高中数学知识大纲.doc

1.集(hexie)合（set） 
1.1集(hexie)合的阶，集(hexie)合之间的关系。 
1.2集(hexie)合的分划 
1.3子集，子集族 
1.4容斥原理 

2.函数（function） 
2.1函数的定义域、值域 
2.2函数的性质 
2.2.1单调性 
2.2.2奇偶性 
2.2.3周期性 
2.2.4凹凸性 
2.2.5连续性 
2.2.6可导性 
2.2.7有界性 
2.2.8收敛性 
2.3初等函数 
2.3.1一次、二次、三次函数 
2.3.2幂函数 
2.3.3双勾函数 
2.3.4指数、对数函数 
2.4函数的迭代 
2.5函数方程 

3.三角函数（trigonometric function） 
3.1三角函数图像与性质 
3.2三角函数运算 
3.3三角恒等式、不等式、最值 
3.4正弦、余弦定理 
3.5反三角函数 
3.6三角方程 

4.向量（vector） 
4.1向量的运算 
4.2向量的坐标表示，数量积 

5.数列（sequence） 
5.1数列通项公式求解 
5.1.1换元法 
5.1.2特征根法 
5.1.3不动点法，迭代法 
5.1.4数学归纳法，递归法 

6． 不等式（inequality） 
6.1解不等式 
6.2重要不等式 
6.2.1均值不等式 
6.2.2柯西不等式 
6.2.3排序不等式 
6.2.4契比雪夫不等式 
6.2.5赫尔德不等式 
6.2.6权方和不等式 
6.2.7幂平均不等式 
6.2.8琴生不等式 
6.2.9 Schur不等式 
6.2.10嵌入不等式 
6.2.11卡尔松不等式 
6.3证明不等式的常用方法 
6.3.1利用重要不等式 
6.3.2调整法 
6.3.3归纳法 
6.3.4切线法 
6.3.5展开法 
6.3.6局部法 
6.3.7反证法 
6.3.8其他 

7.解析几何（analytic geometry） 
7.1直线与二次曲线方程 
7.2直线与二次曲线性质 
7.3参数方程 
7.4极坐标系 

8．立体几何（solid geometry） 
8.1空间中元素位置关系 
8.2空间中距离和角的计算 
8.3棱柱，棱锥，四面体性质 
8.4体积，表面积 
8.5球，球面 
8.6三面角 
8.7空间向量

9. 排列，组合，概率（permutations, combinatorics, probability） 
9.1排列组合的基本公式 
9.1.1加法、乘法原理 
9.1.2无重复的排列组合 
9.1.3可重复的排列组合 
9.1.4圆排列、项链排列 
9.1.5一类不定方程非负整数解的个数 
9.1.6错位排列数 
9.1.7 Fibonacci数 
9.1.8 Catalan数 
9.2计数方法 
9.2.1映射法 
9.2.2容斥原理 
9.2.3递推法 
9.2.4折线法 
9.2.5算两次法 
9.2.6母函数法 
9.3证明组合恒等式的方法 
9.3.1 Abel法 
9.3.2算子方法 
9.3.3组合模型法 
9.3.4归纳与递推方法 
9.3.5母函数法 
9.3.6组合互逆公式 
9.4二项式定理 
9.5概率 
9.5.1独立事件概率 
9.5.2互逆事件概率 
9.5.3条件概率 
9.5.4全概率公式，贝叶斯公式 
9.5.5现代概率，几何概率 
9.6数学期望 

10.极限，导数（limits, derivatives） 
10.1极限定义，求法 
10.2导数定义，求法 
10.3导数的应用 
10.3.1判断单调性 
10.3.2求最值 
10.3.3判断凹凸性 
10.4洛比达法则 
10.5偏导数

11. 复数（complex numbers） 
11.1复数概念及基本运算 
11.2复数的几个形式 
11.2.1复数的代数形式 
11.2.2复数的三角形式 
11.2.3复数的指数形式 
11.2.4复数的几何形式 
11.3复数的几何意义，复平面 
11.4复数与三角，复数与方程 
11.5单位根及应用 

