高中数学双曲线抛物线知识点总结.doc

双曲线
平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a<)的点的轨迹。

方程

简图
_
x
_
O
_
y

_
x
_
O
_
y

范围

顶点

焦点

渐近线

离心率

对称轴
关于x轴、y轴及原点对称
关于x轴、y轴及原点对称

准线方程

a、b、c的关系

考点
题型一 求双曲线的标准方程
1、给出渐近线方程的双曲线方程可设为，与双曲线共渐近线的方程可设为。
2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。
【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。
（1） 虚轴长为12，离心率为；
（2） 焦距为26，且经过点M（0，12）；
（3） 与双曲线有公共渐进线，且经过点。
解：（1）设双曲线的标准方程为或。
由题意知，2b=12，=。
∴b=6，c=10，a=8。
∴标准方程为或。
（2）∵双曲线经过点M（0，12），
∴M（0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a=12。
又2c=26，∴c=13。∴。
∴标准方程为。
（3）设双曲线的方程为
在双曲线上
∴ 得
所以双曲线方程为
题型二 双曲线的几何性质
方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e、a、b、c四者的关系，构造出和的关系式。
【例2】双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（-1，0）到直线l的距离之和s≥。求双曲线的离心率e的取值范围。
解：直线l的方程为，级bx+ay-ab=0。
由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离，
同理得到点（-1，0）到直线l的距离，
。
由s≥，得≥，即。
于是得，即。
解不等式，得。由于e＞1＞0，所以e的取值范围是。
【例3】设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使，且︱AF1︱=3︱AF2︱，求双曲线的离心率。
解：∵
∴
又︱AF1︱=3︱AF2︱，
∴即，
∴，
∴即。
题型三 直线与双曲线的位置关系
方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程组，即，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共点和相切不是等价的。
2、直线与双曲线相交所截得的弦长：

y
x
O
B
A
C
【例4】如图，已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点，如果，且曲线E上存在点C，使，求
（1）曲线E的方程；
（2）直线AB的方程；
（3）m的值和△ABC的面积S。
解：由双曲线的定义可知，
曲线E是以为焦点的双曲线的左支，
且，a=1，易知。
故直线E的方程为，
(2)设, ,
由题意建立方程组消去y，得。
又已知直线与双曲线左支交于两点A、B，有
解得。
又∵

依题意得，整理后得，
∴或。
但，
∴。
故直线AB的方程为。
（3）设，由已知，得，
∴。
又，，
∴点。
将点C的坐标代入曲线E的方程，的，
得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意。
∴，C点的坐标为，
C到AB的距离为，
∴△ABC的面积。

一、 抛物线
高考动向：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题皆有，要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌，在高考中才能做到应用自如。
（一） 知识归纳

方程

图形

顶点
（0，0）
对称轴
x轴
y轴
焦点

离心率
e=1
准线

（二）典例讲解
题型一 抛物线的定义及其标准方程
方法思路：求抛物线标准方程要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为或。
【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。
（1）抛物线的焦点是双曲线的左顶点；
（2）经过点A（2，－3）；
（3）焦点在直线x-2y-4=0上；
（4）抛物线焦点在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，︱AF︱=5.
解：（1）双曲线方程可化为，左顶点是（-3，0）
由题意设抛物线方程为且，
∴p=6.
∴方程为
（2）解法一：经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：
y2＝2px或x2＝－2py．
点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝
点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝
∴所求抛物线的标准方程是y2＝x或x2＝－y
解法二：由于A（2，-3）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为或，代入A点坐标求得m=，n=-，
∴所求抛物线的标准方程是y2＝x或x2＝－y
（3）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，
∴直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为（0，-2），（4，0）。
∴焦点为（0，-2），（4，0）。
∴抛物线方程为或。
（4）设所求焦点在x轴上的抛物线方程为，A（m，-3），由抛物
线定义得，
又，
∴或，
故所求抛物线方程为或。
题型二 抛物线的几何性质
方法思路：1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线l的距离处理，例如若P（x0，y0）为抛物线上一点，则。
2、若过焦点的弦AB，，，则弦长，可由韦达定理整体求出，如遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到。
【例6】设P是抛物线上的一个动点。
（1） 求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线的距离之和的最小值；
（2） 若B（3，2），求的最小值。
解：（1）抛物线焦点为F（1，0），准线方程为。
∵P点到准线的距离等于P点到F（1，0）的距离，
y
x
A
O
P
F
∴问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到A（-1，1）的距离与P到F（1，0）的距离之和最小。
显然P是AF的连线与抛物线的交点，
最小值为
（2）同理与P点到准线的距离相等，如图：
过B做BQ⊥准线于Q点，交抛物线与P1点。
∵，
∴。
∴的最小值是4。
题型三 利用函数思想求抛物线中的最值问题
方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。

【例7】已知抛物线y＝x2，动弦AB的长为2，求AB的中点纵坐标的最小值。
分析一：要求AB中点纵坐标最小值，可求出y1＋y2的最小值，从形式上看变量较多，结合图形可以观察到y1、y2是梯形ABCD的两底，这样使得中点纵坐标y成为中位线，可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解。
　　解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x,y)
由抛物线方程y＝x2知焦点,准线方程，设点A、B、M到准线的距离分别为|AD1|、|BC1|、|MN|，则|AD1|＋|BC1|＝2|MN|，且，根据抛物线的定义，有|AD1|＝|AF|、|BC1|＝|BF|,∴＝|AF|＋|BF|≥|AB|＝2，
∴
∴,即点M纵坐标的最小值为。
　　分析二：要求AB中点M的纵坐标y的最小值，可列出y关于某一变量的函数，然后求此函数的最小值。
　　解法二：设抛物线y＝x2上点A(a,a2),B(b,b2)，AB的中点为M(x，y)，则

