高中数学必修5--第二章《数列》复习知识点总结与练习(一).doc

高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习（一）
一．数列的概念与简单表示法
知识能否忆起
1．数列的定义、分类与通项公式
(1)数列的定义：
①数列：按照一定顺序排列的一列数．
②数列的项：数列中的每一个数．
(2)数列的分类：
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
an＋1>an
其中
n∈N*
递减数列
an＋1<an
常数列
an＋1＝an

(3)数列的通项公式：
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
2．数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．
1.对数列概念的理解
(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．
(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．
2．数列的函数特征
数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．

3.考点
（一）由数列的前几项求数列的通项公式
[例1]　(2012·天津南开中学月考)下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是(　　)
A．an＝1　　　　　　　　　 B．an＝
C．an＝2－ D．an＝
[自主解答]　由an＝2－可得a1＝1，a2＝2，
a3＝1，a4＝2，….
[答案]　C
由题悟法
1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想
以题试法
写出下面数列的一个通项公式．
(1)3,5,7,9，…；
(2)，，，，，…；
(3)3,33,333,3 333，…；
(4)－1，，－，，－，，….
解：(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.
(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝.
(3)将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，….
所以an＝(10n－1)．
(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，
所以an＝(－1)n·，也可写为
an＝
（二）由an与Sn的关系求通项an
已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：
(1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．
[例2]　已知数列{an}的前n项和Sn，根据下列条件分别求它们的通项an.
(1)Sn＝2n2＋3n；(2)Sn＝3n＋1.
[自主解答]　(1)由题可知，当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋3×1＝5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1.
当n＝1时，4×1＋1＝5＝a1，故an＝4n＋1.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.
当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，
故an＝
以题试法
(2012·聊城模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，则＝(　　)
A.　　　　　　　　　　　　　 B.
C. D．30
解析：选D　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，则a5＝＝.
（三）数列的性质
[例3]　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20.
(1)n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)n为何值时，该数列的前n项和最小？
[自主解答]　(1)因为an＝n2－21n＋20＝2－，可知对称轴方程为n＝＝10.5.又因n∈N*，故n＝10或n＝11时，an有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.
(2)设数列的前n项和最小，则有an≤0，由n2－21n＋20≤0，解得1≤n≤20，故数列{an}从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小．
由题悟法
1．数列中项的最值的求法
根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数an＝f(n)，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值．
2．前n项和最值的求法
(1)先求出数列的前n项和Sn，根据Sn的表达式求解最值；
(2)根据数列的通项公式，若am≥0，且am＋1<0，则Sm最大；若am≤0，且am＋1>0，则Sm最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.
以题试法
3．(2012·江西七校联考)数列{an}的通项an＝，则数列{an}中的最大值是(　　)
A．3 B．19
C. D.
解析：选C　an＝，由基本不等式得，≤，由于n∈N*，易知当n＝9或10时，an＝最大．
二．等差数列及其前n项和
知识能否忆起
一、等差数列的有关概念
1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．
二、等差数列的有关公式
1．通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
2．前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.
三、等差数列的性质
1．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则am＋an＝ap＋aq.
2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd.
3．若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为n2d.
4．等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当a1<0时前n项和Sn有最小值．d<0时为递减数列，且当a1>0时前n项和Sn有最大值．
5．等差数列{an}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成Sn＝An2＋Bn，则A＝，B＝a1－，当d≠0时它表示二次函数，数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差数列的充要条件．
1.与前n项和有关的三类问题
(1)知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．
(2)Sn＝n2＋n＝An2＋Bn⇒d＝2A.
(3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．
2．设元与解题的技巧
已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；
若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．

