相同，先把数位对齐，位数大的数大；位数一样的，从最高位的数字依次往右比起。12、四舍五入法：求“近似数”的一种方法，首先确定需要精确到的数位，将其后面的数作为“尾数”，对尾数最高位上的数字进行取舍。04 为“舍”，尾数清零且精确数位的数字不变，59 为“入”，尾数清零且精确数位上的数字加1。如，12,5933 （精确到万位）13,0000 12,5933 （精确到百位）12,5900 注意：四舍五入后的结果是近似数，所以符号一定要用“”！13、改写成不同计数单位的数：（1）整万、整亿的数：将个级的 4 个 0 改写成“万”，将万级、个级共 8 个 0 改写成“亿”如，15,0000=15 万 24,0000,0000=24,0000 万=24 亿 注意：整万、整亿的数的改写属于准确数，要用“=”连接！（2）非整万的数改写成以“万”为单位的数：将万位以后的数作为尾数，对尾数的最高位（千位）四舍五入，再改写成以“万”为单位的数如 14,7283，因为千位上的数字是 7，属于“入”的情况，所以14,7283 15,0000 =15 万 或者直接写成 14,7283 15 万（3）非整亿的数改写成以“亿”为单位的数：将亿位以后的数作为尾数，对尾数的最高位（千万位）四舍五入，再改写成以“亿”为单位的数如 56,0384,9182，因为千万位上的数字是 0，属于“舍”的情况，所以56,0384,9182 56 亿15、按要求组数：（1）组成最大、最小的数：“用 2、4、5、6、0、9 组成最大的六位数和最小的六位数”最大的数最大的数：把给定的数字按照从大到小的顺序排列即可，得 965420 最小的数最小的数：把给定的数字按照从小到大的顺序排列即可，若最高位上的数字是 0，将第一个非 0 数字提前作为最高位，得 024569 204569（2）组成特定读法的数：“用 2、4、5、0、0 组成读出 1 个 0 的数”按照读数规则，先把 0 的位置确定，只读 1 个 0，则这个 0 不能在每级末尾，又已知这个数是五位数，所以单个 0 可以出现的数位有十位、百位、千位，连续两个 0可以出现的位置有千位和百位、百位和十位。最后将非 0 数字填入即可。可得24050，20450，20045，24005（3）特定读法且最大最小的数：先照顾读法，排好 0 的位置，其他的数字按照最大或最小的要求排列即可。16、进位制：用相同数字在不同数位上表示不同大小的计数方法就是进位制，简单来说“满几进一”就是“几进制”。满十进一就是十进制（计数法），共有 10个数字（09）。17、自然数：自然数：表示物体个数的 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，都是自然数。一个物体也没有，用 0 表示，0 也是自然数。最小的自然数是最小的自然数是 0，没有最大，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。的自然数，自然数的个数是无限的。18、计算工具的认识：（1）算盘：发明算盘的是中国。算盘有上下两档，上档每颗珠子代表 5，下档每颗珠子代表 1，每根杆相当于一个数位，如“万位上的一颗上珠”表示“5 个万”。（2）计算器：CE 是“清除键”，ON/C 是“开关及清屏键”。第二单元第二单元 角的度量角的度量1、线段：是直线的一部分，具有 2 个端点，可以度量长度，不可延长。2、射线：是直线的一部分，只有 1 个端点，可以向一端无限延长，不可度量。3、直线：没有端点（或者说“有 0 个端点”），可以向两端无限延长，不可度量。4、角：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这一点叫做角的“顶点”，两条射线叫做角的两条“边”。角要用弧线表示大小。5、角的标注：角的标注方法有两种：（1）用数字代表角，并在旁边标出角的度数（如果有的话）（2）直接将角的度数标注在弧线旁注意：角度一旦知道大小，一定要标出，便于解题，标注时注意要写上单位，如果写不下要用线段引出再进行标注。