高中数学第三章三角恒等变换3.3几个三角恒等式教案苏教版4解析.doc

3．3　几个三角恒等式

教学分析　　　　　
本节主要内容为利用已有的公式进行推导发现．本节的编写意图与特色是教师引导学生发现创造，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三角恒等变换所涉及的问题各种各样，内容十分丰富，我们希望能总结出一些有规律性的数学思想、方法和技巧，提高对三角变换的理性认识．
科学发现是从问题开始的，没有问题就不可能有深入细致的观察．为了让学生经历一个完整的探索发现过程，教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题．这是从数学知识体系的内部发展需要提出问题的方法．用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用．从运算的角度提出问题，还可以帮助学生认识到三角变换也是一种运算，丰富对运算的认识，从而把对三角变换的研究纳入整体的数学体系之中．类比对数运算，由两角和与差的正弦公式易推出积化和差公式．
在推导出了公式sinα＋sinβ＝2sincos以后，可以让学生推导其余的和差化积及积化和差公式．本节后面的练习中之所以用证明的形式给出这个问题，只是为了让学生有一个正确完整的结论．
和差化积、积化和差、万能代换以及半角公式都不要求记忆和运用，要注意不应该加大三角变换的难度，不要在三角变换中“深挖洞”．高考在该部分内容上的难度一降再降几乎不涉及了．
三维目标　　　　　
1．通过类比推导出积化和差与和差化积公式及万能公式．体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．体会三角恒等变换在数学中的应用．
2．通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生数学发现的欲望和信心．
重点难点　　　　　
教学重点：推导积化和差、和差化积公式．
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．
课时安排　　　　　
1课时

导入新课　　　　　
思路1.(复习导入)在前面的几节课中我们学习了两角和与差的三角函数的计算公式，并运用这些公式解决了一些三角函数的化简、求值以及三角恒等式的证明问题，在我们运用三角函数知识解决一些问题的时候，我们也会遇到形如sinα＋sinβ，sinα－sinβ，cosα＋cosβ，cosα－cosβ的形式，那么，我们能否运用角α、β的有关三角函数值表示它们呢？这就是我们本节课所要研究的问题．
思路2.(类比导入)我们知道logam＋logan＝loga(mn)，那么sinα＋sinβ等于什么呢？
推进新课　　　　　

和差化积公式的推导、万能公式的应用．
在引入对数概念以后，我们还研究了它的运算，并得到了一些重要的结论，如logam＋logan＝loga(mn)．
同样，在定义了三角函数以后，我们也应该考虑它的运算，如
sinα＋sinβ＝？
观察和角公式
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，
容易得到
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ.①
由此，有
sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．
①的左边已经是两个正弦的和，因此，只要进行简单的变形，就可以回答sinα＋sinβ＝？这个问题了．
令α＋β＝θ，α－β＝φ，代入①得
sinθ＋sinφ＝2sincos，
从而有sinα＋sinβ＝2sincos.②
为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.从方程角度看这个等式，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成两个未知数．二元方程要求得确定解，必须有两个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ后，解相应地以sinαcosβ，cosαsinβ为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果．
得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与前者没有什么区别．只需做个变换，令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝，β＝，代入①式即得②式．
证明：(1)因为sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，
即sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．
(2)由(1)可得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ.①
设α＋β＝θ，α－β＝φ，那么α＝，β＝.
把α、β的值代入①，
即得sinθ＋sinφ＝2sincos.
类似的还能得到
sinα－sinβ＝2cossin，
cosα＋cosβ＝2coscos，
cosα－cosβ＝－2sinsin.
以上四个公式我们称其为和差化积公式．
教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想，可以总结出在本例的证明过程中，用到了换元的思想，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式变换成θ，φ的三角函数式．另外，把sinαcosβ看作x，cosαsinβ看作y，把等式看作x，y的方程，通过解方程求得x，这就是方程思想的体现．
利用前面所学的三角函数公式还能推出很多有用的恒等式，我们先来探究一个具体问题．
设tan＝t.
(1)求证：sinα＝，cosα＝，tanα＝；①
(2)当t＝2时，利用以上结果求3cos2－2sinα＋sin2的值．
(1)证明：由二倍角公式，得
sinα＝2sincos＝＝＝，
tanα＝＝.
再由同角三角函数间的关系，得
cosα＝＝＝.
(2)解：3cos2－2sinα＋sin2＝2cos2＋1－2sinα＝2＋cosα－2sinα
＝2＋－
＝＝－.
公式①称为万能代换公式，利用万能代换公式，可以用tan的有理式统一表示α角的任何三角函数值．图1中的直角三角形可以帮助你更好地理解万能代换公式．

