广东省汕头市澄海区2018-2019学年九年级(上)期末数学模拟试卷(word版-解析版).doc

广东省汕头市澄海区2018-2019学年九年级（上）期末数学模拟试卷（word版，解析版）
2018-2019 学年广东省汕头市澄海区九年级（上）期末数学模拟
试卷
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）

1. 一元二次方程（x+3）（x﹣7）＝0 的两个根是（ ）

A．x1＝3，x2＝﹣7 B．x1＝3，x2＝7
C．x1＝﹣3，x2＝7 D．x1＝﹣3，x2＝﹣7 2．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A. B．
C． D．
3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝4，BC 的中点为 D．将△
ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF 的中点为 G，连接 DG．在旋转过程中，DG 的最大值是（ ）

A．4 B．6 C．2+2 D．8
4. 小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛 4 次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第 5 次， 那么硬币正面朝上的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
5. 若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m＝0 有一个解为 x＝﹣1，则另一个解为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3 D．4 6．对于抛物线 y＝﹣（x+2）2+3，下列结论中正确结论的个数为（ ）
①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线 x＝﹣2；
③图象不经过第一象限； ④当 x＞2 时，y 随 x 的增大而减小．
A．4 B．3 C．2 D．1

7. 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，已知∠BCE＝70°，则∠A 的度数是（ ）

17 / 17

A．110° B．70° C．55° D．35°

8. 在平面直角坐标系中，平移二次函数 y＝x2+4x+3 的图象能够与二次函数 y＝x2 的图象重合，则平移方式为（ ）
A. 向左平移 2 个单位，向下平移 1 个单位

B. 向左平移 2 个单位，向上平移 1 个单位

C. 向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位

D. 向右平移 2 个单位，向上平移 1 个单位

9. 如图，边长为 2 的菱形 ABCD 绕点 A 旋转，当 B、C 两点恰好落在扇形 AEF 的弧 EF 上时，弧 BC 的长度等于（ ）
A． B． C． D．
10. 已知：如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一个动点（A、C 除外），作 PE⊥

AB 于点 E，作 PF⊥BC 于点 F，设正方形 ABCD 的边长为 x，矩形 PEBF 的周长为 y，在下列图象中，大致表示 y 与 x 之间的函数关系的是（ ）

A． B． C． D．

二．填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）

11. 在直角坐标系中，点 A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是 ．

12. 若 x＝1 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，则 2007（a+b+c）
＝ ．

13. 关于 x 的方程 mx2﹣2x+3＝0 有两个不相等的实数根，那么 m 的取值范围是 ．
14. 如图，将 Rt△ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90°，得到△A′B′C，连接 BB'，若∠A′

B′B＝20°，则∠A 的度数是 ．
15. 如图，在△ABC 中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，以边 AB 的中点 O 为圆心，作半圆与

BC 相切，点 P、Q 分别是边 AC 和半圆上的动点，连接 PQ，则 PQ 长的最大值等于 ．

16. 二次函数 y＝2x2﹣2x+m（0＜m＜），若当 x＝a 时，y＜0，则当 x＝a﹣1 时，函数值 y
的取值范围为

三．解答题（共 3 小题，满分 18 分，每小题 6 分）

17. 用配方法解方程：x2﹣7x+5＝0．
18．已知抛物线经过三点 A（2，6）、B（﹣1，0）、C（3，0）．

（1） 求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；

（2） 写出它的对称轴和顶点坐标．

19. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6．

（1） 用尺规作⊙O，使它分别与射线 AB、AC 相切于点 B、C；

（2） 求 的长．

四．解答题（共 3 小题，满分 21 分，每小题 7 分）

20. 已知一个不透明的袋子中装有 7 个只有颜色不同的球，其中 2 个白球，5 个红球．

（1） 求从袋中随机摸出一个球是红球的概率．

（2） 从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率．
（3） 若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为 ，求袋中有几个红球被换成了黄球．

21. 诸暨某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为 80 元，销售价为 120 元时，每

天可售出 20 件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大

销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价 1 元，那么平均可多售出 2 件．

（1） 设每件童装降价 x 元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用 x 的代数式表示）
（2） 每件童装降价多少元时，平均每天赢利 1200 元．

（3） 要想平均每天赢利 2000 元，可能吗？请说明理由．

22. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为边 AB 上的一点，F 为 BC 的延长线上一点，且AE＝CF，连接 DE，DF．
（1） 完成作图并证明：△ADE≌△DCF；

（2） 填空：△DCF 可以看作由△DAE 绕点 逆时针方向旋转 度得到．

五．解答题（共 3 小题，满分 27 分，每小题 9 分）

23. 某商品的进价为每件 50 元．当售价为每件 70 元时，每星期可卖出 300 件，现需降价处

理，且经市场调查：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1） 若设每件降价 x 元、每星期售出商品的利润为 y 元，请写出 y 与 x 的函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围；
（2） 当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

24. 如图，已知三角形 ABC 的边 AB 是⊙O 的切线，切点为 B．AC 经过圆心 O 并与圆相交于点 D、C，过 C 作直线 CE 丄 AB，交 AB 的延长线于点 E．
（1） 求证：CB 平分∠ACE；