6、过点画直线的数量：过一点可以画无数条射线、无数条直线。因为“两点可以确定一条直线”，所以过两点只能画出一条直线。7、角的度量方法：量角的大小，要用量角器。角的计量单位是“度”，用符号“”表示。把半圆分成 180 等份，每一份所对的角的大小是 1 度，记作 1。步骤：（1）（量角器的）中心点 与（待测角的）顶点 重合 （2）（量角器的其中一条）0 刻度线 与（待测角的）一条边 重合 （3）角的另一条边所对应的（与 0 刻度线同圈的）刻度就是这个角的度数8、角的大小比较：角的大小与角的两边画出的长短没有关系。角的大小要看两条边叉开的大小，叉开得越大，角越大。9、一副（两个）三角板的度数：一副三角板有 2 个直角，4 个锐角一个三角板有 1 个直角，2 个锐角，2：00 或 14：00，时针和分针夹角为 2 个整点，即 302=603：00 或 15：00，时针和分针夹角为 3 个整点，即 303=904：00 或 16：00，时针和分针夹角为 4 个整点，即 304=1205：00 或 17：00，时针和分针夹角为 5 个整点，即 305=150且这两个锐角互为余角。10、余角、补角和对顶角：（1）如图，3+4=90，若3=25，则4=9025=65（2）如右图，1+2=180，若1=25，则2=18025=155（3）两条直线相交形成 4 个角，其中“两边相对，共用顶点”的两个角“互为对顶角”，对顶角度数相等。如右图，1 和3 互为对顶角，若1=25，则3=1=2511、角的分类：（1）锐角：大于 0且小于90的角是锐角（2）直角：等于 90的角是直角（3）钝角：大于 90且小于180的角是钝角（4）平角：等于 180的角是平角（5）周角：等于 360的角是周角12、钟面时间问题（求时针与分针的夹角）：因为周角是 360，而钟面上有12 个整点刻度，所以每两个整点刻度间的夹角是 36012=3013、角的绘制方法：A、用量角器画角（如画 65的角）（1）画一条射线，作为角的顶点和一条边（2）使量角器的中心和射线的端点重合，0 刻度线和射线重合（3）在量角器（与 0 刻度线同圈的）65刻度线的地方点一个点（4）以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线（因为“两点确定一条直线”，用端点和刚画的点来确定另外一条边的位置）（5）画小弧线，标注B、用三角板画角（如画 75的角）画角方法和用量角器的相同，只是标注方法不同，需要标出这个角是由哪几个三角板上的角组合（加或减）而成的。注：用三角板可画出所有 15倍数的角，如 75、105、120、135、150和 165而用“一副（两个）三角板”可以“拼出”75、105、120、135、150这几个角14、角的检验方法：根据角的分类来判断是否正确，即在测量和画图之后，目测角的类型并估计度数范围，从而验证测量或画图结果是否正确。非常简单而重要的步骤，需要多熟悉各种度数的角的大小，并多加练习！数线段：端点数图形线段数规律101 点不成线段21新添的点和原来 1 个点形成 1 条，0+1=133新添的点和原来 2 个点形成 2 条，1+2=346新添的点和原来 3 个点形成 3 条，3+3=6510新添的点和原来 4 个点形成 4 条，6+4=10数射线：端点数图形射线数规律00没有端点，是一条直线121 个端点，往两边延伸，成为 2 条射线242 个端点，往两边延伸，成为 4 条射线363 个端点，往两边延伸，成为 6 条射线数角：射线数图形角的数量规律101 条射线不构成角21新添的射线和原来 1 条射线形成 1 个角，0+1=133新添的射线和原来 2 条射线形成 2 个角，1+2=346新添的射线和原来 3 条射线形成 3 个角，3+3=6510新添的射线和原来 4 条射线形成 4 个角，6+4=1015、直线、射线和线段的字母标注：注：在直线上取两点，也可以用两个大写字母表示这条直线，如上面的直线也可以叫做“直线 CD”第三单元第三单元 三位数乘两位数三位数乘两位数1、两位数乘一位数的口算乘法：（如 163）把 16 分成 10 和 6，先算10330，再 6318，最后算 301848，所以 16348。