高中数学第二章《二分法求方程的近似解》导学案苏教版必修1.doc

江苏省响水中学高中数学 第二章二分法求方程的近似解导学案 苏教版必修11.掌握用二分法求函数零点近似值的步骤.2.能够借助计算机或计算器求方程的近似解.3.掌握函数零点与方程根之间的关系,初步形成用函数观点处理问题的能力.在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路,如果沿着线路一小段一小段查找,非常困难,每查一个点要爬一次电线杆,10 km长,大约有200多根电线杆.问题1:请你帮他设计一个较为简便的维修方案来迅速查出故障所在.利用二分法的原理进行查找,如图,记两地分别为A,B,首先从中点C开始查,用话机向两端测试,若AC正常,则断定故障在BC,再到BC的中点D向两侧查找,这次若发现BD正常,则故障在CD段,再到CD的中点E去查.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,故经过7次查找,就可将故障发生的范围缩小到50100 m之间,即一两根电线杆附近.问题2:什么是二分法?对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.问题3:用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤是怎样的?(1)首先要有初始“解区间”a0,b0,验证满足f(a0)f(b0)0,给定精确度,其方法一般有、等;(2)求区间(a0, b0)的中点x1;(3)计算f(x1).,则x1就是函数的零点;若,则令b=x1(此时零点x0(a0,x1);若,则令a=x1(此时零点x0(x1,b0);(4)判断是否达到精确度要求.若将a、b按四舍五入法精确到要求的所得到的值相同,则就认为达到要求的精确度.否则重复(2)(3)(4).以上求函数f(x)零点近似值的方法也称为二分法.问题4:二分法蕴含的数学思想有、补集(正难则反)等重要数学思想,但二分法的计算量大,不利于人工计算,在计算机未发明之前不被人重视,但随着科技的不断发展,计算机计算能力越来越精密、快速,二分法得到了广泛的应用,一些求方程的根的难题都迎刃而解了.1.对于连续函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下:f(2007)0,f(2008)0,则下列叙述正确的是.函数f(x)在(2007,2008)内不存在零点;函数f(x)在(2008,2009)内不存在零点;函数f(x)在(2008,2009)内存在零点,并且仅有一个;函数f(x)在(2007,2008)内可能存在零点.2.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是下列区间中的.-2,1;-1,0;0,1;1,2.3.用二分法求函数y=f(x)在区间2,4上的近似零点(精确度为0.01),验证f(2)f(4)0,取区间2,4的中点x1=3,计算得f(2)f(x1)0,则此时零点x0所在区间是.4.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,得到的参考数据如下:f(1.6000)=0.200f(1.5875)=0.133f(1.5750)=0.067f(1.5625)=0.003f(1.55625)=-0.029f(1.5500)=-0.060据此数据,求f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值(精确度0.01).二分法的概念下列关于二分法的叙述,正确的是.二分法可求函数所有零点的近似值;利用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任意一位有效数字;二分法无规律可循,无法在计算机上实施;只在求函数零点时,才可用二分法.利用二分法求函数的近似零点或方程的近似解借助计算器用二分法求方程2x+3x=7的近似解为.(精确到0.1)利用二分法思想在实际问题中的应用在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,最多称次就可以发现这枚假币.已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为.借助计算器,用二分法求函数f(x)=2x+0.5,g(x)=7x的图象交点的横坐标(精确到0.1).从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点,现某接点发生故障,需及时修理,为了尽快找出故障的发生点,一般最多需要检查多少个接点?1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的近似值的是.2.若函数f(x)满足f(1)f(2)0,用二分法逐次求f(x)零点的近似值,下一步应该求的值是.3.设函数f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x(1,2)内近似解的过程中得f(1)0,f(1.25)0,则方程的根所在的区间为(区间长度0.25).4.证明函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一零点,并求出这个零点(精确度0.1).已知函数f(x)=ln x+2x-6.(1)求证:函数f(x)在其定义域上是增函数;(2)求证:函数f(x)有且只有一个零点;(3)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不超过.