考点
等差数列的判断与证明
[例1]　在数列{an}中，a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
(2)设bn＝(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列．
[自主解答]　(1)∵a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)，∴a2＝2a1＋22＋3＝1，a3＝2a2＋23＋3＝13.
(2)证明：对于任意n∈N*，
∵bn＋1－bn＝－＝[(an＋1－2an)－3]＝[(2n＋1＋3)－3]＝1，
∴数列{bn}是首项为＝＝0，公差为1的等差数列．
由题悟法
1．证明{an}为等差数列的方法：
(1)用定义证明：an－an－1＝d(d为常数，n≥2)⇔{an}为等差数列；
(2)用等差中项证明：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}为等差数列；
(3)通项法：an为n的一次函数⇔{an}为等差数列；
(4)前n项和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝.
2．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．
以题试法
1．已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6.
(1)求Sn；
(2)证明：数列{an}是等差数列．
解：(1)设Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)，
则
解得A＝2，B＝－4，C＝0.故Sn＝2n2－4n.
(2)证明：∵当n＝1时，a1＝S1＝－2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－4n－[2(n－1)2－4(n－1)]＝4n－6.
∴an＝4n－6(n∈N*)．an＋1－an＝4，
∴数列{an}是等差数列.
等差数列的基本运算

典题导入
[例2]　(2012·重庆高考)已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值．
[自主解答]　(1)设数列{an}的公差为d，由题意知
解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.
(2)由(1)可得Sn＝＝＝n(n＋1)．
因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以a＝a1Sk＋2.
从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0，
解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.
由题悟法
1．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝＝na1＋d，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．
2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．
以题试法
2．(1)在等差数列中，已知a6＝10，S5＝5，则S8＝________.
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－＝1，则公差为________．
解析：(1)∵a6＝10，S5＝5，
∴
解方程组得
则S8＝8a1＋28d＝8×(－5)＋28×3＝44.
(2)依题意得S4＝4a1＋d＝4a1＋6d，S3＝3a1＋d＝3a1＋3d，于是有－＝1，由此解得d＝6，即公差为6.
答案：(1)44　(2)6
等差数列的性质

典题导入
[例3]　(1)等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项和S9等于(　　)
A．66　　　　　　　　　　　 B．99
C．144 D．297
(2)(2012·天津模拟)设等差数列{an}的前n项和Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝(　　)
A．18 B．17
C．16 D．15
[自主解答]　(1)由等差数列的性质及a1＋a4＋a7＝39，可得3a4＝39，所以a4＝13.同理，由a3＋a6＋a9＝27，可得a6＝9.
所以S9＝＝＝99.
(2)设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得d＝，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.
[答案]　(1)B　(2)A
由题悟法
1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．
2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．
以题试法
3．(1)(2012·江西高考)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
(2)(2012·海淀期末)若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：(1)设两等差数列组成的和数列为{cn}，由题意知新数列仍为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35.
(2)∵an＋1－an＝－3，∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有即
解得≤k≤.∵k∈N*，∴k＝7.故满足条件的n的值为7.
答案：(1)35　(2)B
三．等比数列及其前n项和

[知识能否忆起]
1．等比数列的有关概念
(1)定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：Sn＝

3．等比数列{an}的常用性质
(1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.
特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….
(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列，公比为qk；
数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时q≠－1)；
an＝amqn－m.
1.等比数列的特征
(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
(2)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
2．等比数列的前n项和Sn
(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．
(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误
考点
等比数列的判定与证明

典题导入
[例1]　已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[自主解答]　(1)证明：∵an＋Sn＝n，①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴＝.
∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1，
∴a1＝，c1＝－.
又cn＝an－1，故{cn}是以－为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)可知cn＝·n－1＝－n，
∴an＝cn＋1＝1－n.

在本例条件下，若数列{bn}满足b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，证明{bn}是等比数列．
证明：∵由(2)知an＝1－n，
∴当n≥2时，bn＝an－an－1
＝1－n－
＝n－1－n＝n.
又b1＝a1＝也符合上式，∴bn＝n.
∵＝，∴数列{bn}是等比数列．

由题悟法
等比数列的判定方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
以题试法
1． (2012·沈阳模拟)已知函数f(x)＝logax，且所有项为正数的无穷数列{an}满足logaan＋1－logaan＝2，则数列{an}(　　)
A．一定是等比数列
B．一定是等差数列
C．既是等差数列又是等比数列
D．既不是等差数列又不是等比数列
解析：选A　由logaan＋1－logaan＝2，得loga＝2＝logaa2，故＝a2.又a>0且a≠1，所以数列{an}为等比数列．
等比数列的基本运算