2、三位数（末尾有 0）乘一位数的口算乘法：（如 1603）把末尾 0 的部分先不看，看成 163，口算出得 48，再在得数的末尾添上所有去掉的 0，160 末尾有1 个 0，所以添上 1 个 0 得 480，所以 1603480。3、找规律计算（P48）：注意找到题目中间隐藏的提示“（）（）”，即几个一样的数相加。第一行，观察，发现 130 是中间数，140 把 10 给 120 后，变成了 2 个 130，以此类推，一共是 122=5（个）130，即 110120130140150 1305第二行，观察，发现没有中间的数，但 240 把 5 给 230 后变成 2 个 235，以此类推，一共是 22=4（个）235，即 220230240250 23544、笔算乘法的方法：（1）观察横式列竖式：如 14512=列出竖式，把位数小的写在下面，数位对齐（2）个位算起依次乘：先算 1452 得 290，因为这里的 2 在个位上，表示 2 个一，所以 290 从个位写起。再算 1451 得 145，因为这里的 1 在十位上，表示 1 个十，所以 145 从十位写起。（3）对齐数位再相加：把前面两步得出的结果按照数位对齐再进行相加，就得到正确的结果啦！5、末尾有 0 的笔算乘法：如 16030=（1）先将末尾的 0 的部分和“非 0”部分分别对齐（2）用虚线隔开，虚线要往下延长到得数的地方（3）把“非 0”部分按照原来的方法算出得数（4）把末尾的 0 的部分的 0 添在得数末尾，一共有几个 0 就添几个 0。6、速度关系及“复合单位表示法”：P54每小时行 60 千米 也可以说成是 速度为 60 千米/时每分钟行 225 米 也可以说成是 速度为 225 米/分关系式：速度 时间 路程所以 速度 路程 时间 时间 路程 速度做应用题时应特别注意速度的单位，例如：王叔叔从县城出发去 120 千米外的王庄乡送化肥，用了 2 小时，问平均每小时行多少千米？P56 问题是“平均每小时行多少千米？”问的是速度，所以要知道路程和时间。120 2 60（千米/时）求的是速度，单位也要是速度！7、笔算乘法应该注意的要点和步骤：（1）估算：先估算出大概的答案（2）计算：在草稿本或试卷上计算，要注意 “数位对齐”、“满十进一”（3）验算：如果和估算差距大，或者有时间，一定要用不同的方法验算一下！（4）检查：看看横式有没有把得数写上，看看末尾的 0 有没有添够8、验算的方法：乘法验算用交换因数，但要注意步骤可能会变多，步骤数量取决于下面的因数有几个“非 0”的数字如下面验算的算式，由于 145 有 3 个数字，所以要算 3 步：原式：验算9、“买 N 送一”问题的解决：例：每棵树苗 16 元，买 3 棵送 1 棵。一次买 3 棵，每棵便宜多少钱？P48解决方法 1：先算实际付的钱数：163=48（元）再算实际得到的棵数：31=4（棵）接着算平均每棵实际付的钱数：484=12（元）最后算每棵便宜的钱数：1612=4（元）解决方法 2：先算总共便宜的钱数：161=16（元）再算总共得到的棵数：31=4（棵）最后算每棵平均便宜多少钱：164=4（元）10、“够不够”问题的解决：例 1：一个计算器 24 元，李老师要买 4 个。他带了 100 元，钱够吗？P48计算过程除了应该算出共需多少钱 244=96（元）之外，还应当与带来的钱数进行比较，即 10096 ，不用带单位但要注意同样单位的才能比较。例 2：小军家距离学校 420 米，小军上学时平均每分钟走 62 米，6 分钟内他能走到学校吗？这题一看 62 不是整十数，当然不会去用除法啦，用我们学过的乘法最简单：解：626=372（米）372420 答：6 分钟内他不能走到学校。