12.平面几何（plane geometry） 
12.1几个重要的平面几何定理 
12.1.1梅勒劳斯定理 
12.1.2塞瓦定理 
12.1.3托勒密定理 
12.1.4西姆松定理 
12.1.5斯特瓦尔特定理 
12.1.6张角定理 
12.1.7欧拉定理 
12.1.8九点圆定理 
12.2圆幂，根轴 
12.3三角形的巧合点 
12.3.1内心 
12.3.2外心 
12.3.3重心 
12.3.4垂心 
12.3.5旁心 
12.3.6费马点 
12.4调和点列 
12.5圆内接调和四边形 
12.6几何变换 
12.6.1平移变换 
12.6.2旋转变换 
12.6.3位似变换 
12.6.4对称变换（反射变换） 
12.6.5反演变换 
12.6.6配极变换 
12.7几何不等式 
12.8平面几何常用方法 
12.8.1纯几何方法 
12.8.2三角法 
12.8.3解析法 
12.8.4复数法 
12.8.5向量法 
12.8.6面积法 

13.多项式（polynomials） 
13.1多项式恒等定理 
13.2多项式的根及应用 
13.2.1韦达定理 
13.2.2虚根成对原理 
13.3多项式的整除，互质 
13.4拉格朗日插值多项式 
13.5差分多项式 
13.6牛顿公式 
13.7单位根 
13.8不可约多项式，最简多项式 

14.数学归纳法（mathematical induction） 
14.1第一数学归纳法 
14.2第二数学归纳法 
14.3螺旋归纳法 
14.4跳跃归纳法 
14.5反向归纳法 
14.6最小数原理 

15. 初等数论（elementary number theory） 
15.1整数，整除 
15.2同余 
15.3素数，合数 
15.4算术基本定理 
15.5费马小定理，欧拉定理 
15.6拉格朗日定理，威尔逊定理 
15.7裴蜀定理 
15.8平方数 
15.9中国剩余定理 
15.10高斯函数 
15.11指数，阶，原根 
15.12二次剩余理论 
15.12.1二次剩余定理及性质 
15.12.2 Legendre符号 
15.12.3 Gauss二次互反律 
15.13不定方程 
15.13.1不定方程解法 
15.13.1.1同余法 
15.13.1.2构造法 
15.13.1.3无穷递降法 
15.13.1.4反证法 
15.13.1.5不等式估计法 
15.13.1.6配方法，因式分解法 
15.13.2重要不定方程 
15.13.2.1一次不定方程（组） 
15.13.2.2勾股方程 
15.13.2.3 Pell方程 
15.14 p进制进位制，p进制表示 

16.组合问题（combinatorics） 
16.1组合计数问题（参见9.1,9.2） 
16.2组合恒等式，不等式（参见9.3） 
16.3存在性问题 
16.4组合极值问题 
16.5操作变换，对策问题 
16.6组合几何 
16.6.1凸包 
16.6.2覆盖 
16.6.3分割 
16.6.4整点 
16.7图论 
16.7.1图的定义，性质 
16.7.2简单图，连通图 
16.7.3完全图，树 
16.7.4二部图，k部图 
16.7.5托兰定理 
16.7.6染色与拉姆塞问题 
16.7.7欧拉与哈密顿问题 
16.7.8有向图，竞赛图 
16.8组合方法 
16.8.1映射法，对应法，枚举法 
16.8.2算两次法 
16.8.3递推法 
16.8.4抽屉原理 
16.8.5极端原理 
16.8.6容斥原理 
16.8.7平均值原理 
16.8.8介值原理 
16.8.9母函数法 
16.8.10染色方法 
16.8.11赋值法 
16.8.12不变量法 
16.8.13反证法 
16.8.14构造法 
16.8.15数学归纳法 
16.8.16调整法 
16.8.17最小数原理 
16.8.18组合计数法 

17.其他（others） （了解即可，不作要求） 
17.1微积分，泰勒展开 
17.2矩阵，行列式 
17.3空间解析几何 
17.4连分数 
17.5级数，p级数，调和级数，幂级数 
17.6其他 

《奥赛经典》（几何，代数，组合，数论问题） 沈文选等 编 湖南师范大学出版社 
《高中竞赛数学教程》 刘诗雄，熊斌 编 武汉大学出版社 
《数学奥林匹克小丛书》（共计16本） 华东师范大学出版社 
《初等数论》 潘承洞，潘承彪 编 北京大学出版社 
《数学奥林匹克命题人讲座》 单壿 主编 上海科技教育出版社