典题导入
[例2]　{an}为等比数列，求下列各值：
(1)a6－a4＝24，a3a5＝64，求an；
(2)已知a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.
解：(1)设数列{an}的公比为q，
由题意得
由②得a1q3＝±8，
将a1q3＝－8代入①中，得q2＝－2(舍去)．
将a1q3＝8代入①中，得q2＝4，q＝±2.
当q＝2时，a1＝1，∴an＝a1qn－1＝2n－1.
当q＝－2时，a1＝－1，∴an＝a1qn－1＝－(－2)n－1.
∴an＝2n－1或an＝－(－2)n－1.
(2)∵a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，
∴或
∴q4＝＝4或.
∴q＝±或q＝±.

由题悟法
1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．
以题试法
2．(2012·山西适应性训练)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{3an}的前n项和．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)．
因为a2，a4，a8成等比数列，
所以(2＋3d)2＝(2＋d)·(2＋7d)，
解得d＝2.
所以an＝2n(n∈N*)．
(2)由(1)知3an＝32n，设数列{3an}的前n项和为Sn，
则Sn＝32＋34＋…＋32n＝＝(9n－1)．
等比数列的性质

典题导入
[例3]　(1)(2012·威海模拟)在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C．1 D．－
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3等于(　　)
A．1∶2 B．2∶3
C．3∶4 D．1∶3
[自主解答]　(1)因为a3a4a5＝3π＝a，所以a4＝3.
log3a1＋log3a2＋…＋log3a7
＝log3(a1a2…a7)＝log3a
＝7log33＝，
故sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝.
(2)由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，
将S6＝S3代入得＝.
[答案]　(1)B　(2)C
由题悟法
等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式an＝f(n)的下标n的大小关系，可简化题目的运算．
以题试法
3．(1)(2012·新课标全国卷)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)
A．7　　　　　　　　　　　 B．5
C．－5 D．－7
(2)(2012·成都模拟)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　)
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C.(1－4－n) D.(1－2－n)
解析：(1)选D　法一：
由题意得
解得或
故a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
法二：由解得或
则或故a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
(2)选C　∵a2＝2，a5＝，∴a1＝4，q＝，anan＋1＝2n－5.
故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n)．
练习题
1．(教材习题改编)数列1，，，，…的一个通项公式是　(　　)
A．an＝　　　　　　　 B．an＝
C．an＝ D．an＝
答案：B
2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　)
A．15 B．16
C．49 D．64
解析：选A　a8＝S8－S7＝64－49＝15.
3．已知数列{an}的通项公式为an＝，则这个数列是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
解析：选A　an＋1－an＝－＝＝>0.
4．(教材习题改编)已知数列{an}的通项公式是an＝则a4·a3＝________.
解析：a4·a3＝2×33·(2×3－5)＝54.
答案：54
5．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋，且a2＝，
a4＝，则a8＝________.
解析：由已知得解得
则an＝n＋，故a8＝.
答案：
1．(2012·福建高考)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选B　法一：设等差数列{an}的公差为d，由题意得
解得故d＝2.
法二：∵在等差数列{an}中，a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5.
又a4＝7，∴公差d＝7－5＝2.
2．(教材习题改编)在等差数列{an}中，a2＋a6＝，则sin＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选D　∵a2＋a6＝，∴2a4＝.
∴sin＝sin＝－cos＝－.
3．(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝(　　)
A．58 B．88
C．143 D．176
解析：选B　S11＝＝＝88.
4．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，则该数列的通项an＝________.
解析：由an＋1＝an＋2知{an}为等差数列其公差为2.
故an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
答案：2n－1
5．(2012·北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝，S2＝a3，则a2＝________，Sn＝________.
解析：设{an}的公差为d，
由S2＝a3知，a1＋a2＝a3，即2a1＋d＝a1＋2d，