11、积的变化规律：两个数相乘，其中一个因数不变，另一个因数乘以（或除以）几（0 除外），积也乘以（或除以）几。如：由 850=400 可以推出以下算式：12、乘法估算方法：一般估算方法：将其中一个因数或两个因数“四舍五入”成相近的整十、整百数，简化计算如：3278？可以将 32 估算成 30，再将 78 估算成 80，最后写出乘积 2400。应用题中的估算：在解决问题中，题目的条件常常会给估算带来限制，要分清什么时候只能估大，什么时候只能估小。例：四年级同学去秋游。每套车票和门票 49 元，一共需要 104 套票。问老师应该准备多少钱买票？P60因为是带钱买票的问题，所以钱一定要带够，只能估大。因为把 49 估成 50 已经很好算了，再把 104 估大差距就更大了，所以只估算 49。提示：估算在应用题中的标志词是“大约”。估算过后不要忘记单位转换，有的应用题算出来数字很大，其实问题的单位已经变了！（如 P61 练习十第 2 题：刘宁走一步的平均长度是 62 厘米，他从操场这头走到那头共走了 252 步。操场大约长多少米？）第四单元 平行四边形和梯形1、同一平面内两条直线的位置关系：2、平行：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。P65平行的标注方法有以下两种：3、垂直：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。P65垂直的标注最重要的就是直角符号，一定要记得标注，如果需要用字母表示则分别用两个字母代表一条直线，写出关系式。4、三条直线的位置关系：（1）如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也一定互相平行，这叫做平行的传递性。（2）在同一个平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线也一定互相平行。这是画平行线的原理。5、画垂线和平行线的方法：靠、移、画、验（一定要看书、操作一下！）P66、676、点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。P66 注意：缩句后变成垂直线段垂直线段 的 长长度度 叫 距离。7、平行线的性质：两条平行线之间的距离处处相等。这个性质可以用来证明长方形对边相等且平行。8、画长方形和正方形时的要点：用垂直和平行的方法画图，注意标注：长方形要标出一组邻边的长度，正方形要标出一条边的长度（如果有的话），再标上直角（3 个及以上）或者在旁边写出“长方形”、“正方形”。注意：长方形标出四个直角即可，利用“同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”很容易证明出它的两组对边分别平行（所以不用标注平行符号）；正方形不仅要标出四个直角，还要标注“四边相等”这个特性。如下图当然如果用含字母的等式表示相等就更好了，在五年级会学到，这里不作要求。至少要学会右边这两种依据特性标注的方法。9、用字母表示图形：一个大写的英文字母表示一个点，两个大写的英文字母可以表示线段、射线、直线，射线必须从端点字母开始。P6910、平行四边形和梯形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形。P7111、菱形（考试不要求）：四条边都相等的四边形是菱形，菱形是特殊的平行四边形。正方形是特殊的菱形，特殊在“正方形是有四个直角的菱形”。正方形是长方形“有四个直角”和菱形“四边相等”特性的结合体，是最特殊的平行四边形，也叫做“正四边形”。12、集合图：用集合图来表示图形之间的关系（右边是包括菱形和特殊梯形的集合图，不要求）13、四边形的特性：四边形具有“容易变形”的特性，或叫做“不稳定性”。P7214、底和高：从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。