（2） 若 BE＝3，CE＝4，求⊙O 的半径．

25. 如图，已知二次函数 y＝ax2+bx﹣3a 经过点 A（﹣1，0），C（0，3），与 x 轴交于另一点 B，抛物线的顶点为 D．
（1） 求此二次函数解析式；

（2） 连接 DC、BC、DB，求证：△BCD 是直角三角形；

（3） 在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）

1. 【解答】解：

∵（x+3）（x﹣7）＝0，

∴x+3＝0 或 x﹣7＝0，

∴x1＝﹣3，x2＝7， 故选：C．
2. 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．

3．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，

∴AB＝AC÷cos30°＝4 ÷ ＝8，

BC＝AC•tan30°＝4 × ＝4，

∵BC 的中点为 D，
∴CD＝ BC＝ ×4＝2，
连接 CG，∵△ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF 的中点为 G，
∴CG＝ EF＝ AB＝ ×8＝4，
由三角形的三边关系得，CD+CG＞DG，

∴D、C、G 三点共线时 DG 有最大值， 此时 DG＝CD+CG＝2+4＝6．
故选：B．
4. 【解答】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，

所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是 ， 故选：B．
5. 【解答】解：设方程的另一个解为x1，根据题意得：﹣1+x1＝2，
解得：x1＝3． 故 选 ：C． 6．【解答】解：
∵y＝﹣（x+2）2+3，
∴抛物线开口向下、对称轴为直线 x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，3），故①、②都正确；在 y＝﹣（x+2）2+3 中，令 y＝0 可求得 x＝﹣2+ ＜0，或 x＝﹣2﹣＜0，
∴抛物线图象不经过第一象限，故③正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为 x＝﹣2，

∴当 x＞﹣2 时，y 随 x 的增大而减小，

∴当 x＞2 时，y 随 x 的增大而减小，故④正确； 综上可知正确的结论有 4 个，
故选：A．

7. 【解答】解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠A＝∠BCE＝70°， 故选：B．
8. 【解答】解：二次函数 y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，将其向右平移 2 个单位，再向上平移
1 个单位得到二次函数 y＝x2． 故选：D．
9. 【解答】解：连接 AC，

可得 AB＝BC＝AC＝2， 则∠BAC＝60°，
根据弧长公式，可得

弧 BC 的长度等于＝ ， 故选：D．
10. 【解答】解：由题意可得：△APE 和△PCF 都是等腰直角三角形．

∴AE＝PE，PF＝CF，那么矩形 PEBF 的周长等于 2 个正方形的边长．则 y＝2x，为正比例函数．
故选：A．

二．填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）

11. 【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，

∴点（1，﹣2）关于原点过对称的点的坐标是（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．
12. 【解答】解：把 x＝1 代入 ax2+bx+c＝0（a≠0）得a+b+c＝0，所以 2007（a+b+c）＝2017×0＝0．
故答案是：0．

13. 【解答】解：∵一元二次方程 mx2﹣2x+3＝0 有两个不相等的实数根，
∴△＞0 且 m≠0，

∴4﹣12m＞0 且 m≠0，
∴m＜ 且 m≠0，
故答案为：m＜ 且 m≠0．
14. 【解答】解：∵Rt△ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90°得到△A′B′C，

∴BC＝B′C，

∴△BCB′是等腰直角三角形，

∴∠CBB′＝45°，

∴∠B′A′C＝∠A′B′B+∠CBB′＝20°+45°＝65°， 由旋转的性质得∠A＝∠B′A′C＝65°．
故答案为：65°．

15. 【解答】解：如图，设⊙O 与 AC 相切于点 E，连接 OE，作 OP1⊥BC 垂足为 P1 交⊙O于 Q1，
此时垂线段 OP1 最短，P1Q1 最小值为 OP1﹣OQ1，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，

∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠C＝90°，

∵∠OP1B＝90°，
∴OP1∥AC
∵AO＝OB，

∴P1C＝P1B，
∴OP1＝ AC＝4，
∴P1Q1 最小值为 OP1﹣OQ1＝1，
如图，当 Q2 在 AB 边上时，P2 与 B 重合时，P2Q2 经过圆心，经过圆心的弦最长，
P2Q2 最大值＝5+3＝8， 故答案为：8

16. 【解答】解：∵0＜m＜ ，
∴△＝4﹣8m＞0，
∵对称轴为 x＝，x＝0 或 1 时，y＝m＞0，
∴当 y＜0 时，0＜a＜1，

∴﹣1＜a﹣1＜0，

∵当 x＝﹣1 时，y＝2+2+m＝m+4， 当 x＝0 时，y＝0﹣0+m＝m，
∴当 x＝a﹣1 时，函数值 y 的取值范围为 m＜y＜m+4． 故答案为：m＜y＜m+4．
三．解答题（共 3 小题，满分 18 分，每小题 6 分）