又a1＝，所以d＝，故a2＝a1＋d＝1，
Sn＝na1＋n(n－1)d＝n＋(n2－n)×
＝n2＋n.
答案：1　n2＋n
1．(2011·江西高考){an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝(　　)
A．18　　　　　　　　　　 B．20
C．22 D．24
解析：选B　由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.
2．(2012·广州调研)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是(　　)
A．24 B．48
C．60 D．72
解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，由题意可得解得则S10－S7＝a8＋a9＋a10＝3a1＋24d＝48.
3．(2013·东北三校联考)等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝(　　)
A．10 B．20
C．40 D．2＋log25
解析：选B　依题意得，a1＋a2＋a3＋…＋a10＝＝5(a5＋a6)＝20，因此有log2(2a1·2a2·…·2a10)＝a1＋a2＋a3＋…＋a10＝20.
4．(2012·海淀期末)已知数列{an}满足：a1＝1，an>0，a－a＝1(n∈N*)，那么使an<5成立的n的最大值为(　　)
A．4 B．5
C．24 D．25
解析：选C　∵a－a＝1，∴数列{a}是以a＝1为首项，1为公差的等差数列．∴a＝1＋(n－1)＝n.又an>0，∴an＝.∵an<5，∴<5.即n<25.故n的最大值为24.
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，并且S10>0，S11<0，若Sn≤Sk对n∈N*恒成立，则正整数k的值为(　　)
A．5 B．6
C．4 D．7
解析：选A　由S10>0，S11<0知a1>0，d<0，并且a1＋a11<0，即a6<0，又a5＋a6>0，所以a5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S5最大，则k＝5.
6．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝(　　)
A．0 B．3
C．8 D．11
解析：选B　因为{bn}是等差数列，且b3＝－2，b10＝12，
故公差d＝＝2.于是b1＝－6，
且bn＝2n－8(n∈N*)，即an＋1－an＝2n－8.
所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋2＋4＋6＝…＝a1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.
7．(2012·广东高考)已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a－4，则an＝________.
解析：设等差数列公差为d，∵由a3＝a－4，得1＋2d＝(1＋d)2－4，解得d2＝4，即d＝±2.由于该数列为递增数列，故d＝2.
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
答案：2n－1
8．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则k＝________.
解析：a7－a5＝2d＝4，则d＝2.a1＝a11－10d＝21－20＝1，
Sk＝k＋×2＝k2＝9.又k∈N*，故k＝3.
答案：3
9．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________．
解析：∵{an}，{bn}为等差数列，
∴＋＝＋＝＝.
∵＝＝＝＝，∴＝.
答案：
10．(2011·福建高考)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.
由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.
从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知an＝3－2n，
所以Sn＝＝2n－n2.
由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，
即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.
又k∈N*，故k＝7.
11．设数列{an}的前n项积为Tn，Tn＝1－an，
(1)证明是等差数列；
(2)求数列的前n项和Sn.
解：(1)证明：由Tn＝1－an得，当n≥2时，Tn＝1－，
两边同除以Tn得－＝1.
∵T1＝1－a1＝a1，
故a1＝，＝＝2.
∴是首项为2，公差为1的等差数列．
(2)由(1)知＝n＋1，则Tn＝，
从而an＝1－Tn＝.故＝n.
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列．
∴Sn＝.
12．已知在等差数列{an}中，a1＝31，Sn是它的前n项和，S10＝S22.
(1)求Sn；
(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．
解：(1)∵S10＝a1＋a2＋…＋a10，
S22＝a1＋a2＋…＋a22，又S10＝S22，
∴a11＋a12＋…＋a22＝0，
即＝0，故a11＋a22＝2a1＋31d＝0.
又∵a1＝31，∴d＝－2，
∴Sn＝na1＋d＝31n－n(n－1)＝32n－n2.
(2)法一：由(1)知Sn＝32n－n2，
故当n＝16时，Sn有最大值，Sn的最大值是256.
法二：由Sn＝32n－n2＝n(32－n)，欲使Sn有最大值，
应有1<n<32，从而Sn≤2＝256，
当且仅当n＝32－n，即n＝16时，Sn有最大值256.
1．(教材习题改编)等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于(　　)
A．4　　　　　　　　　　　　　　 B．8
C．16 D．32
解析：选C　a2·a6＝a＝16.
2．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝(　　)