从梯形上底上的一点到下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高，梯形的底是固定的两条边上底和下底。15、特殊的梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形，只有一条腰和上、下底垂直的梯形叫做直角梯形。等腰梯形不可能是直角梯形，直角梯形也不可能是等腰梯形。16、四边形内角和：四边形的内角和都是 360。可以用把四边形分成两个三角形的方法来证明（三角形的内角和都是 180）本学期不要求证明，知道即可。17、图形的裁剪：（1）平行四边形：平行四边形可以被裁剪成两个完全相等的三角形、平行四边形或和梯形方法：先确定中心点，两条对角线的交点就是中心点，然后画一条通过中心点的虚线，这样就一定能把这个平行四边形平均分成两个完全一样的图形。（2）梯形：梯形可以被裁剪成两个梯形、一个平行四边形和一个三角形、两个三角形18、图形的拼组（请自己画画看）：（1）两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。（2）两个完全一样的平行四边形可以拼成一个平行四边形。（3）两个完全一样的长方形可以拼成一个长方形。（4）两个完全一样的正方形可以拼成一个长方形。（5）两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。（6）两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形或平行四边形。第五单元 除数是两位数的除法1、除法的意义：如果说乘法是几个相同的数连加的话，除法是什么意思？为什么要用除法？除法表示从总数中连续减去相同的数。在以下三种情况的时候需要用到除法：（1）求总数中含有几个每份的量，如 求 180 里有几个 3018030（2）求从总数中能连续减去几次每份的量，如 求 46 连续减去几个 2 后为 0462（3）求一个数是另一个数的几倍，如 求 160 是 40 的几倍16040（4）求将总数平均分成几份，如 求把 240 平均分成 6 份，每份是多少2406其中，（1）（2）（3）类似，都是求“包含”的关系。2、除法中的数量关系（非常重要！）：被除数除数商余数由于除法和乘法相通，可以互相转换，所以还主要具有以下几个数量关系 被除数除数商余数 除数（被除数余数）商 商（被除数余数）除数 余数被除数除数商 请列几个算式自己理解巩固3、两位数除以两位数（末尾都有 0）的口算乘法：（如 16020）把 160 和 20 末尾的 0 各去掉一个，相当于算 162，记作 160208。理由见“商不变规律”4、“除以”和“除”的不同：读法、意思有不同，常作为考点如 18030 读作：一百八十除以三十，或 三十除一百八十易错考题：（1）列式计算：多少除三十等于六？错误列式为？30=6 306=180 正确列式为 30？=6 3065 （2）列式计算：一个数除 458 得 11，余数是 18，这个数是多少？错误列式为？458=1118 4581118=5056正确列式为 458？=1118 （45818）11=405、笔算除法的方法：（1）根据横式列竖式：如 57618=，列出竖式，把被除数写在“”横线下方，把除数写在“”曲线外边，如右图（2）除数是几位数就先看被除数的前几位，如上题，除数是 18，就要先用被除数的前两位 57 去除以 18。（3）被除数的前两位够除，商就写在第二位上，如果被除数的前两位不够除，就要看前三位，商则相应地写在第三位上，即“算到第几位商就写在第几位的上面”。（4）5718，可以把除数看成接近的整十数以方便口算出商，57183，60 20 把商写在 7 的上方，如右图。（5）每算出一位商，就要用这位商乘以除数，写在下面（从这位商写起），表示从被除数中扣除的部分。如 31854，从 3 写起，写在下面，如右图。