高中数学第二章《二分法求方程的近似解》导学案苏教版必修1.doc

江苏省响水中学高中数学 第二章《二分法求方程的近似解》导学案 苏教版必修1

1.掌握用二分法求函数零点近似值的步骤.
2.能够借助计算机或计算器求方程的近似解.
3.掌握函数零点与方程根之间的关系,初步形成用函数观点处理问题的能力.

在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路,如果沿着线路一小段一小段查找,非常困难,每查一个点要爬一次电线杆,10 km长,大约有200多根电线杆.

问题1:请你帮他设计一个较为简便的维修方案来迅速查出故障所在.
利用二分法的原理进行查找,如图,

记两地分别为A,B,首先从中点C开始查,用话机向两端测试,若AC正常,则断定故障在BC,再到BC的中点D向两侧查找,这次若发现BD正常,则故障在CD段,再到CD的中点E去查.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,故经过7次查找,就可将故障发生的范围缩小到50~100 m之间,即一两根电线杆附近.
问题2:什么是二分法?
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.
问题3:用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤是怎样的?
(1)首先要有初始“解区间”[a0,b0],验证满足f(a0)·f(b0)<0,给定精确度ε,其方法一般有　　　　、　　　　、　　　　等; 
(2)求区间(a0, b0)的中点x1;
(3)计算f(x1).①　　　　,则x1就是函数的零点;②若　　　　,则令b=x1(此时零点x0∈(a0,x1));③若　　　　,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b0)); 
(4)判断是否达到精确度要求.若将a、b按四舍五入法精确到要求的ε所得到的值相同,则就认为达到要求的精确度.否则重复(2)(3)(4).
以上求函数f(x)零点近似值的方法也称为二分法.
问题4:二分法蕴含的数学思想有　　　　、补集(正难则反)等重要数学思想,但二分法的计算量大,不利于人工计算,在计算机未发明之前不被人重视,但随着科技的不断发展,计算机计算能力越来越精密、快速,二分法得到了广泛的应用,一些求方程的根的难题都迎刃而解了. 

1.对于连续函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下:f(2007)<0,f(2008)<0,f(2009)>0,则下列叙述正确的是　　　　. 
①函数f(x)在(2007,2008)内不存在零点;
②函数f(x)在(2008,2009)内不存在零点;
③函数f(x)在(2008,2009)内存在零点,并且仅有一个;
④函数f(x)在(2007,2008)内可能存在零点.
2.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是下列区间中的　　　　. 
①[-2,1];②[-1,0];③[0,1];④[1,2].
3.用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上的近似零点(精确度为0.01),验证f(2)·f(4)<0,取区间[2,4]的中点x1==3,计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0所在区间是　　　　. 
4.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,得到的参考数据如下:
f(1.6000)=0.200
f(1.5875)=0.133
f(1.5750)=0.067
f(1.5625)=0.003
f(1.55625)=-0.029
f(1.5500)=-0.060

据此数据,求f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值(精确度0.01).

二分法的概念
下列关于二分法的叙述,正确的是　　　　. 
①二分法可求函数所有零点的近似值;
②利用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任意一位有效数字;
③二分法无规律可循,无法在计算机上实施;
④只在求函数零点时,才可用二分法.

利用二分法求函数的近似零点或方程的近似解
借助计算器用二分法求方程2x+3x=7的近似解为　　　　.(精确到0.1) 

利用二分法思想在实际问题中的应用
在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,最多称　　　　次就可以发现这枚假币. 

已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为　　　　. 

借助计算器,用二分法求函数f(x)=2x+0.5,g(x)=7x的图象交点的横坐标(精确到0.1).

从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点,现某接点发生故障,需及时修理,为了尽快找出故障的发生点,一般最多需要检查多少个接点?

1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的近似值的是　　　　. 

2.若函数f(x)满足f(1)·f(2)<0,用二分法逐次求f(x)零点的近似值,下一步应该求的值是　　　　. 
3.设函数f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根所在的区间为　　　　(区间长度0.25). 
4.证明函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一零点,并求出这个零点(精确度0.1).

　　已知函数f(x)=ln x+2x-6.
(1)求证:函数f(x)在其定义域上是增函数;
(2)求证:函数f(x)有且只有一个零点;
(3)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不超过.(不能用计算器)
　　考题变式(我来改编):

第11课时　二分法求方程的近似解

知识体系梳理
问题3:(1)估测法　列表法　图象法　(3)①若f(x1)=0
②f(a0)·f(x1)<0　③f(x1)·f(b0)<0
　　问题4:分类讨论
基础学习交流
1.④　f(2007)·f(2008)>0不能说明函数f(x)在(2007,2008)内无零点,①错;又∵f(2009)>0,∴f(2008)·f(2009)<0,故f(x)在(2008,2009)内存在零点,但不能说明仅有一个零点,故②③错;④正确.
2.①　∵f(-2)=-3<0,f(1)=6>0,f(-2)·f(1)<0,故可以取区间[-2,1]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算.
3.(2,3)　∵f(2)·f(4)<0,f(2)·f(3)<0,
∴f(3)·f(4)>0,∴x0∈(2,3).
4.解:由表中f(1.5625)=0.003,f(1.55625)=-0.029,因为1.5625与1.55625精确到0.01的近似值都为1.56,所以该函数的零点的近似值为1.56.
重点难点探究
探究一:【解析】用二分法求零点的函数必须满足函数图象在零点附近是连续不断的,且在该零点左右的函数值异号,故①错;二分法是有规律可循的,可以通过计算机来执行,故③错;求方程的近似解也可用二分法,故④错.
【答案】②
【小结】应用二分法求函数的近似零点的前提条件是函数存在零点,并且满足零点存在性定理,也就是函数连续不断,且在零点左右两侧函数值异号,不满足这些特征的函数是无法利用二分法来求解的.
　　探究二:

【解析】原方程可化为2x=7-3x,在同一坐标系中画出函数y=2x与y=7-3x的图象(如图),由图可知交点的横坐标在1、2之间,考察函数f(x)=2x+3x-7,f(1)·f(2)<0,所以函数f(x)在区间(1,2)内有零点x0.取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器可得f(1.5)≈0.33,因为f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5),再取(1,1.5)的中点x2=1.25,用计算器求得f(1.25)≈-0.87,
因此f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5).
　　依次可得x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.4375),
　　此时区间(1.375,1.4375)的两个端点值精确到0.1的近似值都是1.4,所以原方程精确到0.1的近似解为x≈1.4.
【答案】x≈1.4
【小结】用二分法求解方程的近似解要注意熟记步骤,同时要注意解的精确度.
　　探究三:【解析】将26枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那13枚金币里面;从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面;将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那3枚金币里面;从这3枚金币中任拿出2枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚即是假币,若不平衡,则质量小的那一枚即是假币.综上可知,最多称4次就可以发现这枚假币.
【答案】4
【小结】二分法思想在本题中还不是最佳方法,这类题目采用三分法思想能更加有效地发现假币,即三分26枚硬币,不能整除则第3组少一枚,即分为9、9、8,把硬币数9枚的两组硬币的放天平两端,若相等,则假币在8枚硬币的组里,若不相等,则假币在较轻的硬币组里,三分法思想能更快地发现假币,但二分法思想更具有普遍性.
思维拓展应用
应用一:4,3　图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;左右函数值异号的零点有3个,所以能用二分法求解的个数为3.
应用二:令h(x)=f(x)-g(x)=2x-7x+0.5.
∵h(0)=0.5,h(1)=-4.5,∴h(0)·h(1)<0.
∴函数h(x)的零点x0∈(0,1).
取区间(0,1)的中点x1=0.5,借助计算器计算得h(0.5)≈-0.732,
∴h(0.5)·h(0)<0,∴函数h(x)的零点x0∈(0,0.5),
同理可得,x0∈(0.25,0.5),x0∈(0.25,0.375),x0∈(0.25,0.3125),
由于区间(0.25,0.3125)两端点值精确到0.1的近似值都是0.3.
∴函数h(x)精确到0.1的零点值为0.3,
即已知函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标为0.3.
应用三:先检查中间的1个接点,若正常,则可断定故障在其另一侧的7个接点中;然后检查这一段中间的1个接点,若仍正常,则可断定故障在其另一侧的3个接点中;最后只需检查这3个接点中间的1个,即可找出故障所在.故一般最多只需检查3个接点.
基础智能检测
1.②　从图象上可以看出②中图象在零点左右两边都大于零,所以不能用二分法求函数零点的近似值.
2.f(1.5)　由题意,下一步应求f(1.5),即区间[1,2]的中点的函数值.
3.(1.25,1.5)　∵f(1)<0,f(1,25)<0,f(1.5)>0,故方程的根落在(1.25,1.5)上.
4.解:由于f(1)=-1<0,f(2)=4>0,又函数f(x)是单调增函数,所以函数在区间(1,2)内有唯一零点,不妨设零点为x0,则x0∈(1,2).下面用二分法求解.
区间
中点的值
中点函数的近似值
(1,2)
1.5
1.328
(1,1.5)
1.25
0.128
(1,1.25)
1.125
-0.444
(1.125,1.25)
1.1875
-0.160
(1.875,1.25)
1.21875
-0.016
(1.21875,1.25)
1.234375
0.056

所以x0∈(1.21875,1.234375),又1.21875与1.234375精确到0.1的近似值都为1.2,所以函数在(1,2)内的零点的近似值为1.2.
全新视角拓展
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),设x1<x2,则ln x1<ln x2,2x1<2x2.∴ln x1+2x1-6<ln x2+2x2-6,∴f(x1)<f(x2),∴函数f(x)在(0,+∞)为增函数.
(2)∵f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0.∴f(2)·f(3)<0,
∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点.由(1)知f(x)在(0,+∞)上至多有一个零点,从而f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.
(3)由f(2)<0,f(3)>0,∴f(x)的零点x0∈(2,3).
取x1=,∵f()=ln-1=ln-ln e<0,∴f()·f(3)<0,∴x0∈(,3).
取x2=,∵f()=ln-=ln-ln >0,
∴f()·f()<0,∴x0∈(,).
而|-|=≤,∴(,)即为符合条件的区间.
思维导图构建
f(a)·f(b)<0　c