A．4·n B．4·n
C．4·n－1 D．4·n－1
解析：选C　(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)⇒a＝5，
a1＝4，q＝，故an＝4·n－1.
3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝(　　)
A．64 B．81
C．128 D．243
解析：选A　q＝＝2，
故a1＋a1q＝3⇒a1＝1，a7＝1×27－1＝64.
4．(2011·北京高考)在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝4，则公比q＝________；a1＋a2＋…＋an＝________.
解析：a4＝a1q3，得4＝q3，解得q＝2，a1＋a2＋…＋an＝＝2n－1－.
答案：2　2n－1－
5．(2012·新课标全国卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.
解析：∵S3＋3S2＝0，∴a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0，
∴a1(4＋4q＋q2)＝0.
∵a1≠0，∴q＝－2.
答案：－2
1．设数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q为(　　)
A．－　　　　　　　　　　 B．1
C．－或1 D.
解析：选C　当q＝1时，满足S3＝3a1＝3a3.
当q≠1时，S3＝＝a1(1＋q＋q2)＝3a1q2，
解得q＝－，综上q＝－或q＝1.
2．(2012·东城模拟)设数列{an}满足：2an＝an＋1(an≠0)(n∈N*)，且前n项和为Sn，则的值为(　　)
A. B.
C．4 D．2
解析：选A　由题意知，数列{an}是以2为公比的等比数列，故＝＝.
3．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选B　∵a3·a11＝16，∴a＝16.
又∵等比数列{an}的各项都是正数，∴a7＝4.
又∵a10＝a7q3＝4×23＝25，∴log2a10＝5.
4．已知数列{an}，则“an，an＋1，an＋2(n∈N*)成等比数列”是“a＝anan＋2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　显然，n∈N*，an，an＋1，an＋2成等比数列，则a＝anan＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…
5．(2013·太原模拟)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于(　　)
A．80 B．30
C．26 D．16
解析：选B　设S2n＝a，S4n＝b，由等比数列的性质知：
2(14－a)＝(a－2)2，解得a＝6或a＝－4(舍去)，
同理(6－2)(b－14)＝(14－6)2，所以b＝S4n＝30.
6．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则＝(　　)
A. B.或
C. D．以上都不对
解析：选B　设a，b，c，d是方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根，不妨设a<c<d<b，则a·b＝c·d＝2，a＝，故b＝4，根据等比数列的性质，得到c＝1，d＝2，则m＝a＋b＝，n＝c＋d＝3，或m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝，则＝或＝.
7．已知各项不为0的等差数列{an}，满足2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
解析：由题意可知，b6b8＝b＝a＝2(a3＋a11)＝4a7，
∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16.
答案：16
8．(2012·江西高考)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，则对任意的n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________.
解析：由题意知a3＋a2－2a1＝0，设公比为q，则a1(q2＋q－2)＝0.由q2＋q－2＝0解得q＝－2或q＝1(舍去)，则S5＝＝＝11.
答案：11
9．(2012·西城期末)已知{an}是公比为2的等比数列，若a3－a1＝6，则a1＝________；＋＋…＋＝________.
解析：∵{an}是公比为2的等比数列，且a3－a1＝6，∴4a1－a1＝6，即a1＝2，故an＝a12n－1＝2n，∴＝n，＝n，即数列是首项为，公比为的等比数列，
∴＋＋…＋＝＝.
答案：2　
10．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.
解：(1)∵S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，∴Sn＝2n－1，
又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.
∴an＝
(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，
∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝.
∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.
11．设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝1－Sn，问：是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)依题意，得2Sn＝an＋1－a1.
当n≥2时，有
两式相减，得an＋1＝3an(n≥2)．
又因为a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，
所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列．