（6）每乘一次，就相当于要从被除数中扣除一次，得出这次扣除的余数。每得出一次余数，必须要比除数小，否则说明还能再扣除（商小了）。（7）算出一位商后如果被除数还没有除尽，则将下一位被除数落下来，继续除以除数，并将商写在这一位的上面。（8）重复（3）（7）的步骤，直到被除数的最后一位上的商都算出来，如右图。注意：其中红色字体是思考过程，不用写出。（9）最后根据竖式补充完横式，注意要写余数。6、笔算除法竖式中的 0 的特殊位置：在笔算除法中，如果这一步算出的余数是 0，而被除数下一位落下来的数字也是 0，则不落 0，直接把余数写在这一位上，而下一位商直接写 0。如右图，93 减去 93 余数是 0，而下一位也是 0，则 0 写在 3 的下面，同时注意在商的下一位直接补 0 占位。但如果被除数下一位不是 0，这一位余数的 0 不写，而应当把被除数下一位上的数字落下来继续计算。7、直接判断商是几位数的方法：（1）除数是几位数，就先看被除数的前几位（2）如果够除，商就从被除数的第几位写起（3）如果不够除，商就从被除数的下一位写起典型考题：3853，要使商是一位数/两位数，可以填几？正确答案：如果要使商是一位数，说明前两位不够除，即“353”，可以填14 如果要使商是两位数，说明前两位够除，即“353”，可以填 598、商的变化规律：（1）在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以）几（0 除外），商反而反而要除以（或乘以）相同的数。（2）在除法算式中，除数不变，被除数乘以（或除以）几（0 除外），商也也要乘以（或除以）相同的数。（3）在除法算式中，被除数和除数同时乘以（或除以）相同的数（0 除外），商不变。这叫做“商不变规律”（或商不变性质）。具体见下表，简便记法：“被除数不变时，除数和商是反向变化的，其余都是同向被除数不变时，除数和商是反向变化的，其余都是同向变化的变化的”被除数除数商不变乘以几（除数不能是 0）除以除以反而反而 几乘以乘以几（除数不能是 0）除以不变乘以也也 几除以乘以 几（除数不能乘以也也 几（除数不能不变是 0）除以是 0）除以9、运用商不变规律简化竖式：当被除数和除数末尾都有 0 时，可以运用商不变规律简化竖式，方法、步骤如下：（1）根据横式列出竖式（2）在被除数和除数末尾划掉相同个数的 0（相当于同时除以10、100、1000，商不变）（3）按照划掉按照划掉 0 后的竖式进行计算后的竖式进行计算（4）得出的余数如果不是 0，还要再添上 0，原来各去掉几个就添上几个如下：左图三个算式是列式方法，右边两个算式是运用前后的比较10、笔算除法应该注意的要点和步骤：（1）确定商的位数、估算：先确定商的位数并估算出大概的答案，作为验算、检查的依据（2）计算：在草稿本或试卷上计算，要注意“每步算什么”、“数位对齐”、“余数要比除数小”（3）验算：如果和估算差距大，或者有时间，一定要用不同的方法验算一下！（4）检查：看看横式有没有把得数写上，看看末尾的 0 有没有添上11、估算的方法：先将除数看成近似的整十数，再将被除数看成除数估成的整十数的倍数，以此估算出商。如右图12、笔算除法验算的方法：笔算除法的验算一定要用乘法，不可用除法验算！用除数与商相乘，再加上余数，看是否等于被除数。13、“算错了”问题的解决：例：小冬在计算一道除法题时，把除数 36 写成了 63，结果得到的商是 26，余数是18。你知道正确的商是多少吗？丛书 P44解决方法：要求正确的商，就要知道原来的被除数是几，而“被除数除数商余数”，可以根据错误的算式算出正确的被除数 6326181656，再算出正确的商 16563646。14、“余数和除数”问题的解决：抓住关键余数要比除数小、除数要比余数大例 1：3916，最小是几，这时是几？解决方法：除数要比余数大，所以大于 16 的最小整数是 17，这时173916679例 2：2546，最大是几，这时是几？解决方法：余数要比除数小，所以小于 25 的最大整数是 24，这时2546241174例 3（不要求，不会考）：26417，原式是几？