　　　∵|AB|＝2，∴(a―b)2＋(a2―b2)＝4，则(a＋b)2－4ab＋(a2＋b2)2－4a2b2＝4
则2x＝a＋b,2y＝a2＋b2,得ab＝2x2－y,∴4x2―4(2x2―y)＋4y2―4(2x2―y)＝4
整理得

即点M纵坐标的最小值为3/4。

练习：
1、以y=±x为渐近线的双曲线的方程是（　）
Ａ、3y2―2x2=6 Ｂ、9y2―8x2=1 C、3y2―2x2=1 D、9y2―4x2=36
【答案D】解析：A的渐近线为，B的渐近线为
C的渐近线为，只有D的渐近线符合题意。
2、若双曲线的左支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，则a+b的值为（ ）
A、 B、 C、 D、2
【答案A】解析：∵P在双曲线上，
∴即（a+b）（a-b）=1
又P（a，b）到直线y=x的距离为
∴且
即
∴a+b=
3、如果抛物线的顶点在原点、对称轴为x轴，焦点在直线上，那么抛物线的方程是（）
A、 B、
C、 D、
【答案C】解析：令x=0得y=－3，令y=0得x=4，
∴直线与坐标轴的交点为（0，-3），（4，0）。
∴焦点为（0，-3），（4，0）。
∴抛物线方程为或。
4、若抛物线y=x2上一点P到焦点F的距离为5，则P点的坐标是
A.（4，±4） B.（±4，4） C.（，±） D.（±，）
【答案B】解析：抛物线的焦点是（0，1），准线是，
P到焦点的距离可以转化为到准线的距离。
设P（x，y），则y=4，
∴
5、若点A的坐标为（3，2），为抛物线的焦点，点是抛物线上的一动点，则 取得最小值时点的坐标是 （ C ）
A．（0，0） B．（1，1） C．（2，2） D．
【答案C】解析：抛物线焦点为F（1，0），准线方程为。
∵P点到准线的距离等于P点到F（1，0）的距离，
∴问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到A（3，2）的距离与P到F（1，0）的距离之和最小。
显然P是A到准线的垂线与抛物线的交点，
∴P的坐标为（2，2）
6、已知A、B是抛物线上两点，O为坐标原点，若︱OA︱=︱OB︱，且
△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是（ ）
A、x=p B、x=3p C、x=p D、x=p
【答案D】解析：设A（，y），B（，-y），
∵F（p，0）是△AOB的垂心，
∴
整理得
∴
7、过点P（4，1），且与双曲线只有一个公共点的直线有 条。
【答案】两条
解析：因为P（4，1）位于双曲线的右支里面，故只有两条直线与双曲线有一个公共点，分别与双曲线的两条渐近线平行。
这两条直线是：和
8、双曲线C与双曲线有共同的渐近线，且过点，则C的两条准线之间的距离为 。
【答案】
解析：设双曲线C的方程为，
将点A代入，得k=。
故双曲线C的方程为：
∴，b=2,
所以两条准线之间的距离是。
9、已知抛物线，一条长为4P的弦，其两个端点在抛物线上滑动，则此弦中点到y轴的最小距离是
【答案】
解析：设动弦两个端点为A、B，中点为C，作AA’，BB’，CC’垂直于准线的垂线，垂足分别为A’、 B’、 C’，连接AF、BF，由抛物线定义可知，︱AF︱=︱AA’︱，
︱BF︱=︱BB’︱
∵CC′是梯形ABB′A′的中位线
∴︱CC′︱= = =2p
当AB经过点F时取等号，所以C点到y轴的距离最小值为。
10、抛物线的一条弦的中点为M，则此弦所在的直线方程是 。
【答案】2x-y+1=0
解析：设此弦所在的直线方程为，
与抛物线的交点坐标分别是A(x1,y1),B(x2,y2),
则
将的方程代入抛物线方程整理得

由韦达定理得
解得
∴此直线方程为 即2x-y+1=0
11、已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的方程。
解：由题意知，
又

12、已知双曲线的离心率，过点和B（a，0）的直线与原点的距离为。
（1）求双曲线的方程；
（2）直线与该双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围。
解：（1）由题设，得
解得，
∴双曲线的方程为。
（2）把直线方程代入双曲线方程，
并整理得
因为直线与双曲线交于不同的两点，
∴ ①
设，
则，
设CD的中点为，
其中，，
则，
依题意，AP⊥CD，∴
整理得 ②
将②式代入①式得
∴m＞4或m＜0
又，即
∴m的取值范围为m＞4或。
13、已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（2）求线段BC中点M的坐标；
（3）求BC所在直线的方程.（12分）
解：（1）由点A（2，8）在抛物线上，
有，解得p=16. 所以抛物线方程为，
焦点F的坐标为（8，0）.
（2）如图，由于F（8，0）是△ABC的重心，
M是BC的中点，所以F是线段AM的
定比分点，且，设点M的坐标为，则
，解得，
所以点M的坐标为（11，－4）．
（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在
的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：
由，消x得，
所以，由（2）的结论得，解得
∴BC所在直线的方程是即。
14、如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.
（1）求点Q的坐标；
（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.（14分）
解：(1) 解方程组
得或
即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).
由，直线AB的垂直平分线方程
y－1=-2(x－2). 令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)．
(2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, )
∵点P到直线OQ的距离
,
∴SΔOPQ==.
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,
∴－4≤x<4－4或4－4<x≤8.
∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值为30．