17．【解答】解：x2﹣7x+5＝0，

x2﹣7x＝﹣5，
x2﹣7x+（ ）2＝﹣5+（ ）2，
x﹣ ＝± ，
x•＝
，x2＝
（x﹣ ）2＝ ，

．
18. 【解答】解：（1）设二次函数的解析式为 y＝ax2+bx+c（a≠0），根据题意得 ，

解得 ．

所以二次函数的解析式为 y＝﹣2x2+4x+6，
（2）∵y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，
∴抛物线的顶点坐标为（1，8）．

19. 【解答】解：（1）如图所示：⊙O 即为所求；

（2）∵OB⊥AB，OC⊥AC，AB⊥AC，

∴OBAC 为矩形，

∵AB＝AC＝6，

∴OBAC 为正方形，

∴∠BOC＝90°，OB＝6，
∴ 的长＝＝ ＝3π．
四．解答题（共 3 小题，满分 21 分，每小题 7 分）

20. 【解答】解：（1）∵袋中共有 7 个小球，其中红球有 5 个，
∴从袋中随机摸出一个球是红球的概率为 ；

（2） 列表如下：

白
白
红
红
红
红
红
白
（白，白）
（白，白）
（白，红）
（白，红）
（白，红）
（白，红）
（白，红）
白
（白，白）
（白，白）
（白，红）
（白，红）
（白，红）
（白，红）
（白，红）
红
（白，红）
（白，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
红
（白，红）
（白，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
红
（白，红）
（白，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
红
（白，红）
（白，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
红
（白，红）
（白，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
由表知共有 49 种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有 20 种结果，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为 ；
（3） 设有 x 个红球被换成了黄球． 根据题意，得： ，
解得：x＝3，

即袋中有 3 个红球被换成了黄球．

21. 【解答】解：（1）设每件童装降价 x 元时，每天可销售 20+2x 件，每件盈利 40﹣x 元，故答案为：（20+2x），（40﹣x）；

（2）根据题意，得：（20+2x）（40﹣x）＝1200解得：x1＝20，x2＝10
答：每件童装降价 20 元或 10 元，平均每天赢利 1200 元；

（3）不能，

∵（20+2x）（40﹣x）＝2000 此方程无解，故不可能做到平均每天盈利 2000 元．
22. 【解答】（1）证明：

∵四边形 ABCD 是正方形，

∴AD＝DC，∠A＝∠DCB＝90°，

∴∠DCE＝90°＝∠A， 在△ADE 和△CDF 中

∴△ADE≌△CDF（SAS）；

（2）△DCF 可以看作由△DAE 绕点 D 逆时针方向旋转 90 度得到， 故答案为：D，90．
五．解答题（共 3 小题，满分 27 分，每小题 9 分）

23．【解答】解：（1）根据题意得 y＝（70﹣x﹣50）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，
∵70﹣x﹣50＞0，且 x≥0，

∴0≤x＜20；

（2）∵y＝﹣20x2+100x+6000＝﹣20（x﹣ ）2+6125，
∴当 x＝时，y 取得最大值，最大值为 6125，
答：当降价 2.5 元时，每星期的利润最大，最大利润是 6125 元．

24．【解答】（1）证明：如图 1，连接 OB，

∵AB 是⊙0 的切线，
∴OB⊥AB，

∵CE 丄 AB，

∴OB∥CE，

∴∠1＝∠3，

∵OB＝OC，

∴∠1＝∠2

∴∠2＝∠3，

∴CB 平分∠ACE；

（2） 如图 2，连接 BD，

∵CE 丄 AB，

∴∠E＝90°，

∴BC＝ ＝ ＝5，
∵CD 是⊙O 的直径，
∴∠DBC＝90°，

∴∠E＝∠DBC，

∴△DBC∽△CBE，
∴ ，
∴BC2＝CD•CE，

∴CD＝ ＝ ，

∴OC＝ ＝ ，

∴⊙O 的半径＝ ．

25．【解答】解：（1）∵二次函数 y＝ax2+bx﹣3a 经过点 A（﹣1，0）、C（0，3），

∴根据题意，得 ， 解得 ，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+3．

（2）由 y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4 得，D 点坐标为（1，4），
∴CD＝ ＝ ，
BC＝ ＝3 ，
BD＝ ＝2 ，
∵CD2+BC2＝（ ）2+（3 ）2＝20，BD2＝（2 ）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD 是直角三角形；

（3） 存在．

y＝﹣x2+2x+3 对称轴为直线 x＝1．
①若以 CD 为底边，则 P1D＝P1C，
设 P1 点坐标为（x，y），根据勾股定理可得 P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）
2，
因此 x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2， 即 y＝4﹣x．
又 P1 点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x＝﹣x2+2x+3， 即 x2﹣3x+1＝0，

解得 x1＝ ，x2＝ ＜1，应舍去，

∴x＝ ，

∴y＝4﹣x＝ ，

即点 P1 坐标为（ ，）．
②若以 CD 为一腰，
∵点 P2 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点 P2 与点 C 关于直线 x＝1 对称， 此时点 P2 坐标为（2，3）．
∴符合条件的点 P 坐标为（ ， ）或（2，3）．