解决方法：因为“被除数余数除数商”，所以除数商26417247，而247 只能分解成 1319，又因为 1317，所以 13 不能做除数，原式是264191317。15、解决问题应当注意的要点：（1）常考的数量关系单价数量总价 速度时间路程 工作效率工作时间工作总量单价总价数量 速度路程时间（注意速度单位！）效率工作量时间 其中速度单位是常考点，如：叔叔开车从 A 地送货到 B 地，去时每小时行 60 千米，用了 5 小时，回来时少用了 2 小时，问回来时和来回的平均速度是多少？解决方法：关键词回来、来回、平均速度求回来的平均速度，速度路程时间 先算出两地路程，也就是去时的路程，同时也是回来时的路程 605300（千米）再算出回来时的时间 523（小时）最后算出回来时的速度，注意速度单位 3003100（千米/时）求来回的平均速度，平均速度总路程总时间 先算出来回路程 3002600（千米）再算出来回时间 538（小时）最后算出来回平均速度，注意速度单位 600875（千米/时）注意：总的平均速度并不一定等于去时速度和回来速度的平均数，如 75（60100）280（2）倍数问题的技巧例题：4 箱蜜蜂一年可以酿 300 千克蜂蜜。小林家养了这样的蜜蜂 12 箱，一年可以酿多少千克蜂蜜？解法一：可以先算出每一箱蜜蜂一年可以酿多少蜂蜜（即求出 1 倍的量）300475（千克）再算 12 箱蜜蜂一年可以酿多少蜂蜜 7512900（千克）解法二：也可以算 12 箱是 4 箱的几倍 1243 倍数作为单位不用写出来 再算出同样时间内蜜蜂能酿出的蜂蜜 3003900（千克）（3）最优方案（用同样的钱买最多的商品）课本 88 页第 12 题 解决方法：先看哪种方案更优，尽量使用这种方案来买，最后如果有剩余再考虑其他方案例题：商场卖衬衫，一件 29 元，两件 49 元，老师有 185 元，最多可以买多少件？还剩几元？解决方法：比较两种方案，“两件 49 元”的更便宜（一件只要不到 25 元），所以先尽量用“两件 49”的方法买，可以买 3 套（共 6 件），算式为 185493（套）38（元），236（件），发现最后的余数还可以买一件 29 元的，38299（元），617（件）。所以最后可以买到 7 件，剩余 9 元。第六单元 统计1、画统计图的原则：“图表合一”，即统计表中有的项目、数值、单位、名称都应该在统计图中反映出来，而且应该一一对应，不得私自改变。2、条形统计图的六要素：标题、横轴、纵轴、条形、数值、图例。3、由统计表画统计图的步骤和注意要点：（1）观察表中项目，确定数据项（一般为数量）和类别项（小组名称、年份、时间等）（2）确定横纵轴、刻度以及图的类型（横向或纵向），在确定刻度的过程中要观察数据，找到数据的最小值和最大值，如果数据都在离 0 很远的集中区域，可以在轴上用折线代替相同的部分。（3）画条形，标数据，注意条形的高度要符合刻度，纵向统计图的顺序是从左往右，横向统计图的顺序是从下往上。（4）添上图例，根据图例补充完条形的条纹以示区别。（5）标上标题。（6）检查六要素是否齐全。第七单元 数学广角1、烙饼问题的解决：一般的解决方法：公式：烙饼总时间每次烙的时间（2烙饼总数）每次烙的饼数如每次可以同时烙 3 张饼，每次要烙 5 分钟，要烙 9 张饼的时间是 5（29）330（分）特殊的解决方法：如果用公式除不尽的话，就要先算出烙的次数，再乘每次烙的时间。如每次可以同时烙 3 张饼，每次要烙 5 分钟，要烙 7 张饼的话，要先算出烙的次数（27）34 次2 面，即 415 次，共 25 分钟。问题本质：烙饼问题其实是统筹方法的一个分支，其实质是利用好烙锅的容量空间，使每次烙的效率最高。例题：妈妈星期天在家里做早点，要煎 5 个鸡蛋，每次只能煎 2 个鸡蛋，两面都要煎，每面要 3 分钟。最少用多少时间？