图1

思路1
例1已知sinx－cosx＝，求sin3x－cos3x的值．
活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解．由于(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3＝a3－b3－3ab(a－b)，∴a3－b3＝(a－b)3＋3ab(a－b)．解完此题后，教师引导学生深挖本例的思想方法，由于sinxcosx与sinx±cosx之间的转化，提升学生的运算、化简能力及整体代换思想．本题也可直接应用上述公式求解，即sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)3＋3sinxcosx(sinx－cosx)＝.此方法往往适用于sin3x±cos3x的化简问题．
解：由sinx－cosx＝，得(sinx－cosx)2＝，
即1－2sinxcosx＝，∴sinxcosx＝.
∴sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)(sin2x＋sinxcosx＋cos2x)
＝(1＋)＝.
点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值，注意公式的灵活运用和化简的方法.
变式训练
　已知sinθ＋cosθ＝，且≤θ≤，则cos2θ的值是__________．
答案：－
例2已知＋＝1，求证：＋＝1.
活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是将A、B的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有A、B角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类．从结构上看，已知条件是a2＋b2＝1的形式，可利用三角代换．
证法一：∵＋＝1，∴cos4Asin2B＋sin4Acos2B＝sin2Bcos2B.
∴cos4A(1－cos2B)＋sin4Acos2B＝(1－cos2B)cos2B，
即cos4A－cos2B(cos4A－sin4A)＝cos2B－cos4B.
∴cos4A－2cos2Acos2B＋cos4B＝0.
∴(cos2A－cos2B)2＝0.∴cos2A＝cos2B.∴sin2A＝sin2B.
∴＋＝cos2B＋sin2B＝1.
证法二：令＝cosα，＝sinα，
则cos2A＝cosBcosα，sin2A＝sinBsinα.
两式相加得1＝cosBcosα＋sinBsinα，即cos(B－α)＝1.
∴B－α＝2kπ(k∈Z)，即B＝2kπ＋α(k∈Z)．∴cosα＝cosB，sinα＝sinB.
∴cos2A＝cosBcosα＝cos2B，sin2A＝sinBsinα＝sin2B.
∴＋＝＋＝cos2B＋sin2B＝1.
点评：要善于从不同的角度来观察问题，本例从角与函数的种类两方面观察，利用平方关系进行了合理消元．
思路2
例题 证明＝tan(＋)．
活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导．注意式子左边包含的角为x，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角，三角函数的种类为正切．
证法一：从右边入手，切化弦，得
tan(＋)＝＝＝，由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos＋sin，得
＝.
证法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得
＝＝.
由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos，得
＝＝tan(＋)．
点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.
变式训练
　求证：＝.
分析：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于＝，此式右边就是tan2θ.
证明：原等式等价于＝tan2θ.
而上式左边＝＝＝＝tan2θ＝右边．∴上式成立，即原等式得证.

1．若sinα＝，α在第二象限，则tan的值为(　　)
A．5 B．－5
C. D．－
2．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
3．已知sinθ＝－，3π<θ<，则tan＝__________.
答案：
1．A　2.D　3.－3

1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明．
2．教师画龙点睛：本节学习的数学方法：公式的使用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本手段．

课本复习题9、10.

1．本节主要学习了怎样推导半角公式，积化和差，和差化积公式，在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形．还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等．
2．在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查．特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用．

一、1.一道给值求角类问题错解点击．
解决给值求角这类问题时，要注意根据问题给出的三角函数值及角的范围，选择适当的三角函数，确定所求角的恰当范围，利用函数值在此范围内的单调性求出所求角．解答此类问题一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，常见的错误为不根据已知条件确定角的范围而盲目求值，造成增解．
例题：若sinα＝，sinβ＝，α、β均为锐角，求α＋β的值．
错解：∵α为锐角，
∴cosα＝＝.
又β为锐角，
∴cosβ＝＝.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝.
∵α，β均为锐角，
∴0°<α＋β<180°.
∴α＋β＝45°或135°.
点评：上述解法欠严密，仅由sin(α＋β)＝，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的．但题设中sinα＝<，sinβ＝<，使得0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．事实上，由0°<α＋β<180°，应选择求cos(α＋β)＝(∵余弦函数在此范围内是单调的)，易求得cos(α＋β)＝，则α＋β＝45°，因此，解决给值求角这类问题一般分三步：第一步是确定角所在的范围；第二步是求角的某一个三角函数值(要尽量使所选择的三角函数在所确定的范围内单调)；第三步是得到结论，求得所求角的值．
2．如何进行三角恒等变式的证明．
三角恒等式证明的基本方法：
师：如何利用同角三角函数的基本关系式对三角恒等式进行证明呢？
(1)可从一边开始，证得它等于另一边，一般是由繁到简．
(2)可用左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)可采用切割化弦，将其转化为所熟知的正、余弦．
(4)可用分析法，即假定结论成立，经推理论证，找到一个显然成立的式子(或已知条件)．
(5)可用拼凑法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异，简言之，即化异求同．
(6)可采用比较法，即“＝1”或“左边－右边＝0”．
证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，就是有目的地进行化简，因此，在证明时要注意将上述方法综合起来考虑，要灵活运用公式，消除差异，其思维模式可归纳为三点：
(1)发现差异：观察角、函数、运算结构的差异；
(2)寻求联系：运用相关公式，找出转化差异的联系；
(3)合理转化：选择恰当的公式，实现差异的转化．
二、备用习题
1．已知tanx＝－3，则sin2x＝________，cos2x＝________.
2．已知tanα＝2，则cos2α等于(　　)
A．－ B．±
C．－ D．±
3．下列各式化成和差的形式分别是：
(1)sin(＋2x)cos(－2x)；
(2)cossin.
4．设α、β≠kπ＋(k∈Z)，且cos2α＋sin2β＝0.求证：tan2α＝2tan2β＋1.
5．已知△ABC的三个内角A、B、C满足A＋C＝2B，且＋＝－，试求cos的值．
6．不查表求值： tan6°tan42°tan66°tan78°.
参考答案：
1．－　－　2.C
3．(1)＋sin4x；(2)(sinα－sinβ).
4．证明：∵cos2α＋sin2β＝0,
∴＋＝0，即＋＝0.
化简得tan2α＝2tan2β＋1.
5．解：由题设条件，知B＝60°，A＋C＝120°，
设＝α，则A＝60°＋α，C＝60°－α.
代入＋＝－，
可得＋＝－2，
即＋＝－2，
可化为4cos2α＋cosα－3＝0，
解得cosα＝或－(舍去)．
∴cos＝.
6．解：原式＝
＝
＝
＝
＝＝1.
10