(不能用计算器)考题变式(我来改编):第11课时二分法求方程的近似解知识体系梳理问题3:(1)估测法列表法图象法(3)若f(x1)=0f(a0)f(x1)0f(x1)f(b0)0不能说明函数f(x)在(2007,2008)内无零点,错;又f(2009)0,f(2008)f(2009)0,故f(x)在(2008,2009)内存在零点,但不能说明仅有一个零点,故错;正确.2.f(-2)=-30,f(-2)f(1)0,故可以取区间-2,1作为计算的初始区间,用二分法逐次计算.3.(2,3)f(2)f(4)0,f(2)f(3)0,x0(2,3).4.解:由表中f(1.5625)=0.003,f(1.55625)=-0.029,因为1.5625与1.55625精确到0.01的近似值都为1.56,所以该函数的零点的近似值为1.56.重点难点探究探究一:【解析】用二分法求零点的函数必须满足函数图象在零点附近是连续不断的,且在该零点左右的函数值异号,故错;二分法是有规律可循的,可以通过计算机来执行,故错;求方程的近似解也可用二分法,故错.【答案】【小结】应用二分法求函数的近似零点的前提条件是函数存在零点,并且满足零点存在性定理,也就是函数连续不断,且在零点左右两侧函数值异号,不满足这些特征的函数是无法利用二分法来求解的.探究二:【解析】原方程可化为2x=7-3x,在同一坐标系中画出函数y=2x与y=7-3x的图象(如图),由图可知交点的横坐标在1、2之间,考察函数f(x)=2x+3x-7,f(1)f(2)0,所以函数f(x)在区间(1,2)内有零点x0.取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器可得f(1.5)0.33,因为f(1)f(1.5)0,所以x0(1,1.5),再取(1,1.5)的中点x2=1.25,用计算器求得f(1.25)-0.87,因此f(1.25)f(1.5)0,所以x0(1.25,1.5).依次可得x0(1.375,1.5),x0(1.375,1.4375),此时区间(1.375,1.4375)的两个端点值精确到0.1的近似值都是1.4,所以原方程精确到0.1的近似解为x1.4.【答案】x1.4【小结】用二分法求解方程的近似解要注意熟记步骤,同时要注意解的精确度.探究三:【解析】将26枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那13枚金币里面;从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面;将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那3枚金币里面;从这3枚金币中任拿出2枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚即是假币,若不平衡,则质量小的那一枚即是假币.综上可知,最多称4次就可以发现这枚假币.【答案】4【小结】二分法思想在本题中还不是最佳方法,这类题目采用三分法思想能更加有效地发现假币,即三分26枚硬币,不能整除则第3组少一枚,即分为9、9、8,把硬币数9枚的两组硬币的放天平两端,若相等,则假币在8枚硬币的组里,若不相等,则假币在较轻的硬币组里,三分法思想能更快地发现假币,但二分法思想更具有普遍性.思维拓展应用应用一:4,3图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;左右函数值异号的零点有3个,所以能用二分法求解的个数为3.应用二:令h(x)=f(x)-g(x)=2x-7x+0.5.h(0)=0.5,h(1)=-4.5,h(0)h(1)0.函数h(x)的零点x0(0,1).取区间(0,1)的中点x1=0.5,借助计算器计算得h(0.5)-0.732,h(0.5)h(0)0,函数h(x)的零点x0(0,0.5),同理可得,x0(0.25,0.5),x0(0.25,0.375),x0(0.25,0.3125),由于区间(0.25,0.3125)两端点值精确到0.1的近似值都是0.3.函数h(x)精确到0.1的零点值为0.3,即已知函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标为0.3.应用三:先检查中间的1个接点,若正常,则可断定故障在其另一侧的7个接点中;然后检查这一段中间的1个接点,若仍正常,则可断定故障在其另一侧的3个接点中;最后只需检查这3个接点中间的1个,即可找出故障所在.故一般最多只需检查3个接点.基础智能检测1.从图象上可以看出中图象在零点左右两边都大于零,所以不能用二分法求函数零点的近似值.2.f(1.5)由题意,下一步应求f(1.5),即区间1,2的中点的函数值.3.(1.25,1.5)f(1)0,f(1,25)0,故方程的根落在(1.25,1.5)上.4.解:由于f(1)=-10,又函数f(x)是单调增函数,所以函数在区间(1,2)内有唯一零点,不妨设零点为x0,则x0(1,2).下面用二分法求解.区间中点的值中点函数的近似值(1,2)1.51.328(1,1.5)1.250.128(1,1.25)1.125-0.444(1.125,1.25)1.1875-0.160(1.875,1.25)1.21875-0.016(1.21875,1.25)1.2343750.056所以x0(1.21875,1.234375),又1.21875与1.234375精确到0.1的近似值都为1.2,所以函数在(1,2)内的零点的近似值为1.2.全新视角拓展(1)函数f(x)的定义域为(0,+),设x1x2,则ln x1ln x2,2x12x2.ln x1+2x1-6ln x2+2x2-6,f(x1)f(x2),函数f(x)在(0,+)为增函数.(2)f(2)=ln 2-20.f(2)f(3)0,f(x)在(2,3)上至少有一个零点.由(1)知f(x)在(0,+)上至多有一个零点,从而f(x)在(0,+)上有且只有一个零点.(3)由f(2)0,f(x)的零点x0(2,3).取x1=,f()=ln-1=ln-ln e0,f()f(3)0,f()f()0,x0(,).而|-|=,(,)即为符合条件的区间.思维导图构建f(a)f(b)0c