建议的解题格式：把 5 个鸡蛋分成 3 个、2 个来煎，每个鸡蛋分 A、B 面，采用以下表格表示第一次第二次第三次第四次第五次ABABABABAB 总时间：3【（25）2】15（分钟）2、统筹安排时间问题：原则有两个：其一，“分清先后”找出事物发生的必然先后顺序；其二，“同时进行”在做不需要人照看的事的同时做其他事，这样就可以节约时间。例题：丛书 P57,1 小梅每天早上起床后要做下面几件事。起床穿衣：3 分钟 整理被褥：2 分钟 刷牙：2 分钟洗脸：1 分钟 热牛奶：6 分钟 吃早餐：6 分钟问：小梅怎样做才能最节省时间，最少需要多少时间？建议的解题格式：步骤一：“分清先后”，需要先穿衣服才能做别的事，以防受凉感冒；需要先刷完牙、洗完脸干干净净地才能吃早餐；早餐包括牛奶，也必须先热完牛奶才能吃到早餐。步骤二：“同时进行”，热牛奶不用人照看，同时可以做别的事。所以在热牛奶的 6 分钟做整理被褥、刷牙、洗脸这几件事。用线段图表示为：3、排队的学问：先快后慢，先时间短的再时间长的，这样可以使总的等待时间最短。例题：丛书 P58,1 三辆车同时一个加油站加油，大卡车需要 8 分钟，面包车需要 4 分钟，小轿车需要 3 分钟，怎样安排加油的顺序最合理？等候的时间最少是多少分钟？建议的解题格式：【】部分内的为解释和思考过程 【因为其中一辆车加油的时候，三辆车都同时在等待，所以先让时间最少的小轿车加油，再让时间中等的面包车加油，最后让大卡车加油，以使总的等待时间最短。】等候时间等候时间/分钟分钟第一次第一次第二次第二次第三次第三次大卡车大卡车348面包车面包车34小轿车小轿车3 【在小轿车加油时，面包车与大卡车都要等待 3 分钟；在面包车加油时，小轿车已经加油完开走了；大卡车要等待 4 分钟；在大卡车加油时，其余两辆车都已经加油完走了。大卡车等待时间 34815（分钟），面包车等待时间 347（分钟），小轿车等待时间 3 分钟。】所以，按照小轿车所以，按照小轿车面包车面包车大卡车的加油顺序，总的等待时间最少，是大卡车的加油顺序，总的等待时间最少，是157325（分钟）（分钟）【也可以这么算，小轿车加油时，三辆车都等待了 3 分钟，共 339（分钟），面包车加油时，面包车和大卡车都等待了 4 分钟，共 428（分钟），最后大卡车独自等待了 8 分钟，总的等待时间为 98825（分钟）】4、田忌赛马（对策论）：找到所有可能的对策，从中找出可以取胜的对策。可以将齐王的三种马的能力值设定为 9、7、5，而田忌的三种马的能力值都分别少一些，为 8、6、4。田忌可能的对战齐王局面如下第一次第二次第三次赢的局数/输的局数胜利者齐王975田忌8640/3齐王田忌8461/2齐王田忌6841/2齐王田忌6481/2齐王田忌田忌4862/1田忌田忌田忌4681/2齐王所以，在田忌的六种策略中，只有一种能够取胜，即用下等马（4）对战齐王的上等马（9），用上等马（8）对战齐王的中等马（7），再用中等马（6）对战齐王的下等马（5），取得三盘两胜一败的结果，最终取得胜利。5、取棋子问题的策略（相似问题为课本 P116 数学游戏）问题的提出：在一堆棋子（20 粒）中，两个人轮流取，一次可以取 1 粒或 2 粒棋子，不能不取或多取，取到最后一粒棋子的为胜利者。问第一个取的人应采取怎样的策略，保证自己的胜利？问题的解决：要取到第 20 粒，不能取到第 19 粒或第 18 粒，否则会让对方获胜，所以要取得第 17 粒棋子，这时对方取 1 粒我方就取 2 粒，对方取 2 粒我方就取 1粒，这样就能获胜。同理，要取得第 17 粒，就要取到第 14 粒、11 粒、8 粒、5 粒、2 粒，所以，第一次取的时候直接取 2 粒，以后对方 1 粒我方就 2 粒、对方 2 粒我方就 1 粒，这样就一定能取得最后的胜利。问题的本质：把复杂的问题简单化，找到取棋子的规律。在 N 个棋子中，每次可以取 AB 个，要取得最后一个的方法是：要取得第 N个，就要取到第 N（AB）个，以此类推，也就是第一次要取到 N（AB）的余数的那个棋子。如上题，20（21）20362，所以要取到第 2 个才能保证胜利。